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1. $\cos 60°$的值为（
A
）答案
1. A
解析
【分析】
要计算$\cos60°$的值，我们可以从两个方向思考：一是直接记忆30°、45°、60°这类特殊锐角的三角函数值，直接得到结果；二是结合锐角余弦的定义，通过含60°角的直角三角形的边长关系推导得出。首先回忆余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值，再结合含30°、60°角的直角三角形的三边比例关系，就能算出结果。
【解析】
方法1：直接记忆特殊角的三角函数值，可得$\cos60°=\frac{1}{2}$。
方法2：推导验证：在直角三角形中，若一个锐角为$60°$，则另一个锐角为$30°$。设$30°$角所对的直角边长为$a$，根据直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半，可得斜边长为$2a$。根据勾股定理可算出$60°$角的邻边长为$a$。
根据余弦的定义：$\cosα=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}$，代入得$\cos60°=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值、锐角余弦的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查特殊锐角三角函数值的掌握情况，相关特殊角的三角函数值是三角函数模块的基础内容，需要熟练记忆，也可通过直角三角形的边长关系推导验证，降低记忆出错的概率。
【难度系数】
0.9
要计算$\cos60°$的值，我们可以从两个方向思考：一是直接记忆30°、45°、60°这类特殊锐角的三角函数值，直接得到结果；二是结合锐角余弦的定义，通过含60°角的直角三角形的边长关系推导得出。首先回忆余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值，再结合含30°、60°角的直角三角形的三边比例关系，就能算出结果。
【解析】
方法1：直接记忆特殊角的三角函数值，可得$\cos60°=\frac{1}{2}$。
方法2：推导验证：在直角三角形中，若一个锐角为$60°$，则另一个锐角为$30°$。设$30°$角所对的直角边长为$a$，根据直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半，可得斜边长为$2a$。根据勾股定理可算出$60°$角的邻边长为$a$。
根据余弦的定义：$\cosα=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}$，代入得$\cos60°=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值、锐角余弦的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查特殊锐角三角函数值的掌握情况，相关特殊角的三角函数值是三角函数模块的基础内容，需要熟练记忆，也可通过直角三角形的边长关系推导验证，降低记忆出错的概率。
【难度系数】
0.9
2. 一个人从山下沿$30°$角的坡路向上攀登，如果在坡面上走了100 m，那么他上升的高度是（
A.100 m
B.50 m
C.$50\sqrt{3}$ m
D.200 m
B
）A.100 m
B.50 m
C.$50\sqrt{3}$ m
D.200 m
答案
2. B
解析
【分析】
这是一道结合实际场景的解直角三角形问题，解题思路如下：首先将爬坡场景抽象为直角三角形模型：坡角30°是直角三角形的一个锐角，人在坡面上走的100m是直角三角形的斜边，要求的上升高度是30°角对应的直角边。接下来可以利用锐角三角函数中正弦的定义，或者30°直角三角形的特殊性质求解对边长度即可。
【解析】
我们将问题转化为Rt△ABC，其中∠C=90°，坡角∠A=30°，斜边AB=100m，上升高度就是∠A的对边BC。
根据正弦函数的定义：$\sin A = \frac{对边}{斜边} = \frac{BC}{AB}$
已知$\sin30°=\frac{1}{2}$，代入AB=100m可得：
$BC = AB × \sin30° = 100 × \frac{1}{2} = 50\ \mathrm{m}$
也可直接利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，直接得到BC=$\frac{1}{2}AB=50\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础应用题，核心是将实际问题转化为直角三角形的数学模型，只要能准确找出对应角和对应边，结合特殊角的三角函数值就能快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道结合实际场景的解直角三角形问题，解题思路如下：首先将爬坡场景抽象为直角三角形模型：坡角30°是直角三角形的一个锐角，人在坡面上走的100m是直角三角形的斜边，要求的上升高度是30°角对应的直角边。接下来可以利用锐角三角函数中正弦的定义，或者30°直角三角形的特殊性质求解对边长度即可。
【解析】
我们将问题转化为Rt△ABC，其中∠C=90°，坡角∠A=30°，斜边AB=100m，上升高度就是∠A的对边BC。
根据正弦函数的定义：$\sin A = \frac{对边}{斜边} = \frac{BC}{AB}$
已知$\sin30°=\frac{1}{2}$，代入AB=100m可得：
$BC = AB × \sin30° = 100 × \frac{1}{2} = 50\ \mathrm{m}$
也可直接利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，直接得到BC=$\frac{1}{2}AB=50\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础应用题，核心是将实际问题转化为直角三角形的数学模型，只要能准确找出对应角和对应边，结合特殊角的三角函数值就能快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 计算。
(1)$\tan 45° + \cos 60° =$
(2)$\sin 60° - \tan 30° =$
(3)$\frac{\sin 60°}{\cos 60°} =$
(1)$\tan 45° + \cos 60° =$
$\frac{3}{2}$
。(2)$\sin 60° - \tan 30° =$
$\frac{\sqrt{3}}{6}$
。(3)$\frac{\sin 60°}{\cos 60°} =$
$\sqrt{3}$
。答案
