1. 二次函数$y=-2(x-3)^2$的顶点坐标是（）

A.$(-3,0)$
B.$(-3,-2)$
C.$(3,0)$
D.$(3,-2)$

1. C

【分析】求解本题需先回忆二次函数顶点式的结构特征：形如$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的二次函数为顶点式，其顶点坐标直接为$(h,k)$。解题时将题干给出的函数式与标准顶点式对照，确定参数$h$和$k$的值即可，注意$h$是$x$减去的数，不要误判符号。
【解析】二次函数顶点式的标准形式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），该形式下函数的顶点坐标为$(h,k)$。
将题干中的函数$y=-2(x-3)^2$改写为$y=-2(x-3)^2+0$，对照标准顶点式可得：$h=3$，$k=0$。
因此该二次函数的顶点坐标为$(3,0)$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】本题是基础考点题，重点考查对二次函数顶点式性质的掌握，只要熟记顶点式中各参数的意义，规避$h$符号判断错误的易错点，即可快速得分。
【难度系数】0.9

2. 二次函数$y=5x^2$的图象向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线表达式为（）

A.$y=5(x-2)^2+4$
B.$y=5(x-2)^2-4$
C.$y=5(x+2)^2+4$
D.$y=5(x+2)^2-4$

2. C

【分析】
解决本题需要用到二次函数图象平移的核心规律“左加右减，上加下减”，首先明确：“左加右减”是针对自变量x本身的变换，仅修改x的部分；“上加下减”是针对整个函数值的变换，直接在表达式末尾加减平移单位。解题时先计算向左平移后的表达式，再计算向上平移后的表达式，对应匹配选项即可。
【解析】
解：二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规则：
1. 原抛物线表达式为$y=5x^2$，向左平移2个单位，将自变量$x$替换为$x+2$，得到$y=5(x+2)^2$；
2. 再将所得图象向上平移4个单位，在表达式末尾加4，最终得到的抛物线表达式为$y=5(x+2)^2+4$。
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移、函数平移规律
【点评】
本题是基础常考题，主要考察二次函数图象的平移规则，解题时注意“左加右减”仅针对自变量x做变换，不要混淆左右平移的加减方向，熟练掌握规律即可快速得分。
【难度系数】
0.85

3. 抛物线$y=3x^2 -5$开口（填“向上”或“向下”），对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线向平移个单位得到的。

3. 向上 y轴(或直线$x=0$) $(0,-5)$ $y=3x^2$ 下 5

【分析】
解题时先回忆形如$y=ax^2+k$（$a≠0$）的二次函数相关性质：1. 开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；2. 该形式的二次函数无一次项，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$；3. 二次函数平移遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律。结合题目给出的函数$y=3x^2-5$，对应找到$a$和$k$的值，逐一推导各空答案即可。
【解析】
1. 开口方向判断：二次函数$y=3x^2-5$中$a=3＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 对称轴推导：该函数属于$y=ax^2+k$的形式，不含一次项，因此对称轴为y轴，也可记作直线$x=0$；
3. 顶点坐标推导：$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，此处$k=-5$，因此顶点坐标为$(0,-5)$；
4. 平移关系推导：根据二次函数平移“上加下减”的规律，$y=3x^2-5$是由$y=3x^2$的常数项减5得到，因此是抛物线$y=3x^2$向下平移5个单位得到的。
【答案】
向上；y轴(或直线$x=0$)；$(0,-5)$；$y=3x^2$；下；5
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质；2. 二次函数平移规律
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题，重点考察$y=ax^2+k$型二次函数的基本性质和平移规律，熟练掌握基础定义和规律即可快速求解，是后续学习复杂二次函数的基础。
【难度系数】
0.9

4. 将二次函数$y=ax^2(a≠0)$向右平移2个单位经过点（3，1），则a=。

4. 1

【分析】
解题思路可分为两步：第一步，回忆二次函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律，写出原函数向右平移2个单位后的解析式；第二步，利用平移后的函数经过点(3,1)的条件，将点坐标代入平移后的解析式，通过解方程求出a的值。
【解析】
根据二次函数图象平移“左加右减”的规律，将二次函数$y=ax^2$向右平移2个单位后，所得函数的解析式为：
$y=a(x-2)^2$
已知平移后的函数图象经过点$(3,1)$，将$x=3$，$y=1$代入上式得：
$1=a×(3-2)^2$
化简得：$1=a×1^2$
解得：$a=1$
【答案】
1
【知识点】
1. 二次函数平移规律
2. 待定系数法求参数
【点评】
本题考查二次函数平移的基本规则与待定系数法的应用，核心是准确掌握平移时自变量的变化规律，属于二次函数章节的基础题型。
【难度系数】
0.9

5. 写出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)$y=-3x^2+1$;
(2)$y=\frac{1}{2}(x-\sqrt{3})^2$;
(3)$y=-2(x-3)^2+5$;
(4)$y=3(x+1)^2-5$。

5. (1)开口向下;对称轴:y轴;顶点:(0,1)
(2)开口向上;对称轴:直线$x=\sqrt{3}$;顶点:$(\sqrt{3},0)$
(3)开口向下;对称轴:直线$x=3$;顶点:$(3,5)$
(4)开口向上;对称轴:直线$x=-1$;顶点:$(-1,-5)$

