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8. 把一根长为2 m的铅丝折成一个矩形ABCD，设边AD的长为x(m)，矩形ABCD的面积为y(m²)，则y与x之间的函数关系式为
。
$y=-x^2+x$
。。
答案
8. $y=-x^2+x$
解析
【分析】
要推导y与x的函数关系式，首先结合矩形周长公式求出矩形的另一边长，再用矩形面积公式列式即可。已知铅丝总长就是矩形周长，为2m，矩形对边相等，因此一组邻边的和为周长的一半即1m，已知AD长为x m，即可得到相邻边的长度为(1-x)m，再根据“矩形面积=长×宽”就能列出函数式，同时要注意边长为正数，自变量x需要符合实际取值范围。
【解析】
∵ 铅丝总长为2m，即矩形ABCD的周长为2m，AD=x m
∴ 矩形与AD相邻的边AB的长度为：$\frac{2}{2}-x=1-x$（m）
根据矩形面积公式可得：
$y = x · (1-x) = -x^2 + x$
结合矩形边长为正的实际要求，x的取值范围为$0＜x＜1$。
【答案】
$y=-x^2+x$（$0＜x＜1$）
【知识点】
矩形的周长与面积计算；根据实际问题列二次函数关系式
【点评】
本题是基础应用题，解题关键是先利用周长公式表示出矩形未知边的长度，再结合面积公式得到函数关系式，解题时要注意自变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.9
要推导y与x的函数关系式，首先结合矩形周长公式求出矩形的另一边长，再用矩形面积公式列式即可。已知铅丝总长就是矩形周长，为2m，矩形对边相等，因此一组邻边的和为周长的一半即1m，已知AD长为x m，即可得到相邻边的长度为(1-x)m，再根据“矩形面积=长×宽”就能列出函数式，同时要注意边长为正数，自变量x需要符合实际取值范围。
【解析】
∵ 铅丝总长为2m，即矩形ABCD的周长为2m，AD=x m
∴ 矩形与AD相邻的边AB的长度为：$\frac{2}{2}-x=1-x$（m）
根据矩形面积公式可得：
$y = x · (1-x) = -x^2 + x$
结合矩形边长为正的实际要求，x的取值范围为$0＜x＜1$。
【答案】
$y=-x^2+x$（$0＜x＜1$）
【知识点】
矩形的周长与面积计算；根据实际问题列二次函数关系式
【点评】
本题是基础应用题，解题关键是先利用周长公式表示出矩形未知边的长度，再结合面积公式得到函数关系式，解题时要注意自变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.9
9. 某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200−x)件，设这种商品的总利润为y元，则y与x之间的函数关系式为（化成一般式）
$y=-x^2+230x-6000$
。答案
9. $y=-x^2+230x-6000$
解析
【分析】
解题时首先回忆销售问题的核心等量关系：总利润=每件商品的利润×销售数量。第一步先计算每件商品的利润：每件利润=售价-进价，即$(x-30)$元；第二步代入已知的销售数量$(200-x)$件，得到总利润的表达式；最后将表达式展开整理为二次函数的一般式即可。
【解析】
根据“总利润=每件利润×销售量”可得：
每件商品的利润为：$x - 30$ 元，
销售量为：$200 - x$ 件，
因此总利润 $y=(x-30)(200-x)$
展开并化简：
$\begin{aligned}y&=200x - x^2 - 6000 + 30x\\&=-x^2 + 230x - 6000\end{aligned}$
【答案】
$y=-x^2+230x-6000$
【知识点】
销售利润计算；列二次函数解析式；整式乘法运算
【点评】
本题是基础应用题，解题关键是熟练掌握销售问题中的利润等量关系，能正确对多项式进行乘法运算并整理为要求的一般形式即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆销售问题的核心等量关系：总利润=每件商品的利润×销售数量。第一步先计算每件商品的利润：每件利润=售价-进价，即$(x-30)$元；第二步代入已知的销售数量$(200-x)$件，得到总利润的表达式；最后将表达式展开整理为二次函数的一般式即可。
【解析】
根据“总利润=每件利润×销售量”可得：
每件商品的利润为：$x - 30$ 元，
销售量为：$200 - x$ 件，
因此总利润 $y=(x-30)(200-x)$
展开并化简：
$\begin{aligned}y&=200x - x^2 - 6000 + 30x\\&=-x^2 + 230x - 6000\end{aligned}$
【答案】
$y=-x^2+230x-6000$
【知识点】
销售利润计算；列二次函数解析式；整式乘法运算
【点评】
本题是基础应用题，解题关键是熟练掌握销售问题中的利润等量关系，能正确对多项式进行乘法运算并整理为要求的一般形式即可得分。
