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1. 下列各数：$\frac{π}{3}$，$3.14$，$\frac{22}{7}$，$\sqrt{3}$，$-\sqrt{16}$，$\sqrt{8}$，$0.\dot{2}\dot{3}$，$-0.1010010001···$（相邻两个1之间0的个数逐次加1），$\sqrt[3]{-125}$，$\sqrt{(-2)^2}$，$\sqrt{0.9}$，其中无理数的个数为（
A.5
B.2
C.3
D.4
A
）A.5
B.2
C.3
D.4
答案
1.A
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数分为三类：①含π的数（π是无限不循环小数，含π且未消去π的数都是无理数）；②开方开不尽的数的方根；③构造类无限不循环小数（如相邻两个1之间0的个数逐次加1的这类数）。解题时先将所有能化简的数先化简，再逐个对照定义判断是否为无理数，最后统计无理数的个数即可。
【解析】
我们逐个分析题中给出的数：
1. $\frac{π}{3}$：π是无理数，因此$\frac{π}{3}$是无限不循环小数，属于无理数；
2. $3.14$：是有限小数，属于有理数；
3. $\frac{22}{7}$：是分数，所有分数都属于有理数；
4. $\sqrt{3}$：3开平方无法得到整数或有限小数，是开方开不尽的数，属于无理数；
5. $-\sqrt{16}$：先化简得$-\sqrt{16}=-4$，是整数，属于有理数；
6. $\sqrt{8}$：化简得$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，因此$\sqrt{8}$属于无理数；
7. $0.\dot{2}\dot{3}$：是无限循环小数，属于有理数；
8. $-0.1010010001···$（相邻两个1之间0的个数逐次加1）：是无限不循环小数，属于构造类无理数；
9. $\sqrt[3]{-125}$：化简得$\sqrt[3]{-125}=-5$，是整数，属于有理数；
10. $\sqrt{(-2)^2}$：化简得$\sqrt{4}=2$，是整数，属于有理数；
11. $\sqrt{0.9}$：化简得$\sqrt{0.9}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$\sqrt{10}$是开方开不尽的数，因此$\sqrt{0.9}$属于无理数。
综上，无理数共有$\frac{π}{3}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{8}$、$-0.1010010001···$、$\sqrt{0.9}$，共5个。
【答案】
A
【知识点】
无理数的定义；二次根式化简；实数的分类
【点评】
本题是实数分类的常见题型，易错点是部分同学不先化简就直接根据数的表面形式判断，比如看到带根号的就误以为是无理数，或者把$\frac{22}{7}$、有限小数错当成无理数，解题时牢记先化简再对照定义判断的原则即可避免出错。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先需明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数分为三类：①含π的数（π是无限不循环小数，含π且未消去π的数都是无理数）；②开方开不尽的数的方根；③构造类无限不循环小数（如相邻两个1之间0的个数逐次加1的这类数）。解题时先将所有能化简的数先化简，再逐个对照定义判断是否为无理数，最后统计无理数的个数即可。
【解析】
我们逐个分析题中给出的数：
1. $\frac{π}{3}$：π是无理数，因此$\frac{π}{3}$是无限不循环小数，属于无理数；
2. $3.14$：是有限小数，属于有理数；
3. $\frac{22}{7}$：是分数，所有分数都属于有理数；
4. $\sqrt{3}$：3开平方无法得到整数或有限小数，是开方开不尽的数，属于无理数；
5. $-\sqrt{16}$：先化简得$-\sqrt{16}=-4$，是整数，属于有理数；
6. $\sqrt{8}$：化简得$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，因此$\sqrt{8}$属于无理数；
7. $0.\dot{2}\dot{3}$：是无限循环小数，属于有理数；
8. $-0.1010010001···$（相邻两个1之间0的个数逐次加1）：是无限不循环小数，属于构造类无理数；
9. $\sqrt[3]{-125}$：化简得$\sqrt[3]{-125}=-5$，是整数，属于有理数；
10. $\sqrt{(-2)^2}$：化简得$\sqrt{4}=2$，是整数，属于有理数；
11. $\sqrt{0.9}$：化简得$\sqrt{0.9}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$\sqrt{10}$是开方开不尽的数，因此$\sqrt{0.9}$属于无理数。
综上，无理数共有$\frac{π}{3}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{8}$、$-0.1010010001···$、$\sqrt{0.9}$，共5个。
【答案】
A
【知识点】
无理数的定义；二次根式化简；实数的分类
【点评】
本题是实数分类的常见题型，易错点是部分同学不先化简就直接根据数的表面形式判断，比如看到带根号的就误以为是无理数，或者把$\frac{22}{7}$、有限小数错当成无理数，解题时牢记先化简再对照定义判断的原则即可避免出错。
【难度系数】
0.6
2. 把下列各数分别填入相应的集合中：
$\sqrt[3]{8}, -\frac{7}{8}, \sqrt{3}, \frac{π}{3}, \frac{22}{7}, -\sqrt[3]{2}, 0, -0.2, -\sqrt{7}, 1.211\ 211\ 121\ 111\ 2···$（相邻两个2之间1的个数逐次加1）.
