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1. 如图，AB，AC为$\odot O$的两条弦，连接OB，OC，若$∠ A=45°$，则$∠ BOC$的度数为（
A.$60°$
B.$75°$
C.$90°$
D.$135°$
C
）A.$60°$
B.$75°$
C.$90°$
D.$135°$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先明确两个角的类型和对应的弧：∠A是⊙O的圆周角，∠BOC是⊙O的圆心角，二者所对的弧均为弧BC。回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，代入已知的∠A的度数即可直接计算出∠BOC的大小。
【解析】
解：
∵∠BAC是⊙O中弧BC所对的圆周角，∠BOC是⊙O中弧BC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴∠BOC=2∠A，
又
∵∠A=45°，
∴∠BOC=2×45°=90°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆周角定理的直接应用，解题关键是准确识别同弧对应的圆心角和圆周角，掌握基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确两个角的类型和对应的弧：∠A是⊙O的圆周角，∠BOC是⊙O的圆心角，二者所对的弧均为弧BC。回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，代入已知的∠A的度数即可直接计算出∠BOC的大小。
【解析】
解：
∵∠BAC是⊙O中弧BC所对的圆周角，∠BOC是⊙O中弧BC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴∠BOC=2∠A，
又
∵∠A=45°，
∴∠BOC=2×45°=90°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆周角定理的直接应用，解题关键是准确识别同弧对应的圆心角和圆周角，掌握基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在扇形OAB中，圆心角∠AOB=130°，C是$\overset{\frown}{AB}$上的点，∠AOC=90°，则∠CAB的度数为
$20°$
。答案
2. $20°$
解析
【分析】
要求∠CAB的度数，首先观察∠CAB的属性：它是弧BC所对的圆周角。根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此只需要先求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数即可。已知扇形圆心角∠AOB=130°，∠AOC=90°，用∠AOB减去∠AOC就能得到∠BOC的度数，再代入圆周角定理计算即可得到结果。
【解析】
第一步：计算弧BC对应的圆心角∠BOC的度数：
$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 130° - 90° = 40°$
第二步：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，$∠ CAB$是弧BC所对的圆周角，$∠ BOC$是弧BC所对的圆心角，因此：
$∠ CAB = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2} × 40° = 20°$
【答案】
$20°$
【知识点】
圆周角定理；角的和差计算
【点评】
本题属于基础计算题，解题的核心是准确找到圆周角对应的圆心角，熟练掌握圆周角定理即可快速得出答案，解题时要注意不要混淆圆周角和圆心角的对应关系。
【难度系数】
0.8
要求∠CAB的度数，首先观察∠CAB的属性：它是弧BC所对的圆周角。根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此只需要先求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数即可。已知扇形圆心角∠AOB=130°，∠AOC=90°，用∠AOB减去∠AOC就能得到∠BOC的度数，再代入圆周角定理计算即可得到结果。
【解析】
第一步：计算弧BC对应的圆心角∠BOC的度数：
$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 130° - 90° = 40°$
第二步：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，$∠ CAB$是弧BC所对的圆周角，$∠ BOC$是弧BC所对的圆心角，因此：
$∠ CAB = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2} × 40° = 20°$
【答案】
$20°$
【知识点】
圆周角定理；角的和差计算
【点评】
本题属于基础计算题，解题的核心是准确找到圆周角对应的圆心角，熟练掌握圆周角定理即可快速得出答案，解题时要注意不要混淆圆周角和圆心角的对应关系。
【难度系数】
0.8
探究1: 如图，OB，OC都是$\odot O$的半径，A，D是圆上任意两点，连接AB，AC，BD，CD. $∠ BAC$与$∠ BDC$相等吗？请说明理由.
答案
解：相等. 理由如下：
$\because ∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$，$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BOC$，
$\therefore ∠ BAC=∠ BDC$.
$\because ∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$，$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BOC$，
$\therefore ∠ BAC=∠ BDC$.
