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三、解答题
7. 如图，在$△ ABC$中，AD平分$∠ BAC$交BC于点D，P为AD延长线上一点，$PE⊥ BC$于点E. $∠ C=70°$，$∠ B=28°$. 求$∠ P$的度数.
7. 如图，在$△ ABC$中，AD平分$∠ BAC$交BC于点D，P为AD延长线上一点，$PE⊥ BC$于点E. $∠ C=70°$，$∠ B=28°$. 求$∠ P$的度数.
答案
解：
在△ABC中，
∵ ∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，∠B=28°，∠C=70°
∴ ∠BAC = 180° - 28° - 70° = 82°
∵ AD平分∠BAC
∴ ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 41°
在△ADC中，
∠ADC = 180° - ∠C - ∠CAD = 180° - 70° - 41° = 69°
∴ ∠PDE = ∠ADC = 69°（对顶角相等）
∵ PE⊥BC
∴ ∠PED = 90°
在Rt△PED中，∠P + ∠PDE = 90°
∴ ∠P = 90° - 69° = 21°
在△ABC中，
∵ ∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，∠B=28°，∠C=70°
∴ ∠BAC = 180° - 28° - 70° = 82°
∵ AD平分∠BAC
∴ ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 41°
在△ADC中，
∠ADC = 180° - ∠C - ∠CAD = 180° - 70° - 41° = 69°
∴ ∠PDE = ∠ADC = 69°（对顶角相等）
∵ PE⊥BC
∴ ∠PED = 90°
在Rt△PED中，∠P + ∠PDE = 90°
∴ ∠P = 90° - 69° = 21°
解析
【分析】
要计算∠P的度数，已知PE⊥BC，可知△PED是直角三角形，∠P与∠PDE互余，因此只需先求出∠PDE的度数即可。∠PDE与∠ADC是对顶角，二者相等，所以需先求∠ADC的度数。∠ADC在△ADC中，已知∠C=70°，因此需要先求出∠CAD的度数。由于AD是∠BAC的角平分线，所以先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再推导得到∠CAD，逐步计算即可得到∠P的度数。
【解析】
在△ABC中，
∵ ∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，∠B=28°，∠C=70°
∴ ∠BAC = 180° - 28° - 70° = 82°
∵ AD平分∠BAC
∴ ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 41°
在△ADC中，
∠ADC = 180° - ∠C - ∠CAD = 180° - 70° - 41° = 69°
∴ ∠PDE = ∠ADC = 69°（对顶角相等）
∵ PE⊥BC
∴ ∠PED = 90°
在Rt△PED中，∠P + ∠PDE = 90°
∴ ∠P = 90° - 69° = 21°
【答案】
$21°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题的关键是理清各个角之间的等量关系，结合三角形的相关性质逐步推导未知角的度数，计算时注意不要混淆角的对应关系。
【难度系数】
0.7
要计算∠P的度数，已知PE⊥BC，可知△PED是直角三角形，∠P与∠PDE互余，因此只需先求出∠PDE的度数即可。∠PDE与∠ADC是对顶角，二者相等，所以需先求∠ADC的度数。∠ADC在△ADC中，已知∠C=70°，因此需要先求出∠CAD的度数。由于AD是∠BAC的角平分线，所以先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再推导得到∠CAD，逐步计算即可得到∠P的度数。
【解析】
在△ABC中，
∵ ∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，∠B=28°，∠C=70°
∴ ∠BAC = 180° - 28° - 70° = 82°
∵ AD平分∠BAC
∴ ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 41°
在△ADC中，
∠ADC = 180° - ∠C - ∠CAD = 180° - 70° - 41° = 69°
∴ ∠PDE = ∠ADC = 69°（对顶角相等）
∵ PE⊥BC
∴ ∠PED = 90°
在Rt△PED中，∠P + ∠PDE = 90°
∴ ∠P = 90° - 69° = 21°
【答案】
$21°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题的关键是理清各个角之间的等量关系，结合三角形的相关性质逐步推导未知角的度数，计算时注意不要混淆角的对应关系。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在$△ ABC$与$△ CDE$中，边$BC$，$CD$在同一条直线上，$AB // EC$，连接$AD$.若$∠ B = 65°$，$∠ ACB = 45°$，$∠ E = 70°$，$DA$平分$∠ CDE$.求$∠ CAD$的度数.