(1)正有理数集合：{ ,…}.
(2)负有理数集合：{ ,…}.
(3)无理数集合：{ ,…}.
(4)非正实数集合：{ ,…}.
$\sqrt[3]{8}, -\frac{7}{8}, \sqrt{3}, \frac{π}{3}, \frac{22}{7}, -\sqrt[3]{2}, 0, -0.2, -\sqrt{7}, 1.211\ 211\ 121\ 111\ 2···$（相邻两个2之间1的个数逐次加1）.
(1)正有理数集合：{ ,…}.
(2)负有理数集合：{ ,…}.
(3)无理数集合：{ ,…}.
(4)非正实数集合：{ ,…}.
答案
2.(1)$\sqrt[3]{8},\frac{22}{7}$
(2)$-\frac{7}{8},-0.2$
(3)$\sqrt{3},\frac{π}{3},-\sqrt[3]{2},-\sqrt{7},1.211 211 121 111 2…$(相邻两个2之间1的个数逐次加1)
(4)$-\frac{7}{8},-\sqrt[3]{2},0,-0.2,-\sqrt{7}$
(2)$-\frac{7}{8},-0.2$
(3)$\sqrt{3},\frac{π}{3},-\sqrt[3]{2},-\sqrt{7},1.211 211 121 111 2…$(相邻两个2之间1的个数逐次加1)
(4)$-\frac{7}{8},-\sqrt[3]{2},0,-0.2,-\sqrt{7}$
解析
【分析】
解题前首先明确实数的分类规则：①有理数包括整数和分数（即有限小数、无限循环小数）；②无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、规律不循环的无限小数；③正有理数是大于0的有理数，负有理数是小于0的有理数，非正实数是0和所有负实数。解题第一步先化简可运算的数（如$\sqrt[3]{8}=2$），再逐个判断每个数所属类别，最后填入对应集合即可。
【解析】
先化简特殊数：$\sqrt[3]{8}=2$，再逐个判断各数：
1. 正有理数：大于0的有理数，包含$\sqrt[3]{8}$、$\frac{22}{7}$；
2. 负有理数：小于0的有理数，包含$-\frac{7}{8}$、$-0.2$；
3. 无理数：无限不循环小数，包含$\sqrt{3}$、$\frac{π}{3}$、$-\sqrt[3]{2}$、$-\sqrt{7}$、$1.211\ 211\ 121\ 111\ 2···$（相邻两个2之间1的个数逐次加1）；
4. 非正实数：0和所有负实数，包含$-\frac{7}{8}$、$-\sqrt[3]{2}$、$0$、$-0.2$、$-\sqrt{7}$。
【答案】
(1)$\sqrt[3]{8},\frac{22}{7}$
(2)$-\frac{7}{8},-0.2$
(3)$\sqrt{3},\frac{π}{3},-\sqrt[3]{2},-\sqrt{7},1.211 211 121 111 2…$(相邻两个2之间1的个数逐次加1)
(4)$-\frac{7}{8},-\sqrt[3]{2},0,-0.2,-\sqrt{7}$
【知识点】
实数的分类；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题是实数分类的基础题，解题的关键是先对能化简的数进行化简再判断，容易出错的点包括误将分数$\frac{22}{7}$当成无理数、遗漏非正实数中的0、混淆“有规律”和“循环”的区别，规律不循环的无限小数属于无理数。
【难度系数】
0.7
解题前首先明确实数的分类规则：①有理数包括整数和分数（即有限小数、无限循环小数）；②无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、规律不循环的无限小数；③正有理数是大于0的有理数，负有理数是小于0的有理数，非正实数是0和所有负实数。解题第一步先化简可运算的数（如$\sqrt[3]{8}=2$），再逐个判断每个数所属类别，最后填入对应集合即可。
【解析】
先化简特殊数：$\sqrt[3]{8}=2$，再逐个判断各数：
1. 正有理数：大于0的有理数，包含$\sqrt[3]{8}$、$\frac{22}{7}$；
2. 负有理数：小于0的有理数，包含$-\frac{7}{8}$、$-0.2$；
3. 无理数：无限不循环小数，包含$\sqrt{3}$、$\frac{π}{3}$、$-\sqrt[3]{2}$、$-\sqrt{7}$、$1.211\ 211\ 121\ 111\ 2···$（相邻两个2之间1的个数逐次加1）；
4. 非正实数：0和所有负实数，包含$-\frac{7}{8}$、$-\sqrt[3]{2}$、$0$、$-0.2$、$-\sqrt{7}$。
【答案】
(1)$\sqrt[3]{8},\frac{22}{7}$
(2)$-\frac{7}{8},-0.2$
(3)$\sqrt{3},\frac{π}{3},-\sqrt[3]{2},-\sqrt{7},1.211 211 121 111 2…$(相邻两个2之间1的个数逐次加1)
(4)$-\frac{7}{8},-\sqrt[3]{2},0,-0.2,-\sqrt{7}$
【知识点】
实数的分类；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题是实数分类的基础题，解题的关键是先对能化简的数进行化简再判断，容易出错的点包括误将分数$\frac{22}{7}$当成无理数、遗漏非正实数中的0、混淆“有规律”和“循环”的区别，规律不循环的无限小数属于无理数。