解析
【分析】
要判断∠BAC与∠BDC是否相等，首先观察两个角均为⊙O的圆周角，且二者所对的弧同为弧BC；根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，可知两个角都等于弧BC所对的圆心角∠BOC的一半，由此即可推出二者相等。
【解析】
解：相等，理由如下：
$\because ∠BAC=\frac{1}{2}∠BOC$，$∠BDC=\frac{1}{2}∠BOC$，
$\therefore ∠BAC=∠BDC$。
【答案】
∠BAC与∠BDC相等
【知识点】
圆周角定理，同弧所对圆周角性质
【点评】
本题属于圆周角相关的基础应用题，解题核心是识别出两个角是同一段弧所对的圆周角，结合圆周角定理即可快速得出结论，侧重对基础定理运用能力的考察。
【难度系数】
0.8
要判断∠BAC与∠BDC是否相等，首先观察两个角均为⊙O的圆周角，且二者所对的弧同为弧BC；根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，可知两个角都等于弧BC所对的圆心角∠BOC的一半，由此即可推出二者相等。
【解析】
解：相等，理由如下：
$\because ∠BAC=\frac{1}{2}∠BOC$，$∠BDC=\frac{1}{2}∠BOC$，
$\therefore ∠BAC=∠BDC$。
【答案】
∠BAC与∠BDC相等
【知识点】
圆周角定理，同弧所对圆周角性质
【点评】
本题属于圆周角相关的基础应用题，解题核心是识别出两个角是同一段弧所对的圆周角，结合圆周角定理即可快速得出结论，侧重对基础定理运用能力的考察。
【难度系数】
0.8
探究2：如图，若$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{EF}$，∠A与∠B相等吗？请说明理由.
新知生成：（圆周角定理的推论1）同弧或等弧所对的圆周角
新知生成：（圆周角定理的推论1）同弧或等弧所对的圆周角
相等
.答案
解：相等. 理由如下：
$\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{EF}$，$\therefore ∠ COD=∠ EOF$.
$\because ∠ A=\frac{1}{2}∠ COD$，$∠ B=\frac{1}{2}∠ EOF$，
$\therefore ∠ A=∠ B$.
新知生成 相等
$\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{EF}$，$\therefore ∠ COD=∠ EOF$.
$\because ∠ A=\frac{1}{2}∠ COD$，$∠ B=\frac{1}{2}∠ EOF$，
$\therefore ∠ A=∠ B$.
新知生成 相等
解析
【分析】要判断∠A和∠B是否相等，可通过弧、圆心角、圆周角的关系推导：首先已知$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{EF}$，根据等弧的性质，等弧所对的圆心角相等，可得$∠ COD=∠ EOF$；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，可知$∠ A=\frac{1}{2}∠ COD$，$∠ B=\frac{1}{2}∠ EOF$，最后通过等量代换即可得出两个角的大小关系，进而总结出圆周角定理的推论1。
【解析】∠A与∠B相等，理由如下：
$\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{EF}$，
$\therefore ∠ COD=∠ EOF$（等弧所对的圆心角相等），
$\because ∠ A=\frac{1}{2}∠ COD$，$∠ B=\frac{1}{2}∠ EOF$（圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），
$\therefore ∠ A=∠ B$。
新知生成：同弧或等弧所对的圆周角相等。
【答案】∠A与∠B相等；相等
【知识点】1.等弧的性质 2.圆周角定理 3.圆周角推论
【点评】本题是基础类题型，主要考查圆中弧、圆心角、圆周角的对应关系，解题的核心是熟练掌握相关性质，快速建立角之间的等量关系。
【难度系数】0.8
【解析】∠A与∠B相等，理由如下：
$\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{EF}$，
$\therefore ∠ COD=∠ EOF$（等弧所对的圆心角相等），
$\because ∠ A=\frac{1}{2}∠ COD$，$∠ B=\frac{1}{2}∠ EOF$（圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），
$\therefore ∠ A=∠ B$。
新知生成：同弧或等弧所对的圆周角相等。
【答案】∠A与∠B相等；相等
【知识点】1.等弧的性质 2.圆周角定理 3.圆周角推论
【点评】本题是基础类题型，主要考查圆中弧、圆心角、圆周角的对应关系，解题的核心是熟练掌握相关性质，快速建立角之间的等量关系。
【难度系数】0.8
探究3：如图，线段AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上的任意一点(除点A，B外)，那么$∠ ACB$就是直径AB所对的圆周角，想一想，$∠ ACB$会是怎样的角？并说明理由。
答案
解：$∠ ACB$是直角. 理由如下：
$\because OA=OB=OC$，
$\therefore △ AOC$，$△ BOC$都是等腰三角形.