答案
解：
∵ $AB // EC$，
∴ $∠ ECD = ∠ B = 65°$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ CDE$中，由三角形内角和为$180°$，得
$∠ CDE = 180° - ∠ ECD - ∠ E = 180° - 65° - 70° = 45°$。
∵ $DA$平分$∠ CDE$，
∴ $∠ ADC = \frac{1}{2}∠ CDE = 22.5°$。
∵ 点$B$、$C$、$D$在同一条直线上，
∴ $∠ ACB + ∠ ACD = 180°$，
∴ $∠ ACD = 180° - ∠ ACB = 180° - 45° = 135°$。
在$△ ACD$中，由三角形内角和为$180°$，得
$∠ CAD = 180° - ∠ ACD - ∠ ADC = 180° - 135° - 22.5° = 22.5°$。
答：$∠ CAD$的度数为$22.5°$。
∵ $AB // EC$，
∴ $∠ ECD = ∠ B = 65°$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ CDE$中，由三角形内角和为$180°$，得
$∠ CDE = 180° - ∠ ECD - ∠ E = 180° - 65° - 70° = 45°$。
∵ $DA$平分$∠ CDE$，
∴ $∠ ADC = \frac{1}{2}∠ CDE = 22.5°$。
∵ 点$B$、$C$、$D$在同一条直线上，
∴ $∠ ACB + ∠ ACD = 180°$，
∴ $∠ ACD = 180° - ∠ ACB = 180° - 45° = 135°$。
在$△ ACD$中，由三角形内角和为$180°$，得
$∠ CAD = 180° - ∠ ACD - ∠ ADC = 180° - 135° - 22.5° = 22.5°$。
答：$∠ CAD$的度数为$22.5°$。
解析
【分析】
要求∠CAD的度数，观察可知∠CAD是△ACD的内角，可借助三角形内角和定理求解，只需先求出△ACD中另外两个内角∠ACD和∠ADC的度数即可：
1. 先求∠ADC：已知DA平分∠CDE，因此需先算出∠CDE的度数。∠CDE是△CDE的内角，已知∠E=70°，缺少∠ECD的度数，结合AB//EC的条件，根据平行线同位角相等的性质，可得∠ECD=∠B=65°，再用三角形内角和180°即可算出∠CDE，进而得到∠ADC的度数。
2. 再求∠ACD：由于B、C、D在同一直线上，∠ACB和∠ACD组成平角，已知∠ACB=45°，用平角180°减去∠ACB即可得到∠ACD的度数。
最后将∠ACD和∠ADC代入三角形内角和公式，即可求出∠CAD。
【解析】
∵ $AB // EC$，
∴ $∠ ECD = ∠ B = 65°$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ CDE$中，由三角形内角和为$180°$，得
$∠ CDE = 180° - ∠ ECD - ∠ E = 180° - 65° - 70° = 45°$。
∵ $DA$平分$∠ CDE$，
∴ $∠ ADC = \frac{1}{2}∠ CDE = 22.5°$。
∵ 点$B$、$C$、$D$在同一条直线上，
∴ $∠ ACB + ∠ ACD = 180°$，
∴ $∠ ACD = 180° - ∠ ACB = 180° - 45° = 135°$。
在$△ ACD$中，由三角形内角和为$180°$，得
$∠ CAD = 180° - ∠ ACD - ∠ ADC = 180° - 135° - 22.5° = 22.5°$。
【答案】
$22.5°$
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题时可从所求角出发逆向推导所需条件，再结合已知逐步计算对应角的度数，侧重考查基础几何性质的应用和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要求∠CAD的度数，观察可知∠CAD是△ACD的内角，可借助三角形内角和定理求解，只需先求出△ACD中另外两个内角∠ACD和∠ADC的度数即可：
1. 先求∠ADC：已知DA平分∠CDE，因此需先算出∠CDE的度数。∠CDE是△CDE的内角，已知∠E=70°，缺少∠ECD的度数，结合AB//EC的条件，根据平行线同位角相等的性质，可得∠ECD=∠B=65°，再用三角形内角和180°即可算出∠CDE，进而得到∠ADC的度数。
2. 再求∠ACD：由于B、C、D在同一直线上，∠ACB和∠ACD组成平角，已知∠ACB=45°，用平角180°减去∠ACB即可得到∠ACD的度数。
最后将∠ACD和∠ADC代入三角形内角和公式，即可求出∠CAD。
【解析】
∵ $AB // EC$，
∴ $∠ ECD = ∠ B = 65°$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ CDE$中，由三角形内角和为$180°$，得
$∠ CDE = 180° - ∠ ECD - ∠ E = 180° - 65° - 70° = 45°$。
∵ $DA$平分$∠ CDE$，
∴ $∠ ADC = \frac{1}{2}∠ CDE = 22.5°$。
∵ 点$B$、$C$、$D$在同一条直线上，
∴ $∠ ACB + ∠ ACD = 180°$，
∴ $∠ ACD = 180° - ∠ ACB = 180° - 45° = 135°$。
在$△ ACD$中，由三角形内角和为$180°$，得
$∠ CAD = 180° - ∠ ACD - ∠ ADC = 180° - 135° - 22.5° = 22.5°$。
【答案】
$22.5°$
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题时可从所求角出发逆向推导所需条件，再结合已知逐步计算对应角的度数，侧重考查基础几何性质的应用和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图，在$△ ABC$中，点 $D$ 在边 $CB$ 的延长线上，$CA$ 的延长线与$∠ ABD$ 的平分线 $BE$ 相交于点 $E$.求证：$∠ BAC=∠ C+2∠ E$. 
