6. 若在$△ ABC$中，$\sin A = \cos B = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，则$△ ABC$是（）

A.直角非等腰三角形
B.等腰非直角三角形
C.等腰直角三角形
D.锐角三角形

6. C

【分析】
解题时先根据特殊角的三角函数值求出∠B的度数，再根据sinA的值列出∠A的可能取值，结合三角形内角和为180°排除不符合条件的角度，最后计算出∠C的度数，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵在△ABC中，$\cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，且$0°＜∠ B＜180°$，
∴$∠ B=45°$。
又
∵$\sin A=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，且$0°＜∠ A＜180°$，
∴$∠ A=45°$或$∠ A=135°$。
当$∠ A=135°$时，$∠ A+∠ B=135°+45°=180°$，不符合三角形内角和为$180°$的性质，故舍去，
∴$∠ A=45°$。
则$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-45°-45°=90°$。
因此△ABC中$∠ A=∠ B=45°$，$∠ C=90°$，是等腰直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值；三角形内角和定理；三角形分类
【点评】
本题重点考查特殊角三角函数值的实际应用，解题时需注意三角形内角的取值范围，要对求出的角度进行验证，排除不符合题意的情况，避免出错。
【难度系数】
0.8

7. 如图所示，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°。若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（）

A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2

7. D

【分析】
解题时先从已知条件入手：①首先回忆正方形的性质，正方形对边平行，可得内错角∠BEF=∠EFD=60°；②再结合折叠的性质，折叠前后对应角相等、对应边相等，可推出∠B'EF=∠BEF=60°，且B'E=BE，进而可算出∠AEB'=60°；③最后在Rt△AEB'中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，设BE为未知数，结合AB=3列方程求解即可。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，AB=3，
∴AB//CD，∠A=90°，AB=3。
∵AB//CD，
∴∠BEF=∠EFD=60°（两直线平行，内错角相等）。
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B落在AD边上的B'处，
∴∠B'EF=∠BEF=60°，B'E=BE。
∴∠AEB'=180°-∠B'EF-∠BEF=180°-60°-60°=60°。
在Rt△AEB'中，∠A=90°，∠AEB'=60°，
∴∠AB'E=30°，则AE=½B'E。
设BE=x，则B'E=x，AE=AB-BE=3-x，
代入得：3-x=½x，
解得x=2，即BE的长度为2。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何折叠类的典型题型，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，结合正方形的边角特征、特殊直角三角形的边角关系建立方程求解，对几何性质的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7

8. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan A=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，则$\cos B=$。

$\frac{1}{2}$

【分析】
解题思路：首先，已知直角三角形中∠A的正切值，我们可以先根据特殊角的三角函数值确定∠A的度数；再利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠B的度数，最后代入特殊角的余弦值即可得到结果。也可以通过设参数表示三角形各边长，结合锐角三角函数的定义和勾股定理直接计算cosB，两种方法都符合当前学段要求。
【解析】
解法一：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan A=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，且$\tan30°=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ $∠A=30°$，
∵ 直角三角形两锐角互余，即$∠A+∠B=90°$，
∴ $∠B=90°-30°=60°$，
∴ $\cos B=\cos60°=\dfrac{1}{2}$。
解法二：
∵ $\tan A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，可设$BC=\sqrt{3}k$，$AC=3k$（$k＞0$），
由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(3k)^2+(\sqrt{3}k)^2}=2\sqrt{3}k$，
∵ $\cos B$是$∠B$的邻边与斜边的比，即$\cos B=\dfrac{BC}{AB}$，
代入得$\cos B=\dfrac{\sqrt{3}k}{2\sqrt{3}k}=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，直角三角形两锐角互余，锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题型，考查对锐角三角函数相关基础知识的掌握情况，既可以通过熟记特殊角的三角函数值快速求解，也可以通过设边计算的方式得到结果，解题方法灵活，核心是对锐角三角函数概念和特殊角数值的熟练运用。
【难度系数】
0.8

9. 如图，$ON⊥ OM$，在等腰直角三角形$ACB$中，$∠ ACB=90°$，边$AC$在$OM$上，将$△ ACB$绕点$A$逆时针旋转$75°$，使得点$B$的对应点$E$恰好落在$ON$上，则$\cos∠ OAE=$。

$\frac{1}{2}$

【分析】
解题时首先结合等腰直角三角形的性质得到∠BAC的度数，再根据旋转的性质确定旋转角∠BAE的度数，结合平角为180°求出∠OAE的度数，最后代入特殊角的余弦值即可得到结果。
【解析】
1. 由等腰直角三角形的性质可知：
∵△ACB是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠BAC=45°。
2. 根据旋转的性质：
∵△ACB绕点A逆时针旋转75°得到△AED，点B对应点E，
∴旋转角∠BAE=75°。
3. 计算∠OAE的度数：
∵点O、A、C、M在同一直线上，平角为180°，
∴∠OAE + ∠BAE + ∠BAC = 180°，
代入∠BAE=75°，∠BAC=45°得：
∠OAE = 180° - 75° - 45° = 60°。
4. 求余弦值：
$\cos∠ OAE = \cos60° = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是通过几何图形的性质求出未知角的度数，再结合特殊角的三角函数值求解，熟练掌握相关基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

10. 在$△ ABC$中，$∠ A = 30°$，$\tan B = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$AC = 2\sqrt{3}$，求线段$AB$的长。