$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$，$∠ OBC=∠ OCB$.
又$\because ∠ OAC+∠ OBC+∠ ACB=180°$，
$\therefore ∠ ACB=∠ OCA+∠ OCB=180°÷2=90°$.
$\therefore ∠ ACB$是直角.
$\because OA=OB=OC$，
$\therefore △ AOC$，$△ BOC$都是等腰三角形.
$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$，$∠ OBC=∠ OCB$.
又$\because ∠ OAC+∠ OBC+∠ ACB=180°$，
$\therefore ∠ ACB=∠ OCA+∠ OCB=180°÷2=90°$.
$\therefore ∠ ACB$是直角.
解析
【分析】
要判断直径AB所对的圆周角∠ACB的度数，可按以下思路推导：首先结合圆的基本性质，同圆的所有半径相等，可得OA=OB=OC，进而得到△AOC和△BOC均为等腰三角形；再利用等腰三角形等边对等角的性质，得到两组相等的角；最后结合三角形内角和为180°，对角度进行等量代换，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
∠ACB是直角，理由如下：
$\because OA、OB、OC$都是$\odot O$的半径，
$\therefore OA=OB=OC$，
$\therefore △AOC$、$△BOC$都是等腰三角形，
$\therefore ∠OAC=∠OCA$，$∠OBC=∠OCB$，
又$\because ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°$，且$∠ACB=∠OCA+∠OCB$，
$\therefore 2∠ACB=180°$，
$\therefore ∠ACB=180°÷2=90°$，即$∠ACB$是直角。
【答案】
$∠ACB$是直角。
【知识点】
圆的基本性质、等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是圆周角核心推论的推导题，推导过程用到的圆和三角形的性质都是几何的基础知识点，得出的“直径所对的圆周角是直角”这一结论是圆中角度计算、直角判定的常用依据，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要判断直径AB所对的圆周角∠ACB的度数，可按以下思路推导：首先结合圆的基本性质，同圆的所有半径相等，可得OA=OB=OC，进而得到△AOC和△BOC均为等腰三角形；再利用等腰三角形等边对等角的性质，得到两组相等的角；最后结合三角形内角和为180°，对角度进行等量代换，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
∠ACB是直角，理由如下：
$\because OA、OB、OC$都是$\odot O$的半径，
$\therefore OA=OB=OC$，
$\therefore △AOC$、$△BOC$都是等腰三角形，
$\therefore ∠OAC=∠OCA$，$∠OBC=∠OCB$，
又$\because ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°$，且$∠ACB=∠OCA+∠OCB$，
$\therefore 2∠ACB=180°$，
$\therefore ∠ACB=180°÷2=90°$，即$∠ACB$是直角。
【答案】
$∠ACB$是直角。
【知识点】
圆的基本性质、等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是圆周角核心推论的推导题，推导过程用到的圆和三角形的性质都是几何的基础知识点，得出的“直径所对的圆周角是直角”这一结论是圆中角度计算、直角判定的常用依据，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
探究4：如图，若圆周角$∠ C = 90°$，则所对的弦AB是直径吗？为什么？
答案
解：是直径. 理由如下：
$\because ∠ C=90°$，$\therefore ∠ AOB=180°$.
$\therefore A$，$O$，$B$三点共线. $\therefore$ 弦$AB$是直径.
$\because ∠ C=90°$，$\therefore ∠ AOB=180°$.