【难度系数】
0.8
10. 如图，在边长为5的正方形中，挖去一个半径为x的圆（圆心与正方形的中心重合），剩余部分的面积为y。
(1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围。
(2)求当圆的半径为2时的剩余部分的面积。（π取3.14，结果精确到十分位）
(1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围。
(2)求当圆的半径为2时的剩余部分的面积。（π取3.14，结果精确到十分位）
答案
10. (1)$y=25-π x^2$，$0＜x≤\dfrac{5}{2}$
(2)当$x=2$时，$y=25-4π=12.44\approx12.4$
(2)当$x=2$时，$y=25-4π=12.44\approx12.4$
解析
【分析】
(1) 求y关于x的函数表达式时，可依据“剩余面积=正方形面积-挖去的圆的面积”的数量关系，先分别算出正方形和圆的面积，再作差即可得到关系式；确定自变量x的取值范围时，要结合实际意义：圆必须完全在正方形内部，因此圆的直径最大等于正方形的边长，同时半径为正数，据此即可得到x的取值范围。
(2) 求半径为2时的剩余面积，只需将x=2代入(1)中得到的函数表达式，代入π=3.14计算后按要求精确到十分位即可。
【解析】
(1) 已知正方形边长为5，因此正方形的面积为：$5×5=25$
挖去的圆半径为x，因此圆的面积为：$π x^2$
剩余面积y为正方形面积减去圆的面积，因此：
$y=25-π x^2$
由于圆需完全在正方形内部，圆的直径最大等于正方形边长5，因此半径最大为$\frac{5}{2}$，且半径为正数，故x的取值范围是$0＜x≤\frac{5}{2}$。
(2) 将$x=2$，$π=3.14$代入$y=25-π x^2$得：
$y=25-3.14×2^2=25-3.14×4=25-12.56=12.44$
精确到十分位，得$y\approx12.4$。
【答案】
(1) $y=25-π x^2$，$0＜x≤\dfrac{5}{2}$
(2) $12.4$
【知识点】
1. 二次函数实际应用
2. 几何图形面积计算
3. 自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数与几何结合的基础题，既考查了常见图形面积的计算方法，也考查了结合实际意义确定自变量范围、代入求值的计算能力，解题核心是理清图形面积的数量关系。
【难度系数】
0.75
(1) 求y关于x的函数表达式时，可依据“剩余面积=正方形面积-挖去的圆的面积”的数量关系，先分别算出正方形和圆的面积，再作差即可得到关系式；确定自变量x的取值范围时，要结合实际意义：圆必须完全在正方形内部，因此圆的直径最大等于正方形的边长，同时半径为正数，据此即可得到x的取值范围。
(2) 求半径为2时的剩余面积，只需将x=2代入(1)中得到的函数表达式，代入π=3.14计算后按要求精确到十分位即可。
【解析】
(1) 已知正方形边长为5，因此正方形的面积为：$5×5=25$
挖去的圆半径为x，因此圆的面积为：$π x^2$
剩余面积y为正方形面积减去圆的面积，因此：
$y=25-π x^2$
由于圆需完全在正方形内部，圆的直径最大等于正方形边长5，因此半径最大为$\frac{5}{2}$，且半径为正数，故x的取值范围是$0＜x≤\frac{5}{2}$。
(2) 将$x=2$，$π=3.14$代入$y=25-π x^2$得：
$y=25-3.14×2^2=25-3.14×4=25-12.56=12.44$
精确到十分位，得$y\approx12.4$。
【答案】
(1) $y=25-π x^2$，$0＜x≤\dfrac{5}{2}$
(2) $12.4$
【知识点】
1. 二次函数实际应用
2. 几何图形面积计算
3. 自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数与几何结合的基础题，既考查了常见图形面积的计算方法，也考查了结合实际意义确定自变量范围、代入求值的计算能力，解题核心是理清图形面积的数量关系。
【难度系数】
0.75
11. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的部分对应值列表如下：
则 $ m $ 的值是
则 $ m $ 的值是
34
。答案
11. 34[提示:方法1,先求出解析式,再代入求解;方法2,观察表格中数据的变化规律,利用两次作差寻找规律]
解析
【分析】
要求m的值，即求二次函数在x=5处的函数值，我们可以用待定系数法先求出二次函数的解析式：首先利用x=0时y=4直接确定常数项c，再选取另外两组x、y的对应值代入二次函数一般式，解二元一次方程组得到a、b的值，确定完整解析式后，将x=5代入计算即可得到m的值。也可以利用二次函数的对称性，观察到x=0和x=2的函数值相等，可知对称轴为x=1，结合对称点的函数值相等辅助计算。