【难度系数】
0.7
3.$\sqrt{9}$的平方根是 （
A.3
B.$\sqrt{3}$
C.$\pm\sqrt{3}$
D.$\pm3$
C
）A.3
B.$\sqrt{3}$
C.$\pm\sqrt{3}$
D.$\pm3$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时需注意题目所求为$\sqrt{9}$的平方根，而非9的平方根，分两步思考：第一步先根据算术平方根的定义化简$\sqrt{9}$得到具体数值；第二步再根据平方根的定义求该数值的平方根。要避免常见误区：直接将$\sqrt{9}$等同于9，错误计算9的平方根选到错误选项。
【解析】
①先化简$\sqrt{9}$：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，算术平方根为非负数，因此$\sqrt{9}=3$；
②求3的平方根：根据平方根的定义，若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$是$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，因为$(\pm\sqrt{3})^2=3$，所以3的平方根为$\pm\sqrt{3}$。
因此$\sqrt{9}$的平方根是$\pm\sqrt{3}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题是平方根相关的典型易错题，解题核心是先化简带根号的数，再求其平方根，需明确区分算术平方根和平方根的概念，避免未化简直接运算导致错误。
【难度系数】
0.6
解题时需注意题目所求为$\sqrt{9}$的平方根，而非9的平方根，分两步思考：第一步先根据算术平方根的定义化简$\sqrt{9}$得到具体数值；第二步再根据平方根的定义求该数值的平方根。要避免常见误区：直接将$\sqrt{9}$等同于9，错误计算9的平方根选到错误选项。
【解析】
①先化简$\sqrt{9}$：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，算术平方根为非负数，因此$\sqrt{9}=3$；
②求3的平方根：根据平方根的定义，若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$是$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，因为$(\pm\sqrt{3})^2=3$，所以3的平方根为$\pm\sqrt{3}$。
因此$\sqrt{9}$的平方根是$\pm\sqrt{3}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题是平方根相关的典型易错题，解题核心是先化简带根号的数，再求其平方根，需明确区分算术平方根和平方根的概念，避免未化简直接运算导致错误。
【难度系数】
0.6
4. 下列说法中，正确的是（
A.$-64$ 的立方根是 $-4$
B.$\sqrt{49}$ 的算术平方根是 $7$
C.$\pm \dfrac{1}{3}$ 是 $-\dfrac{1}{9}$ 的平方根
D.$0$ 没有平方根
A
）A.$-64$ 的立方根是 $-4$
B.$\sqrt{49}$ 的算术平方根是 $7$
C.$\pm \dfrac{1}{3}$ 是 $-\dfrac{1}{9}$ 的平方根
D.$0$ 没有平方根
答案
4.A
解析
【分析】
本题考查平方根、算术平方根、立方根的相关概念，解题时需结合对应定义逐一判断每个选项的正误：首先明确三类根的核心性质：①立方根：正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0；②平方根：仅非负数有平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0；③算术平方根是正数正的平方根和0的平方根，结果为非负数。再依次验证各选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 因为$(-4)^3=-64$，符合立方根的定义，所以$-64$的立方根是$-4$，该选项正确；
B. 先计算$\sqrt{49}=7$，再求7的算术平方根为$\sqrt{7}$，不是7，该选项错误；
C. 负数没有平方根，$-\frac{1}{9}$是负数，不存在平方根，该选项错误；
D. 0的平方根是0，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
立方根的定义；平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点在于容易忽略先化简$\sqrt{49}$再求算术平方根，或是记错“负数无平方根、0有平方根”的性质，牢固掌握核心定义即可准确作答。
【难度系数】
0.7
本题考查平方根、算术平方根、立方根的相关概念，解题时需结合对应定义逐一判断每个选项的正误：首先明确三类根的核心性质：①立方根：正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0；②平方根：仅非负数有平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0；③算术平方根是正数正的平方根和0的平方根，结果为非负数。再依次验证各选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 因为$(-4)^3=-64$，符合立方根的定义，所以$-64$的立方根是$-4$，该选项正确；