(1)$\frac{3}{2}$ (2)$\frac{\sqrt{3}}{6}$ (3)$\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题考查特殊锐角的三角函数值的应用，解题思路如下：第一步，先准确记忆30°、45°、60°这三个特殊角的正弦、余弦、正切函数值；第二步，将对应值代入每个待求式子中；第三步，按照分数、二次根式的运算法则进行计算化简，最终得到结果。
【解析】
(1) 回忆特殊角三角函数值：$\tan45°=1$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，代入计算：
$\tan 45° + \cos 60° =1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
(2) 回忆特殊角三角函数值：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，通分后计算：
$\sin 60° - \tan 30° =\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{6}-\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6}$
(3) 方法一：代入特殊角三角函数值$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，计算得：
$\frac{\sin 60°}{\cos 60°}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$
方法二：根据同角三角函数关系$\frac{\sinα}{\cosα}=\tanα$，可得原式$=\tan60°=\sqrt{3}$
【答案】
(1)$\frac{3}{2}$ (2)$\frac{\sqrt{3}}{6}$ (3)$\sqrt{3}$
【知识点】
1.特殊角的三角函数值 2.二次根式运算
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，核心考查对特殊锐角三角函数值的识记，运算难度低，只要熟练记忆对应数值，结合基础的四则运算即可得分，是该章节的必拿分题型。
【难度系数】
0.8
本题考查特殊锐角的三角函数值的应用，解题思路如下：第一步，先准确记忆30°、45°、60°这三个特殊角的正弦、余弦、正切函数值；第二步，将对应值代入每个待求式子中；第三步，按照分数、二次根式的运算法则进行计算化简，最终得到结果。
【解析】
(1) 回忆特殊角三角函数值：$\tan45°=1$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，代入计算：
$\tan 45° + \cos 60° =1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
(2) 回忆特殊角三角函数值：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，通分后计算：
$\sin 60° - \tan 30° =\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{6}-\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6}$
(3) 方法一：代入特殊角三角函数值$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，计算得：
$\frac{\sin 60°}{\cos 60°}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$
方法二：根据同角三角函数关系$\frac{\sinα}{\cosα}=\tanα$，可得原式$=\tan60°=\sqrt{3}$
【答案】
(1)$\frac{3}{2}$ (2)$\frac{\sqrt{3}}{6}$ (3)$\sqrt{3}$
【知识点】
1.特殊角的三角函数值 2.二次根式运算
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，核心考查对特殊锐角三角函数值的识记，运算难度低，只要熟练记忆对应数值，结合基础的四则运算即可得分，是该章节的必拿分题型。
【难度系数】
0.8
4. 如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使
斜边CD//AB，则∠α的正切值为
斜边CD//AB，则∠α的正切值为
$\sqrt{3}$
。答案
$\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：CD平行于AB，三角板的∠C=30°，∠COD为直角，点O在直线AB上。第一步利用平行线的内错角相等性质，求出∠AOC的度数；第二步结合平角为180°、直角为90°的性质，计算出∠α的度数；第三步根据特殊角的三角函数值，求出∠α的正切值即可。
【解析】
∵ CD//AB，∠C=30°，
∴ ∠AOC=∠C=30°（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠COD=90°，∠AOB是平角，度数为180°，
∴ ∠AOC + ∠COD + ∠α = 180°，
代入数值可得：30° + 90° + ∠α = 180°，
解得：∠α=60°，
∴ tanα = tan60° = √3。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
平行线的性质；特殊角的三角函数值；平角的定义
【点评】
本题属于基础类几何与三角函数综合题，解题核心是先通过几何角度运算得到∠α的度数，再代入特殊角的三角函数值求解，逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：CD平行于AB，三角板的∠C=30°，∠COD为直角，点O在直线AB上。第一步利用平行线的内错角相等性质，求出∠AOC的度数；第二步结合平角为180°、直角为90°的性质，计算出∠α的度数；第三步根据特殊角的三角函数值，求出∠α的正切值即可。
【解析】
∵ CD//AB，∠C=30°，
∴ ∠AOC=∠C=30°（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠COD=90°，∠AOB是平角，度数为180°，
∴ ∠AOC + ∠COD + ∠α = 180°，
代入数值可得：30° + 90° + ∠α = 180°，
解得：∠α=60°，
∴ tanα = tan60° = √3。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
平行线的性质；特殊角的三角函数值；平角的定义
【点评】
本题属于基础类几何与三角函数综合题，解题核心是先通过几何角度运算得到∠α的度数，再代入特殊角的三角函数值求解，逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
5. 计算下列各式。