【解析】
设二次函数的解析式为$y = ax^2 + bx + c$。
1. 把$x=0$，$y=4$代入解析式，得$c=4$，因此解析式简化为$y = ax^2 + bx + 4$。
2. 把$x=1,y=2$和$x=2,y=4$代入上式，得到方程组：
$\begin{cases}a + b + 4 = 2 \\4a + 2b + 4 = 4\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}a + b = -2 \quad \mathrm{①} \\2a + b = 0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
3. 用②式减去①式，得$a=2$，将$a=2$代入①式，解得$b=-4$。
因此二次函数的解析式为$y=2x^2 -4x +4$。
4. 将$x=5$代入解析式，计算得：
$y=2×5^2 -4×5 +4 = 50 -20 +4 =34$，即$m=34$。
（验证：代入$x=3$得$y=10$，$x=4$得$y=20$，与表格数据一致，结果正确。）
【答案】
34
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式、二次函数求值
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，既可以通过待定系数法求解析式再计算函数值，也可以通过观察表格数据的规律或二次函数的对称性简化计算，能够很好地考查学生对二次函数基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要求m的值，即求二次函数在x=5处的函数值，我们可以用待定系数法先求出二次函数的解析式：首先利用x=0时y=4直接确定常数项c，再选取另外两组x、y的对应值代入二次函数一般式，解二元一次方程组得到a、b的值，确定完整解析式后，将x=5代入计算即可得到m的值。也可以利用二次函数的对称性，观察到x=0和x=2的函数值相等，可知对称轴为x=1，结合对称点的函数值相等辅助计算。
【解析】
设二次函数的解析式为$y = ax^2 + bx + c$。
1. 把$x=0$，$y=4$代入解析式，得$c=4$，因此解析式简化为$y = ax^2 + bx + 4$。
2. 把$x=1,y=2$和$x=2,y=4$代入上式，得到方程组：
$\begin{cases}a + b + 4 = 2 \\4a + 2b + 4 = 4\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}a + b = -2 \quad \mathrm{①} \\2a + b = 0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
3. 用②式减去①式，得$a=2$，将$a=2$代入①式，解得$b=-4$。
因此二次函数的解析式为$y=2x^2 -4x +4$。
4. 将$x=5$代入解析式，计算得：
$y=2×5^2 -4×5 +4 = 50 -20 +4 =34$，即$m=34$。
（验证：代入$x=3$得$y=10$，$x=4$得$y=20$，与表格数据一致，结果正确。）
【答案】
34
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式、二次函数求值
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，既可以通过待定系数法求解析式再计算函数值，也可以通过观察表格数据的规律或二次函数的对称性简化计算，能够很好地考查学生对二次函数基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
12. 钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下,速度每秒增加1.5 m。滚动距离=平均速度$\bar{v}$×时间t，$\bar{v}=\frac{v_0 + v_t}{2}$，其中，$v_0$是开始时的速度，$v_t$是t秒时的速度。
(1)开始时的速度$v_0=$
(2)写出滚动的距离s(单位:m)关于滚动的时间t(单位:s)的函数解析式。
(3)如果斜面的长是3 m,钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间?
(1)开始时的速度$v_0=$
0
m/s，t秒时的速度$v_t=$$1.5t$
m/s。(2)写出滚动的距离s(单位:m)关于滚动的时间t(单位:s)的函数解析式。
(3)如果斜面的长是3 m,钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间?