B. 先计算$\sqrt{49}=7$，再求7的算术平方根为$\sqrt{7}$，不是7，该选项错误；
C. 负数没有平方根，$-\frac{1}{9}$是负数，不存在平方根，该选项错误；
D. 0的平方根是0，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
立方根的定义；平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点在于容易忽略先化简$\sqrt{49}$再求算术平方根，或是记错“负数无平方根、0有平方根”的性质，牢固掌握核心定义即可准确作答。
【难度系数】
0.7
5. $\sqrt{64}$的立方根的算术平方根是
$\sqrt{2}$
.答案
5.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题是多层根式运算题，需按照从内到外的顺序逐步计算，切忌跳步。首先明确两类运算的定义：算术平方根是指非负数的非负平方根，立方根是指若$x^3=a$则$x$为$a$的立方根。解题时分三步：先计算$\sqrt{64}$的结果，再求该结果的立方根，最后求立方根的算术平方根即可。
【解析】
第一步：计算最内层的算术平方根：$\sqrt{64}=8$；
第二步：计算8的立方根：$\because 2^3=8$，$\therefore$ 8的立方根为2；
第三步：计算2的算术平方根：非负数2的非负平方根为$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
算术平方根的定义、立方根的定义、根式运算顺序
【点评】
本题是根式运算的易错题，常见错误是跳步直接对64进行运算，或者混淆算术平方根与平方根的概念，解题时只要遵循从内到外的运算顺序，明确每一步运算的定义就能得出正确结果。
【难度系数】
0.6
本题是多层根式运算题，需按照从内到外的顺序逐步计算，切忌跳步。首先明确两类运算的定义：算术平方根是指非负数的非负平方根，立方根是指若$x^3=a$则$x$为$a$的立方根。解题时分三步：先计算$\sqrt{64}$的结果，再求该结果的立方根，最后求立方根的算术平方根即可。
【解析】
第一步：计算最内层的算术平方根：$\sqrt{64}=8$；
第二步：计算8的立方根：$\because 2^3=8$，$\therefore$ 8的立方根为2；
第三步：计算2的算术平方根：非负数2的非负平方根为$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
算术平方根的定义、立方根的定义、根式运算顺序
【点评】
本题是根式运算的易错题，常见错误是跳步直接对64进行运算，或者混淆算术平方根与平方根的概念，解题时只要遵循从内到外的运算顺序，明确每一步运算的定义就能得出正确结果。
【难度系数】
0.6
6.若$7＜m＜9$，则化简$\sqrt{(5-m)^2}+\sqrt{(m-10)^2}$的结果是（
A.$15-2m$
B.$2m-15$
C.$5$
D.$-5$
C
）A.$15-2m$
B.$2m-15$
C.$5$
D.$-5$
答案
6.C
解析
【分析】
解决本题首先要回忆二次根式的核心化简性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，第一步先将原式中的两个二次根式转化为绝对值形式；接下来根据题目给出的$7＜m＜9$的取值范围，分别判断两个绝对值内的代数式$5-m$和$m-10$的正负性；最后根据绝对值的化简规则（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号，合并同类项即可得到结果。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
原式$=|5-m|+|m-10|$
$\because 7＜m＜9$
$\therefore 5-m＜5-7=-2＜0$，$m-10＜9-10=-1＜0$
根据负数的绝对值等于它的相反数，去绝对值得：
$|5-m|=m-5$，$|m-10|=10-m$
代入原式计算：
$(m-5)+(10-m)=m-5+10-m=5$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的化简
【点评】
本题主要考查二次根式的化简与绝对值的运算，解题的关键是结合已知取值范围准确判断绝对值内式子的正负，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆二次根式的核心化简性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，第一步先将原式中的两个二次根式转化为绝对值形式；接下来根据题目给出的$7＜m＜9$的取值范围，分别判断两个绝对值内的代数式$5-m$和$m-10$的正负性；最后根据绝对值的化简规则（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号，合并同类项即可得到结果。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
原式$=|5-m|+|m-10|$