5

【分析】
要求AB的长，已知△ABC是斜三角形，没有直接可用的直角，因此考虑过点C作CD⊥AB于D，将△ABC拆分为两个直角三角形求解。先在含30°角的Rt△ACD中，利用锐角三角函数或30°角直角三角形的性质求出CD、AD的长度；再在Rt△BCD中，利用tanB的定义求出BD的长度，最后将AD和BD相加即可得到AB的长。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠A=30°，$AC=2\sqrt{3}$，
∴ $CD = AC·\sin A = 2\sqrt{3} × \sin30° = 2\sqrt{3} × \frac{1}{2} = \sqrt{3}$，
$AD = AC·\cos A = 2\sqrt{3} × \cos30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$，
在Rt△BCD中，$\tan B = \frac{CD}{BD} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
将$CD=\sqrt{3}$代入得：$BD = CD ÷ \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} × \frac{2}{\sqrt{3}} = 2$，
∴ $AB = AD + BD = 3 + 2 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 解直角三角形
3. 30°直角三角形性质
【点评】
本题解题的核心是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，结合锐角三角函数的定义即可逐步求出未知线段长度，是解三角形的基础题型。
【难度系数】
0.7

11. 长为4 m的梯子搭在墙上与地面成$45°$角，作业时调整为$60°$角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了 m。
12. 小新学习三角函数时，遇到一个这样的问题：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C＝90°$，$∠ B＝15°$，求$\tan 15°$的值。
【解题思路】小新先画出了几何图形（如图1），他觉得$15°$虽然不是特殊角，但$15°$是$30°$的一半，于是他作$∠ CAD＝60°$，$AD$交$CB$于点$D$，可得$△ ABD$是等腰三角形（如图2）。设$AC＝a$，则……

【实践应用】请把以上小新求$\tan 15°$的值的解题过程补充完整。
【类比探究】如图3，求$\tan 22.5°$的值。

11. $2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$
12. 【实践应用】设 $AC=a , \because C=90°,∠ CAD=60°,\therefore ∠ ADC=30°$。$\because AC=a , \therefore CD=\sqrt{3} a , AD=2a$。$\because ∠ ADC=30°,∠ B=15°,\therefore ∠ BAD=∠ ADC-∠ B=15°,\therefore ∠ BAD=∠ B,\therefore BD=AD=2a , \therefore BC=BD+CD=2a+\sqrt{3} a , \therefore \tan 15°=\tan B=2-\sqrt{3}$
【类比探究】$\sqrt{2}-1$

【分析】
第11题思路
梯子长度固定为4m，调整前后梯子、墙面、地面均构成直角三角形，我们可以分别利用特殊角的正弦函数求出调整前后梯子顶端到地面的高度，两个高度的差值就是顶端升高的距离。
第12题思路
实践应用
15°是30°的一半，构造含60°角的直角三角形得到30°角，再利用三角形外角性质推出△ABD为等腰三角形；设AC=a，用含a的式子分别表示出Rt△ABC中∠B的对边BC和邻边AC，根据正切的定义即可求出tan15°的值。
类比探究
22.5°是45°的一半，类比实践应用的方法，构造含45°角的直角三角形得到等腰三角形，设参数表示对应边后代入正切定义计算，即可得到tan22.5°的值。
【解析】
第11题解析
调整前梯子与地面成45°角，此时顶端高度：
$h_1 = 4 × \sin45° = 4 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \ \mathrm{m}$
调整后梯子与地面成60°角，此时顶端高度：
$h_2 = 4 × \sin60° = 4 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \ \mathrm{m}$
顶端升高的距离为：$h_2 - h_1 = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \ \mathrm{m}$
第12题解析
【实践应用】
设$AC=a$，
$\because ∠ C=90°, ∠ CAD=60°$，$\therefore ∠ ADC=30°$，
$\therefore AD=2AC=2a$，$CD=AC · \tan60° = \sqrt{3}a$。
$\because ∠ ADC$是$△ ABD$的外角，
$\therefore ∠ BAD = ∠ ADC - ∠ B = 30° - 15° = 15°$，即$∠ BAD = ∠ B$，
$\therefore BD = AD = 2a$，$BC = BD + CD = 2a + \sqrt{3}a$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中：
$\tan15° = \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{a}{2a + \sqrt{3}a} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$
【类比探究】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°, ∠ B=22.5°$，作$∠ CAD=45°$，$AD$交$CB$于点$D$，
则$∠ ADC=45°$，$\therefore AC=CD$，$AD=\sqrt{2}AC$。
$\because ∠ BAD = ∠ ADC - ∠ B = 45° - 22.5° = 22.5° = ∠ B$，
$\therefore BD = AD = \sqrt{2}AC$。
设$AC=a$，则$CD=a$，$BD=\sqrt{2}a$，$BC=BD+CD = (\sqrt{2}+1)a$，
$\therefore \tan22.5° = \frac{AC}{BC} = \frac{a}{(\sqrt{2}+1)a} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2} - 1$
【答案】
11. $2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$
12. 【实践应用】$\tan15°=2-\sqrt{3}$；【类比探究】$\tan22.5°=\sqrt{2}-1$

【知识点】
特殊角的三角函数值，锐角三角函数的定义，等腰三角形的判定与性质
【点评】
这组题目围绕三角函数的实际应用和非特殊角三角函数值求解展开，核心是通过构造特殊角的直角三角形，结合三角形外角性质和等腰三角形性质，将非特殊角的计算转化为特殊角的相关运算，解题中参数法的运用可以有效简化计算，是三角函数部分的典型题型。
【难度系数】
0.65