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三、解答题
7. 如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=4∠A，BD是边AC上的高，求∠DBC的度数.
7. 如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=4∠A，BD是边AC上的高，求∠DBC的度数.
答案
解：
设∠A = x，则∠ABC = ∠C = 4x。
根据三角形内角和定理，得
∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
即x + 4x + 4x = 180°，
解得x = 20°，
所以∠C = 4×20° = 80°。
因为BD是边AC上的高，
所以∠BDC = 90°，
在△BDC中，
∠DBC = 180° - 90° - ∠C = 10°。
答：∠DBC的度数为10°。
设∠A = x，则∠ABC = ∠C = 4x。
根据三角形内角和定理，得
∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
即x + 4x + 4x = 180°，
解得x = 20°，
所以∠C = 4×20° = 80°。
因为BD是边AC上的高，
所以∠BDC = 90°，
在△BDC中，
∠DBC = 180° - 90° - ∠C = 10°。
答：∠DBC的度数为10°。
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，题目给出了△ABC三个内角的倍数关系，我们可以通过设未知数，结合三角形内角和为180°的定理，先求出∠C的度数；再根据BD是AC边上的高，可得∠BDC为90°，最后在Rt△BDC中利用三角形内角和即可求出∠DBC的度数。
【解析】
设∠A = x，则∠ABC = ∠C = 4x。
根据三角形内角和定理，得
∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
即x + 4x + 4x = 180°，
解得x = 20°，
所以∠C = 4×20° = 80°。
因为BD是边AC上的高，
所以∠BDC = 90°，
在△BDC中，
∠DBC = 180° - 90° - ∠C = 10°。
【答案】
∠DBC的度数为10°
【知识点】
三角形内角和定理；高的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，核心是通过方程思想结合三角形内角和定理求出对应角的度数，再结合直角三角形的性质求解目标角，是角度计算的常见考法，需熟练掌握这类解题思路。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件，题目给出了△ABC三个内角的倍数关系，我们可以通过设未知数，结合三角形内角和为180°的定理，先求出∠C的度数；再根据BD是AC边上的高，可得∠BDC为90°，最后在Rt△BDC中利用三角形内角和即可求出∠DBC的度数。
【解析】
设∠A = x，则∠ABC = ∠C = 4x。
根据三角形内角和定理，得
∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
即x + 4x + 4x = 180°，
解得x = 20°，
所以∠C = 4×20° = 80°。
因为BD是边AC上的高，
所以∠BDC = 90°，
在△BDC中，
∠DBC = 180° - 90° - ∠C = 10°。
【答案】
∠DBC的度数为10°
【知识点】
三角形内角和定理；高的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，核心是通过方程思想结合三角形内角和定理求出对应角的度数，再结合直角三角形的性质求解目标角，是角度计算的常见考法，需熟练掌握这类解题思路。
【难度系数】
0.8
8. 如图，直线$a // b$，点A在直线a上，点B在直线b上，点C在直线a，b间.试用两种不同的方法证明$∠ ACB = ∠ 1 + ∠ 2$
答案
证明：
方法一：
过点C作$CD // a$，
$\because a // b$，
$\therefore CD // a // b$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ ACD$，$∠ 2 = ∠ BCD$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ 1 + ∠ 2$。
方法二：
延长$AC$，交直线$b$于点$D$，
$\because a // b$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ CDB$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠ ACB$是$△ BCD$的外角，
$\therefore ∠ ACB = ∠ CDB + ∠ 2$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
$\therefore ∠ ACB = ∠ 1 + ∠ 2$。
方法一：
过点C作$CD // a$，
$\because a // b$，
$\therefore CD // a // b$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ ACD$，$∠ 2 = ∠ BCD$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ 1 + ∠ 2$。
方法二：
延长$AC$，交直线$b$于点$D$，
$\because a // b$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ CDB$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠ ACB$是$△ BCD$的外角，