$\because 7＜m＜9$
$\therefore 5-m＜5-7=-2＜0$，$m-10＜9-10=-1＜0$
根据负数的绝对值等于它的相反数，去绝对值得：
$|5-m|=m-5$，$|m-10|=10-m$
代入原式计算：
$(m-5)+(10-m)=m-5+10-m=5$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的化简
【点评】
本题主要考查二次根式的化简与绝对值的运算，解题的关键是结合已知取值范围准确判断绝对值内式子的正负，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 下列各式中，正确的是（
A.$\sqrt{9}=\pm 3$
B.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
C.$\sqrt[3]{(-3)^3}=3$
D.$\sqrt{(π - 3)^2}=π - 3$
D
）A.$\sqrt{9}=\pm 3$
B.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
C.$\sqrt[3]{(-3)^3}=3$
D.$\sqrt{(π - 3)^2}=π - 3$
答案
7.D
解析
【分析】
本题考查算术平方根、立方根的性质及二次根式的化简，解题时先回忆相关性质：算术平方根的结果为非负数，立方根的符号与被开方数的符号一致，$\sqrt{a^2}=|a|$，再对四个选项逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，算术平方根只有非负结果，故$\sqrt{9}=3$，A错误；
B选项：先计算被开方数，$(-2)^2=4$，$\sqrt{4}=2$，故B错误；
C选项：根据立方根的性质，$\sqrt[3]{a^3}=a$，因此$\sqrt[3]{(-3)^3}=-3$，故C错误；
D选项：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，由于$π\approx3.14＞3$，故$π-3＞0$，因此$\sqrt{(π-3)^2}=|π-3|=π-3$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的性质；立方根的性质；二次根式化简
【点评】
本题属于基础易错题，核心要区分平方根和算术平方根的区别，注意开平方运算的结果非负，立方根运算不改变被开方数的符号，化简带平方的二次根式时要先判断底数的正负，再去绝对值符号。
【难度系数】
0.6
本题考查算术平方根、立方根的性质及二次根式的化简，解题时先回忆相关性质：算术平方根的结果为非负数，立方根的符号与被开方数的符号一致，$\sqrt{a^2}=|a|$，再对四个选项逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，算术平方根只有非负结果，故$\sqrt{9}=3$，A错误；
B选项：先计算被开方数，$(-2)^2=4$，$\sqrt{4}=2$，故B错误；
C选项：根据立方根的性质，$\sqrt[3]{a^3}=a$，因此$\sqrt[3]{(-3)^3}=-3$，故C错误；
D选项：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，由于$π\approx3.14＞3$，故$π-3＞0$，因此$\sqrt{(π-3)^2}=|π-3|=π-3$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的性质；立方根的性质；二次根式化简
【点评】
本题属于基础易错题，核心要区分平方根和算术平方根的区别，注意开平方运算的结果非负，立方根运算不改变被开方数的符号，化简带平方的二次根式时要先判断底数的正负，再去绝对值符号。
【难度系数】
0.6
8.若$\sqrt{5}+\sqrt{5}=\sqrt{n}$，则$n=$（
A.25
B.20
C.24
D.30
B
）A.25
B.20
C.24
D.30
答案
8.B
解析
【分析】
本题可先对等式左侧的同类二次根式进行合并，再结合二次根式的性质求出n的值。解题思路如下：第一步，明确$\sqrt{5}$和$\sqrt{5}$是同类二次根式，按照同类二次根式合并法则，系数相加、根式部分不变；第二步，将合并后的结果通过等式两边同时平方去掉根号，即可求出n的数值。
【解析】
解：先计算等式左边的和：
$\sqrt{5} + \sqrt{5} = (1+1)\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$
已知$\sqrt{5} + \sqrt{5} = \sqrt{n}$，因此$2\sqrt{5} = \sqrt{n}$
将等式两边同时平方，得：
$(2\sqrt{5})^2 = (\sqrt{n})^2$
计算左侧：$2^2 × (\sqrt{5})^2 = 4 × 5 = 20$
右侧化简得$n$，因此$n=20$。
【答案】
B
【知识点】
同类二次根式合并；二次根式的运算
【点评】
本题属于二次根式基础运算题，解题核心是掌握同类二次根式的合并方法和二次根式的平方运算规则，计算时注意不要漏算系数的平方即可。
【难度系数】
0.9
本题可先对等式左侧的同类二次根式进行合并，再结合二次根式的性质求出n的值。解题思路如下：第一步，明确$\sqrt{5}$和$\sqrt{5}$是同类二次根式，按照同类二次根式合并法则，系数相加、根式部分不变；第二步，将合并后的结果通过等式两边同时平方去掉根号，即可求出n的数值。