【分析】
要解决这类问题，需先牢记二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的性质：①$a$的符号决定开口方向：$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；②对称轴为直线$x=h$；③顶点坐标为$(h,k)$。解题时先把每个给定的二次函数对应到顶点式的形式，确定参数$a、h、k$的值，再依次推导开口方向、对称轴、顶点坐标即可，注意若式中出现$(x+m)$的形式，需转化为$(x-(-m))$，避免$h$的符号判断错误。
【解析】
我们根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的性质逐一求解：
(1) $y=-3x^2+1$可变形为$y=-3(x-0)^2+1$，其中$a=-3＜0$，$h=0$，$k=1$，因此开口向下，对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,1)$。
(2) $y=\frac{1}{2}(x-\sqrt{3})^2$可变形为$y=\frac{1}{2}(x-\sqrt{3})^2+0$，其中$a=\frac{1}{2}＞0$，$h=\sqrt{3}$，$k=0$，因此开口向上，对称轴为直线$x=\sqrt{3}$，顶点坐标为$(\sqrt{3},0)$。
(3) $y=-2(x-3)^2+5$是标准顶点式，其中$a=-2＜0$，$h=3$，$k=5$，因此开口向下，对称轴为直线$x=3$，顶点坐标为$(3,5)$。
(4) $y=3(x+1)^2-5$可变形为$y=3(x-(-1))^2+(-5)$，其中$a=3＞0$，$h=-1$，$k=-5$，因此开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-5)$。
【答案】
(1)开口向下;对称轴:y轴;顶点:(0,1)
(2)开口向上;对称轴:直线$x=\sqrt{3}$;顶点:$(\sqrt{3},0)$
(3)开口向下;对称轴:直线$x=3$;顶点:$(3,5)$
(4)开口向上;对称轴:直线$x=-1$;顶点:$(-1,-5)$
【知识点】
1.二次函数顶点式
2.二次函数图象性质
3.对称轴与顶点坐标判断
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数对应的图象特征，其中$h$的符号判断是常见易错点，熟练掌握该知识点可为后续学习二次函数增减性、图象平移等内容打好基础。
【难度系数】
0.9

6. 在平面直角坐标系中，抛物线$y=(x+5)(x-3)$经过变换后得到抛物线$y=(x+3)(x-5)$，则这个变换可以是（）

A.向左平移2个单位
B.向右平移2个单位
C.向左平移8个单位
D.向右平移8个单位

6. B

【分析】
要确定抛物线的平移变换，需明确二次函数平移的本质是顶点的平移，平移过程中抛物线的开口方向、形状大小均不变。解题时先分别求出两个抛物线的顶点坐标，对比顶点的平移方向和距离，即可得到抛物线的变换方式。
【解析】
先分别求解两条抛物线的顶点坐标：
1. 原抛物线$y=(x+5)(x-3)$与x轴交点为$(-5,0)$和$(3,0)$，
对称轴为直线$x=\frac{-5+3}{2}=-1$，
把$x=-1$代入解析式得$y=(-1+5)×(-1-3)=-16$，
即原抛物线顶点坐标为$(-1,-16)$。
2. 变换后抛物线$y=(x+3)(x-5)$与x轴交点为$(-3,0)$和$(5,0)$，
对称轴为直线$x=\frac{-3+5}{2}=1$，
把$x=1$代入解析式得$y=(1+3)×(1-5)=-16$，
即变换后抛物线顶点坐标为$(1,-16)$。
对比顶点坐标变化：横坐标从$-1$变为$1$，增加了2，纵坐标不变，根据平移“左加右减”的规律，可知抛物线向右平移了2个单位。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点坐标求解
【点评】
本题考查二次函数的平移性质，解题核心是抓住平移前后抛物线顶点的变化，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律即可快速解题，也可将解析式展开为顶点式后直接对比得到平移方式。
【难度系数】
0.8

7. 如图,已知抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$平移后经过点$A(-2,n)$,$B(2,n)$,且与直线$y=1$只有一个交点,则$n$的值为

()

A.$-4$
B.$4$
C.$-1$
D.$1$

7. C

【分析】
解题时首先回忆二次函数平移的性质：平移仅改变函数图象位置，不改变二次项系数；再观察点A、B的坐标特征，两点纵坐标相同、横坐标互为相反数，说明两点关于y轴对称，因此平移后抛物线对称轴仍为y轴，属于上下平移，可设平移后的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +k$；接下来结合抛物线与直线$y=1$只有一个交点的条件，可知联立后的方程仅有1个解，由此求出k的值；最后将点B代入平移后的解析式，即可求出n的值。
【解析】
解：
∵ 抛物线平移不改变二次项系数，且平移后经过的点$A(-2,n)$、$B(2,n)$关于y轴对称，
∴ 平移后抛物线对称轴仍为y轴，设平移后的抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +k$。
∵ 抛物线与直线$y=1$只有一个交点，
联立$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x^2 +k \\ y=1 \end{cases}$，整理得$x^2=2(k-1)$，
该方程只有1个解，因此$2(k-1)=0$，解得$k=1$，
即平移后抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +1$。
将$B(2,n)$代入解析式得：
$n=-\dfrac{1}{2}× 2^2 +1 = -2 +1 = -1$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移，二次函数与一元二次方程，二次函数对称性
【点评】
本题属于二次函数的基础综合题，将平移性质、对称性、交点问题结合考查，解题的关键是先利用点的对称特征简化平移后解析式的形式，再结合交点个数的条件求出未知参数，难度不大，是常考题型。
【难度系数】
0.7