答案
12. (1)0 1.5t
(2)$s=\dfrac{3}{4}t^2$
(3)$t=2\ \mathrm{s}$
(2)$s=\dfrac{3}{4}t^2$
(3)$t=2\ \mathrm{s}$
解析
【分析】
(1)首先根据题干“由静止开始滚下”可直接得出初始速度$v_0$；再结合速度每秒增加1.5m/s的条件，即可得到t秒时的速度$v_t$。(2)按照题干给出的平均速度公式、滚动距离公式，把$v_0$和$v_t$代入化简，就能得到s关于t的函数解析式。(3)斜面长3m即滚动距离s=3，代入第二问得到的函数解析式，解一元二次方程后舍去不符合实际的负解，即可得到滚动时间。
【解析】
(1)
∵钢球从静止状态开始滚下，
∴开始时的速度$v_0=0\ \mathrm{m/s}$；
∵速度每秒增加1.5m/s，
∴t秒时的速度$v_t=v_0 + 1.5t=1.5t\ \mathrm{m/s}$。
(2)根据题意，平均速度$\bar{v}=\frac{v_0+v_t}{2}=\frac{0+1.5t}{2}=0.75t$，
滚动距离$s=\bar{v}· t=0.75t× t=\frac{3}{4}t^2$，
即滚动距离s关于时间t的函数解析式为$s=\frac{3}{4}t^2$（$t≥0$）。
(3)当斜面长为3m时，即滚动距离$s=3$，代入函数解析式得：
$\frac{3}{4}t^2=3$
两边同时乘$\frac{4}{3}$得：$t^2=4$
解得$t_1=2$，$t_2=-2$，
∵时间不能为负数，
∴舍去$t=-2$，即钢球滚到底端用时$t=2\ \mathrm{s}$。
【答案】
(1)0，$1.5t$
(2)$s=\dfrac{3}{4}t^2$
(3)$2\ \mathrm{s}$
【知识点】
二次函数的应用，行程问题公式，一元二次方程求解
【点评】
本题结合匀加速运动的实际场景，考查了函数解析式的建立和实际问题中的方程求解，解题时要充分利用题干给出的公式代入计算，求解时注意检验解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
(1)首先根据题干“由静止开始滚下”可直接得出初始速度$v_0$；再结合速度每秒增加1.5m/s的条件，即可得到t秒时的速度$v_t$。(2)按照题干给出的平均速度公式、滚动距离公式，把$v_0$和$v_t$代入化简，就能得到s关于t的函数解析式。(3)斜面长3m即滚动距离s=3，代入第二问得到的函数解析式，解一元二次方程后舍去不符合实际的负解，即可得到滚动时间。
【解析】
(1)
∵钢球从静止状态开始滚下，
∴开始时的速度$v_0=0\ \mathrm{m/s}$；
∵速度每秒增加1.5m/s，
∴t秒时的速度$v_t=v_0 + 1.5t=1.5t\ \mathrm{m/s}$。
(2)根据题意，平均速度$\bar{v}=\frac{v_0+v_t}{2}=\frac{0+1.5t}{2}=0.75t$，
滚动距离$s=\bar{v}· t=0.75t× t=\frac{3}{4}t^2$，
即滚动距离s关于时间t的函数解析式为$s=\frac{3}{4}t^2$（$t≥0$）。
(3)当斜面长为3m时，即滚动距离$s=3$，代入函数解析式得：
$\frac{3}{4}t^2=3$
两边同时乘$\frac{4}{3}$得：$t^2=4$
解得$t_1=2$，$t_2=-2$，
∵时间不能为负数，
∴舍去$t=-2$，即钢球滚到底端用时$t=2\ \mathrm{s}$。
【答案】
(1)0，$1.5t$
(2)$s=\dfrac{3}{4}t^2$
(3)$2\ \mathrm{s}$
【知识点】
二次函数的应用，行程问题公式，一元二次方程求解
【点评】
本题结合匀加速运动的实际场景，考查了函数解析式的建立和实际问题中的方程求解，解题时要充分利用题干给出的公式代入计算，求解时注意检验解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