【解析】
解：先计算等式左边的和：
$\sqrt{5} + \sqrt{5} = (1+1)\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$
已知$\sqrt{5} + \sqrt{5} = \sqrt{n}$，因此$2\sqrt{5} = \sqrt{n}$
将等式两边同时平方，得：
$(2\sqrt{5})^2 = (\sqrt{n})^2$
计算左侧：$2^2 × (\sqrt{5})^2 = 4 × 5 = 20$
右侧化简得$n$，因此$n=20$。
【答案】
B
【知识点】
同类二次根式合并；二次根式的运算
【点评】
本题属于二次根式基础运算题，解题核心是掌握同类二次根式的合并方法和二次根式的平方运算规则，计算时注意不要漏算系数的平方即可。
【难度系数】
0.9
9. 下列运算正确的是 （
A.$\sqrt{2} + \sqrt{6} = \sqrt{8}$
B.$\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} = 1 - \sqrt{2}$
C.$1 ÷ \sqrt{3} × \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$
D.$\sqrt{5} × \sqrt{15} = 5\sqrt{3}$
D
）A.$\sqrt{2} + \sqrt{6} = \sqrt{8}$
B.$\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} = 1 - \sqrt{2}$
C.$1 ÷ \sqrt{3} × \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$
D.$\sqrt{5} × \sqrt{15} = 5\sqrt{3}$
答案
9.D
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关运算，解题时需结合二次根式的加减法则、性质、乘除法则对四个选项逐一验证，排除错误选项即可得到正确答案：①判断A选项需明确只有同类二次根式才能合并；②判断B选项需用到二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，再结合绝对值的意义化简；③判断C选项需注意乘除是同级运算，要从左到右依次计算；④判断D选项直接运用二次根式的乘法法则计算化简即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $\sqrt{2}$与$\sqrt{6}$不是同类二次根式，无法直接合并，且$\sqrt{8}=2\sqrt{2}≠\sqrt{2}+\sqrt{6}$，故A选项错误；
B. 根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}=|1-\sqrt{2}|$，
∵$\sqrt{2}＞1$，
∴$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1≠1-\sqrt{2}$，故B选项错误；
C. 乘除为同级运算，需从左到右依次计算：$1 ÷ \sqrt{3} × \frac{1}{\sqrt{3}} = 1 × \frac{1}{\sqrt{3}} × \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} ≠1$，故C选项错误；
D. 根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，可得$\sqrt{5} × \sqrt{15} = \sqrt{5×15} = \sqrt{75} = \sqrt{25×3} = 5\sqrt{3}$，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的运算；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式章节的基础常考题型，易错点集中在三个方面：一是误将非同类二次根式直接合并，二是化简$\sqrt{a^2}$时忽略被开方数的正负性，三是进行乘除混合运算时搞错运算顺序，学习过程中要注意规避这些常见错误，牢记运算法则。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的相关运算，解题时需结合二次根式的加减法则、性质、乘除法则对四个选项逐一验证，排除错误选项即可得到正确答案：①判断A选项需明确只有同类二次根式才能合并；②判断B选项需用到二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，再结合绝对值的意义化简；③判断C选项需注意乘除是同级运算，要从左到右依次计算；④判断D选项直接运用二次根式的乘法法则计算化简即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $\sqrt{2}$与$\sqrt{6}$不是同类二次根式，无法直接合并，且$\sqrt{8}=2\sqrt{2}≠\sqrt{2}+\sqrt{6}$，故A选项错误；