答案
证明：
∵ BE平分∠ABD，
∴ ∠ABE = ∠DBE。
∵ ∠DBE是△EBC的外角，
∴ ∠DBE = ∠C + ∠E。
∵ ∠BAC是△EAB的外角，
∴ ∠BAC = ∠E + ∠ABE。
将∠ABE = ∠DBE = ∠C + ∠E代入上式，可得：
∠BAC = ∠E + ∠C + ∠E = ∠C + 2∠E。
∴ ∠BAC = ∠C + 2∠E，得证。
∵ BE平分∠ABD，
∴ ∠ABE = ∠DBE。
∵ ∠DBE是△EBC的外角，
∴ ∠DBE = ∠C + ∠E。
∵ ∠BAC是△EAB的外角，
∴ ∠BAC = ∠E + ∠ABE。
将∠ABE = ∠DBE = ∠C + ∠E代入上式，可得：
∠BAC = ∠E + ∠C + ∠E = ∠C + 2∠E。
∴ ∠BAC = ∠C + 2∠E，得证。
解析
【分析】
要证明∠BAC=∠C+2∠E，可按以下思路推导：首先根据BE是∠ABD的平分线，由角平分线的定义可得∠ABE=∠DBE；再观察图形中的外角：∠DBE是△EBC的外角，∠BAC是△EAB的外角，根据三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），可分别得到两个外角对应的内角和关系；最后将得到的角的关系通过等量代换整合，即可推导出待证结论。
【解析】
证明：
∵ BE平分∠ABD，
∴ ∠ABE = ∠DBE。
∵ ∠DBE是△EBC的外角，
∴ ∠DBE = ∠C + ∠E。
∵ ∠BAC是△EAB的外角，
∴ ∠BAC = ∠E + ∠ABE。
将∠ABE = ∠DBE = ∠C + ∠E代入上式，可得：
∠BAC = ∠E + ∠C + ∠E = ∠C + 2∠E。
【答案】
∠BAC=∠C+2∠E，得证。
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质，等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是准确识别图形中的三角形外角，利用外角性质建立角的数量关系，再结合角平分线的定义完成等量代换，熟练掌握三角形外角性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
要证明∠BAC=∠C+2∠E，可按以下思路推导：首先根据BE是∠ABD的平分线，由角平分线的定义可得∠ABE=∠DBE；再观察图形中的外角：∠DBE是△EBC的外角，∠BAC是△EAB的外角，根据三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），可分别得到两个外角对应的内角和关系；最后将得到的角的关系通过等量代换整合，即可推导出待证结论。
【解析】
证明：
∵ BE平分∠ABD，
∴ ∠ABE = ∠DBE。
∵ ∠DBE是△EBC的外角，
∴ ∠DBE = ∠C + ∠E。
∵ ∠BAC是△EAB的外角，
∴ ∠BAC = ∠E + ∠ABE。
将∠ABE = ∠DBE = ∠C + ∠E代入上式，可得：
∠BAC = ∠E + ∠C + ∠E = ∠C + 2∠E。
【答案】
∠BAC=∠C+2∠E，得证。
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质，等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是准确识别图形中的三角形外角，利用外角性质建立角的数量关系，再结合角平分线的定义完成等量代换，熟练掌握三角形外角性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