$\therefore ∠ ACB = ∠ CDB + ∠ 2$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
$\therefore ∠ ACB = ∠ 1 + ∠ 2$。
解析
【分析】
本题是平行线间折线角度的证明题，可通过两种常规思路推导：
思路1：过拐点C作平行于直线a的辅助线，利用平行线的传递性得到辅助线也平行于直线b，再根据两直线平行内错角相等的性质，将∠ACB拆分为两个分别与∠1、∠2相等的角，结合角的和差关系即可得证。
思路2：延长AC交直线b于一点，先利用平行线的性质将∠1转化为三角形的内角，再结合三角形外角等于与它不相邻两个内角和的性质，即可推导出结论。
【解析】
方法一：
过点C作$CD // a$，
$\because a // b$，
$\therefore CD // a // b$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ ACD$，$∠ 2 = ∠ BCD$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ 1 + ∠ 2$。
方法二：
延长$AC$，交直线$b$于点$D$，
$\because a // b$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ CDB$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠ ACB$是$△ BCD$的外角，
$\therefore ∠ ACB = ∠ CDB + ∠ 2$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
$\therefore ∠ ACB = ∠ 1 + ∠ 2$。
【答案】
$∠ ACB = ∠ 1 + ∠ 2$，证明过程如上。
【知识点】
平行线的性质；三角形外角定理；角的和差关系
【点评】
本题是平行线与三角形角度结合的典型题型，重点考察两类常见辅助线的构造方法，熟练掌握平行线性质和三角形外角性质，即可快速解决这类平行线间折线角度求和问题。
【难度系数】
0.7
本题是平行线间折线角度的证明题，可通过两种常规思路推导：
思路1：过拐点C作平行于直线a的辅助线，利用平行线的传递性得到辅助线也平行于直线b，再根据两直线平行内错角相等的性质，将∠ACB拆分为两个分别与∠1、∠2相等的角，结合角的和差关系即可得证。
思路2：延长AC交直线b于一点，先利用平行线的性质将∠1转化为三角形的内角，再结合三角形外角等于与它不相邻两个内角和的性质，即可推导出结论。
【解析】
方法一：
过点C作$CD // a$，
$\because a // b$，
$\therefore CD // a // b$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ ACD$，$∠ 2 = ∠ BCD$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ 1 + ∠ 2$。
方法二：
延长$AC$，交直线$b$于点$D$，
$\because a // b$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ CDB$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠ ACB$是$△ BCD$的外角，
$\therefore ∠ ACB = ∠ CDB + ∠ 2$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
$\therefore ∠ ACB = ∠ 1 + ∠ 2$。
【答案】
$∠ ACB = ∠ 1 + ∠ 2$，证明过程如上。
【知识点】
平行线的性质；三角形外角定理；角的和差关系
【点评】
本题是平行线与三角形角度结合的典型题型，重点考察两类常见辅助线的构造方法，熟练掌握平行线性质和三角形外角性质，即可快速解决这类平行线间折线角度求和问题。
【难度系数】
0.7
9. 在研究三角形内角和等于$180°$的证明方法时，小虎给出了下列证法.
证明 如图，在$△ ABC$中，作$CD ⊥ AB$于点$D$.
$\because CD ⊥ AB$，(已知)
$\therefore ∠ ADC = ∠ BDC = 90°$.(垂直的定义)
$\therefore ∠ A + ∠ ACD = 90°$，$∠ B + ∠ BCD = 90°$.
（直角三角形的两锐角互余）
$\therefore ∠ A + ∠ ACD + ∠ B + ∠ BCD = 180°$.(等式的性质)
$\therefore ∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$.
请你判断上述小虎同学的证法是否正确，如果不正确，写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法.
证明 如图，在$△ ABC$中，作$CD ⊥ AB$于点$D$.
$\because CD ⊥ AB$，(已知)
$\therefore ∠ ADC = ∠ BDC = 90°$.(垂直的定义)
$\therefore ∠ A + ∠ ACD = 90°$，$∠ B + ∠ BCD = 90°$.
（直角三角形的两锐角互余）
$\therefore ∠ A + ∠ ACD + ∠ B + ∠ BCD = 180°$.(等式的性质)
$\therefore ∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$.
请你判断上述小虎同学的证法是否正确，如果不正确，写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法.