B. 根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}=|1-\sqrt{2}|$，
∵$\sqrt{2}＞1$，
∴$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1≠1-\sqrt{2}$，故B选项错误；
C. 乘除为同级运算，需从左到右依次计算：$1 ÷ \sqrt{3} × \frac{1}{\sqrt{3}} = 1 × \frac{1}{\sqrt{3}} × \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} ≠1$，故C选项错误；
D. 根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，可得$\sqrt{5} × \sqrt{15} = \sqrt{5×15} = \sqrt{75} = \sqrt{25×3} = 5\sqrt{3}$，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的运算；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式章节的基础常考题型，易错点集中在三个方面：一是误将非同类二次根式直接合并，二是化简$\sqrt{a^2}$时忽略被开方数的正负性，三是进行乘除混合运算时搞错运算顺序，学习过程中要注意规避这些常见错误，牢记运算法则。
【难度系数】
0.7
10. 计算:
(1)$(\sqrt{2}-π)^{0}-|1-2\sqrt{3}|+\sqrt{12}-(\frac{1}{2})^{-2}.$
(2)$\sqrt{48}-\sqrt{27}÷2+(3-\sqrt{3})×(1+\frac{1}{\sqrt{3}}).$
(3)$\frac{\sqrt{20}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{6}-(\sqrt{2}-1)×(\sqrt{2}+1).$
(1)$(\sqrt{2}-π)^{0}-|1-2\sqrt{3}|+\sqrt{12}-(\frac{1}{2})^{-2}.$
(2)$\sqrt{48}-\sqrt{27}÷2+(3-\sqrt{3})×(1+\frac{1}{\sqrt{3}}).$
(3)$\frac{\sqrt{20}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{6}-(\sqrt{2}-1)×(\sqrt{2}+1).$
答案
10.解:(1)原式=$1+1-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-4=-2.$
(2)原式=$4\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)×\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{2}+3-1=\frac{5\sqrt{3}}{2}+2.$
(3)原式=$\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-\sqrt{\frac{1}{3}×6}-[(\sqrt{2})^2-1^2]=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-\sqrt{2}-(2-1)=3-\sqrt{2}-1=2-\sqrt{2}.$
(2)原式=$4\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)×\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{2}+3-1=\frac{5\sqrt{3}}{2}+2.$
(3)原式=$\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-\sqrt{\frac{1}{3}×6}-[(\sqrt{2})^2-1^2]=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-\sqrt{2}-(2-1)=3-\sqrt{2}-1=2-\sqrt{2}.$
解析
【分析】
这三道题均属于实数与二次根式的混合运算，解题时遵循“先算乘方、开方、零指数幂、负整数指数幂，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内运算”的顺序：①遇到绝对值先判断内部式子的正负，再去绝对值符号；②二次根式先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式；③符合乘法公式结构的部分可以套用公式简化运算，减少计算量。
【解析】
(1) 分别计算各部分后合并：
非零数的零次幂为1，得$(\sqrt{2}-π)^0=1$；
$1-2\sqrt{3}＜0$，去绝对值得$-|1-2\sqrt{3}|=1-2\sqrt{3}$；
化简二次根式得$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$；
负整数指数幂计算得$(\frac{1}{2})^{-2}=4$；
原式$=1+1-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-4=-2$。