$\therefore A$，$O$，$B$三点共线. $\therefore$ 弦$AB$是直径.
解析
【分析】
解题时首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。首先明确∠C是弧AB所对的圆周角，它对应的圆心角为∠AOB，结合已知∠C=90°，可求出∠AOB的度数；若∠AOB为180°，说明OA、OB在同一条直线上，即A、O、B三点共线，而过圆心的弦就是圆的直径，即可推导出结论。
【解析】
解：弦AB是直径，理由如下：
$\because ∠ C=90°$，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$\therefore ∠ AOB=2∠C=180°$，
$\therefore A$，$O$，$B$三点共线，即弦AB经过圆心$O$，
$\therefore$ 弦$AB$是直径。
【答案】
弦AB是直径，理由见上述解析。
【知识点】
圆周角定理；直径的判定
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题型，解题核心是掌握圆周角与对应圆心角的数量关系，能通过角的关系推导三点共线，进而判定弦的性质，有助于锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。首先明确∠C是弧AB所对的圆周角，它对应的圆心角为∠AOB，结合已知∠C=90°，可求出∠AOB的度数；若∠AOB为180°，说明OA、OB在同一条直线上，即A、O、B三点共线，而过圆心的弦就是圆的直径，即可推导出结论。
【解析】
解：弦AB是直径，理由如下：
$\because ∠ C=90°$，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$\therefore ∠ AOB=2∠C=180°$，
$\therefore A$，$O$，$B$三点共线，即弦AB经过圆心$O$，
$\therefore$ 弦$AB$是直径。
【答案】
弦AB是直径，理由见上述解析。
【知识点】
圆周角定理；直径的判定
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题型，解题核心是掌握圆周角与对应圆心角的数量关系，能通过角的关系推导三点共线，进而判定弦的性质，有助于锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
新知生成：半圆（或直径）所对的圆周角是
直角
，$90°$的圆周角所对的弦是直径
。答案
直角 直径
解析
【分析】
解题时需结合圆周角定理推导对应的推论：首先回忆圆周角定理内容，即圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半；先推导第一个空：半圆（或直径）对应的圆心角为平角180°，将圆心角度数代入圆周角定理即可得到对应的圆周角度数；再推导第二个空：若圆周角为90°，反推对应的圆心角为180°，对应180°圆心角的弦就是圆的直径。
【解析】
1. 求解第一个空：
根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半。半圆（或直径）所对的圆心角是180°，因此对应的圆周角为$180° ÷ 2 = 90°$，也就是直角。
2. 求解第二个空：
若圆周角为$90°$，则它所对的圆心角为$90° × 2 = 180°$，圆心角为180°时对应的弧是半圆，所对的弦为过圆心的弦，即直径。
【答案】
直角 直径
【知识点】
圆周角定理；圆周角定理推论
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接围绕圆周角的核心推论设置考点，是圆相关性质的基础内容，熟练掌握该推论是解决圆内角度计算、线段证明等综合题的前提。
【难度系数】
0.9
解题时需结合圆周角定理推导对应的推论：首先回忆圆周角定理内容，即圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半；先推导第一个空：半圆（或直径）对应的圆心角为平角180°，将圆心角度数代入圆周角定理即可得到对应的圆周角度数；再推导第二个空：若圆周角为90°，反推对应的圆心角为180°，对应180°圆心角的弦就是圆的直径。
【解析】
1. 求解第一个空：
根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半。半圆（或直径）所对的圆心角是180°，因此对应的圆周角为$180° ÷ 2 = 90°$，也就是直角。
2. 求解第二个空：
若圆周角为$90°$，则它所对的圆心角为$90° × 2 = 180°$，圆心角为180°时对应的弧是半圆，所对的弦为过圆心的弦，即直径。
【答案】
直角 直径
【知识点】
圆周角定理；圆周角定理推论
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接围绕圆周角的核心推论设置考点，是圆相关性质的基础内容，熟练掌握该推论是解决圆内角度计算、线段证明等综合题的前提。
【难度系数】
0.9