答案
解：小虎同学的证法不正确，该证法属于循环论证：直角三角形两锐角互余的性质本身就是以三角形内角和等于180°为依据推导得出的，不能用来证明三角形内角和定理。
证明：在△ABC中，过点A作直线EF//BC。
∵ EF//BC，
∴ ∠EAB = ∠B，∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。
∵ 点E、A、F共线，
∴ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）。
通过等量代换可得：∠B + ∠BAC + ∠C = 180°，
即三角形内角和等于180°。
证明：在△ABC中，过点A作直线EF//BC。
∵ EF//BC，
∴ ∠EAB = ∠B，∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。
∵ 点E、A、F共线，
∴ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）。
通过等量代换可得：∠B + ∠BAC + ∠C = 180°，
即三角形内角和等于180°。
解析
【分析】
判断证法是否正确首先要验证证明逻辑是否严谨，是否存在循环论证问题：本题待证结论是三角形内角和为180°，小虎使用的“直角三角形两锐角互余”这一性质本身就是由三角形内角和为180°推导而来的，相当于用待证结论作为推导依据，逻辑不成立，因此证法错误。正确证明三角形内角和定理需使用不依赖该定理的已知结论，可通过作平行线把三角形的三个内角转移到同一顶点处凑成平角，利用平角为180°的已知结论完成推导。
【解析】
首先判断小虎的证法不正确，理由：该证法属于循环论证，“直角三角形的两锐角互余”这一性质本身就是以三角形内角和等于180°为依据推导得到的，不能用来证明三角形内角和定理。
正确证明过程：
在$△ ABC$中，过点$A$作直线$EF// BC$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ EAB = ∠ B$，$∠ FAC = ∠ C$（两直线平行，内错角相等）。
$\because$点$E$、$A$、$F$共线，
$\therefore ∠ EAB + ∠ BAC + ∠ FAC = 180°$（平角的定义）。
通过等量代换可得：$∠ B + ∠ BAC + ∠ C = 180°$，即三角形内角和等于$180°$。
【答案】
小虎同学的证法不正确，该证法属于循环论证：直角三角形两锐角互余的性质本身就是以三角形内角和等于$180°$为依据推导得出的，不能用来证明三角形内角和定理。
证明：在$△ ABC$中，过点$A$作直线$EF// BC$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ EAB = ∠ B$，$∠ FAC = ∠ C$（两直线平行，内错角相等）。
$\because$点$E$、$A$、$F$共线，
$\therefore ∠ EAB + ∠ BAC + ∠ FAC = 180°$（平角的定义）。
通过等量代换可得：$∠ B + ∠ BAC + ∠ C = 180°$，
即三角形内角和等于$180°$。
【知识点】
三角形内角和定理，平行线的性质，平角的定义
【点评】
本题主要考查几何证明的逻辑严谨性，需注意避免循环论证的错误，即待证明的结论不能作为推导过程的依据。借助平行线性质将三角形内角转化为平角是证明三角形内角和定理的经典方法，能够很好地训练几何证明的逻辑思维。
【难度系数】
0.5
判断证法是否正确首先要验证证明逻辑是否严谨，是否存在循环论证问题：本题待证结论是三角形内角和为180°，小虎使用的“直角三角形两锐角互余”这一性质本身就是由三角形内角和为180°推导而来的，相当于用待证结论作为推导依据，逻辑不成立，因此证法错误。正确证明三角形内角和定理需使用不依赖该定理的已知结论，可通过作平行线把三角形的三个内角转移到同一顶点处凑成平角，利用平角为180°的已知结论完成推导。
【解析】
首先判断小虎的证法不正确，理由：该证法属于循环论证，“直角三角形的两锐角互余”这一性质本身就是以三角形内角和等于180°为依据推导得到的，不能用来证明三角形内角和定理。
正确证明过程：
在$△ ABC$中，过点$A$作直线$EF// BC$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ EAB = ∠ B$，$∠ FAC = ∠ C$（两直线平行，内错角相等）。
$\because$点$E$、$A$、$F$共线，
$\therefore ∠ EAB + ∠ BAC + ∠ FAC = 180°$（平角的定义）。
通过等量代换可得：$∠ B + ∠ BAC + ∠ C = 180°$，即三角形内角和等于$180°$。
【答案】
小虎同学的证法不正确，该证法属于循环论证：直角三角形两锐角互余的性质本身就是以三角形内角和等于$180°$为依据推导得出的，不能用来证明三角形内角和定理。
证明：在$△ ABC$中，过点$A$作直线$EF// BC$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ EAB = ∠ B$，$∠ FAC = ∠ C$（两直线平行，内错角相等）。
$\because$点$E$、$A$、$F$共线，
$\therefore ∠ EAB + ∠ BAC + ∠ FAC = 180°$（平角的定义）。
通过等量代换可得：$∠ B + ∠ BAC + ∠ C = 180°$，
即三角形内角和等于$180°$。
【知识点】
三角形内角和定理，平行线的性质，平角的定义
【点评】
本题主要考查几何证明的逻辑严谨性，需注意避免循环论证的错误，即待证明的结论不能作为推导过程的依据。借助平行线性质将三角形内角转化为平角是证明三角形内角和定理的经典方法，能够很好地训练几何证明的逻辑思维。
【难度系数】
0.5