(2) 分别计算各部分后合并：
化简二次根式得$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{27}÷2=\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
对乘积部分变形，提取公因式后套用平方差公式：$(3-\sqrt{3})(1+\frac{1}{\sqrt{3}})=\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)×\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}=(\sqrt{3})^2-1^2=2$；
原式$=4\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{2}+2=\frac{5\sqrt{3}}{2}+2$。
(3) 分别计算各部分后合并：
化简分子得$\frac{\sqrt{20}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=3$；
二次根式乘法计算得$\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{6}=\sqrt{2}$；
套用平方差公式得$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^2-1^2=1$；
原式$=3-\sqrt{2}-1=2-\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{\frac{5\sqrt{3}}{2}+2}$；(3) $\boldsymbol{2-\sqrt{2}}$
【知识点】
1. 二次根式混合运算
2. 零指数与负整数指数幂
3. 平方差公式
【点评】
本题侧重考查运算能力，解题时需严格遵循运算顺序，熟练掌握二次根式化简、特殊指数幂的运算规则，灵活运用乘法公式可有效简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
这三道题均属于实数与二次根式的混合运算，解题时遵循“先算乘方、开方、零指数幂、负整数指数幂，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内运算”的顺序：①遇到绝对值先判断内部式子的正负，再去绝对值符号；②二次根式先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式；③符合乘法公式结构的部分可以套用公式简化运算，减少计算量。
【解析】
(1) 分别计算各部分后合并：
非零数的零次幂为1，得$(\sqrt{2}-π)^0=1$；
$1-2\sqrt{3}＜0$，去绝对值得$-|1-2\sqrt{3}|=1-2\sqrt{3}$；
化简二次根式得$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$；
负整数指数幂计算得$(\frac{1}{2})^{-2}=4$；
原式$=1+1-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-4=-2$。
(2) 分别计算各部分后合并：
化简二次根式得$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{27}÷2=\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
对乘积部分变形，提取公因式后套用平方差公式：$(3-\sqrt{3})(1+\frac{1}{\sqrt{3}})=\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)×\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}=(\sqrt{3})^2-1^2=2$；
原式$=4\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{2}+2=\frac{5\sqrt{3}}{2}+2$。
(3) 分别计算各部分后合并：
化简分子得$\frac{\sqrt{20}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=3$；
二次根式乘法计算得$\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{6}=\sqrt{2}$；
套用平方差公式得$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^2-1^2=1$；
原式$=3-\sqrt{2}-1=2-\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{\frac{5\sqrt{3}}{2}+2}$；(3) $\boldsymbol{2-\sqrt{2}}$
【知识点】
1. 二次根式混合运算
2. 零指数与负整数指数幂
3. 平方差公式
【点评】
本题侧重考查运算能力，解题时需严格遵循运算顺序，熟练掌握二次根式化简、特殊指数幂的运算规则，灵活运用乘法公式可有效简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