(1)$\sin 30° + \sqrt{2}\cos 45° + \tan 45°$。
(2)$6\tan^2 30° - \sqrt{3}\sin 60° - 2\sin 45°$。
(3)$\sin^2 30° + \cos^2 30° + \tan 60°$。
(4)$\frac{2\tan 30°}{1 - \tan^2 30°}$。
(1)$\sin 30° + \sqrt{2}\cos 45° + \tan 45°$。
(2)$6\tan^2 30° - \sqrt{3}\sin 60° - 2\sin 45°$。
(3)$\sin^2 30° + \cos^2 30° + \tan 60°$。
(4)$\frac{2\tan 30°}{1 - \tan^2 30°}$。
答案
(1)$\frac{5}{2}$ (2)$\frac{1}{2}-\sqrt{3}$ (3)$1+\sqrt{3}$ (4)$\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，解题思路如下：首先要牢记30°、45°、60°三个特殊锐角的正弦、余弦、正切值，再将对应数值代入各个算式，按照实数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的）逐步计算即可。
【解析】
先明确用到的特殊角三角函数值与同角三角函数关系：
$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}$，且$\sin^2α+\cos^2α=1$。
(1) 代入计算：
$\begin{aligned}\sin 30° + \sqrt{2}\cos 45° + \tan 45°&=\frac{1}{2}+\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+1\\&=\frac{1}{2}+1+1\\&=\frac{5}{2}\end{aligned}$
(2) 代入计算：
$\begin{aligned}6\tan^2 30° - \sqrt{3}\sin 60° - 2\sin 60°&=6×(\frac{\sqrt{3}}{3})^2 - \sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2} - 2×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=6×\frac{1}{3}-\frac{3}{2}-\sqrt{3}\\&=2-\frac{3}{2}-\sqrt{3}\\&=\frac{1}{2}-\sqrt{3}\end{aligned}$
(3) 代入计算：
$\begin{aligned}\sin^2 30° + \cos^2 30° + \tan 60°&=1+\sqrt{3}\end{aligned}$
(直接利用同角三角函数关系$\sin^2α+\cos^2α=1$简化计算)
(4) 代入计算：
$\begin{aligned}\frac{2\tan 30°}{1 - \tan^2 30°}&=\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-(\frac{\sqrt{3}}{3})^2}\\&=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}\\&=\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{5}{2}$ (2)$\frac{1}{2}-\sqrt{3}$ (3)$1+\sqrt{3}$ (4)$\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数混合运算、同角三角函数关系
【点评】
本题是三角函数基础运算题，解题的关键是准确记忆特殊锐角的三角函数值，计算时注意运算顺序，即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，解题思路如下：首先要牢记30°、45°、60°三个特殊锐角的正弦、余弦、正切值，再将对应数值代入各个算式，按照实数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的）逐步计算即可。
【解析】
先明确用到的特殊角三角函数值与同角三角函数关系：
$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}$，且$\sin^2α+\cos^2α=1$。
(1) 代入计算：
$\begin{aligned}\sin 30° + \sqrt{2}\cos 45° + \tan 45°&=\frac{1}{2}+\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+1\\&=\frac{1}{2}+1+1\\&=\frac{5}{2}\end{aligned}$
(2) 代入计算：
$\begin{aligned}6\tan^2 30° - \sqrt{3}\sin 60° - 2\sin 60°&=6×(\frac{\sqrt{3}}{3})^2 - \sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2} - 2×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=6×\frac{1}{3}-\frac{3}{2}-\sqrt{3}\\&=2-\frac{3}{2}-\sqrt{3}\\&=\frac{1}{2}-\sqrt{3}\end{aligned}$
(3) 代入计算：
$\begin{aligned}\sin^2 30° + \cos^2 30° + \tan 60°&=1+\sqrt{3}\end{aligned}$
(直接利用同角三角函数关系$\sin^2α+\cos^2α=1$简化计算)
(4) 代入计算：
$\begin{aligned}\frac{2\tan 30°}{1 - \tan^2 30°}&=\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-(\frac{\sqrt{3}}{3})^2}\\&=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}\\&=\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{5}{2}$ (2)$\frac{1}{2}-\sqrt{3}$ (3)$1+\sqrt{3}$ (4)$\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数混合运算、同角三角函数关系
【点评】
本题是三角函数基础运算题，解题的关键是准确记忆特殊锐角的三角函数值，计算时注意运算顺序，即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
