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16. 已知$(a+b)y^2 - y^{\frac{1}{3}a + 2} +5=0$是关于$y$的一元一次方程.
(1)求$a$，$b$的值；
(2)若$x=a$是方程$\frac{x+2}{6} - \frac{x-1}{2} +3 =x - \frac{2x -m}{6}$的解，求$|a -b| - |b -m|$的值.
(1)求$a$，$b$的值；
(2)若$x=a$是方程$\frac{x+2}{6} - \frac{x-1}{2} +3 =x - \frac{2x -m}{6}$的解，求$|a -b| - |b -m|$的值.
答案
16. 解 (1)由题意知 $a + b = 0$，$\frac{1}{3}a + 2 = 1$，解得 $a = -3$，$b = 3$.
(2)将 $x = a = -3$ 代入方程 $\frac{x+2}{6} - \frac{x-1}{2} +3 = x - \frac{2x -m}{6}$，得 $-\frac{1}{6} + 2 + 3 = -3 - \frac{-6 -m}{6}$，解得 $m = 41$.
所以 $|a - b| - |b - m| = |-3 - 3| - |3 - 41| = -32$.
(2)将 $x = a = -3$ 代入方程 $\frac{x+2}{6} - \frac{x-1}{2} +3 = x - \frac{2x -m}{6}$，得 $-\frac{1}{6} + 2 + 3 = -3 - \frac{-6 -m}{6}$，解得 $m = 41$.
所以 $|a - b| - |b - m| = |-3 - 3| - |3 - 41| = -32$.
解析
【分析】
(1) 解题核心是一元一次方程的定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1，同时一次项系数不为0。本题是关于y的一元一次方程，因此含y²的项的系数必须为0（否则未知数最高次数为2，不符合要求），且y的次数为1，据此列出关于a、b的方程求解即可。
(2) 方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，因此将x=a=-3代入给定的关于x的一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤求出m的值，再将a、b、m的值代入待求的绝对值代数式，先化简绝对值再计算结果即可，计算时注意符号处理。
【解析】
(1) 因为$(a+b)y^2 - y^{\frac{1}{3}a + 2} +5=0$是关于y的一元一次方程，所以满足两个条件：
① 二次项系数为0，即$a + b = 0$；
② y的最高次数为1，即$\frac{1}{3}a + 2 = 1$。
解$\frac{1}{3}a + 2 = 1$：
移项得$\frac{1}{3}a = 1 - 2 = -1$，
两边同乘3得$a = -3$。
将$a=-3$代入$a + b = 0$，得$-3 + b = 0$，解得$b=3$。
(2) 将$x=a=-3$代入方程$\frac{x+2}{6} - \frac{x-1}{2} +3 =x - \frac{2x -m}{6}$：
左边$=\frac{-3+2}{6} - \frac{-3-1}{2} +3 = -\frac{1}{6} + 2 + 3 = \frac{29}{6}$
右边$=-3 - \frac{2×(-3) -m}{6} = -3 - \frac{-6 -m}{6}$
左右两边相等，即$\frac{29}{6} = -3 - \frac{-6 -m}{6}$，
两边同乘6去分母得：$29 = -18 - (-6 -m)$，
去括号得：$29 = -18 +6 +m$，
计算得：$29 = -12 +m$，
移项得$m = 29 +12 = 41$。
将$a=-3$、$b=3$、$m=41$代入$|a -b| - |b -m|$：
$a-b=-3-3=-6＜0$，故$|a-b|=6$；$b-m=3-41=-38＜0$，故$|b-m|=38$，
因此原式$=6 - 38 = -32$。
【答案】
(1) $a=-3$，$b=3$；(2) $-32$
【知识点】
一元一次方程的定义；一元一次方程的解；绝对值化简
【点评】
本题综合考查一元一次方程的相关概念和解法，解题关键是准确把握一元一次方程的判定条件，解方程时注意去分母不要漏乘常数项，代入求值和绝对值化简时要注意符号运算，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
(1) 解题核心是一元一次方程的定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1，同时一次项系数不为0。本题是关于y的一元一次方程，因此含y²的项的系数必须为0（否则未知数最高次数为2，不符合要求），且y的次数为1，据此列出关于a、b的方程求解即可。
(2) 方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，因此将x=a=-3代入给定的关于x的一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤求出m的值，再将a、b、m的值代入待求的绝对值代数式，先化简绝对值再计算结果即可，计算时注意符号处理。
【解析】
(1) 因为$(a+b)y^2 - y^{\frac{1}{3}a + 2} +5=0$是关于y的一元一次方程，所以满足两个条件：
① 二次项系数为0，即$a + b = 0$；
② y的最高次数为1，即$\frac{1}{3}a + 2 = 1$。
解$\frac{1}{3}a + 2 = 1$：
移项得$\frac{1}{3}a = 1 - 2 = -1$，
两边同乘3得$a = -3$。
将$a=-3$代入$a + b = 0$，得$-3 + b = 0$，解得$b=3$。
(2) 将$x=a=-3$代入方程$\frac{x+2}{6} - \frac{x-1}{2} +3 =x - \frac{2x -m}{6}$：
左边$=\frac{-3+2}{6} - \frac{-3-1}{2} +3 = -\frac{1}{6} + 2 + 3 = \frac{29}{6}$
右边$=-3 - \frac{2×(-3) -m}{6} = -3 - \frac{-6 -m}{6}$
左右两边相等，即$\frac{29}{6} = -3 - \frac{-6 -m}{6}$，
两边同乘6去分母得：$29 = -18 - (-6 -m)$，
去括号得：$29 = -18 +6 +m$，
计算得：$29 = -12 +m$，
移项得$m = 29 +12 = 41$。
将$a=-3$、$b=3$、$m=41$代入$|a -b| - |b -m|$：
$a-b=-3-3=-6＜0$，故$|a-b|=6$；$b-m=3-41=-38＜0$，故$|b-m|=38$，
因此原式$=6 - 38 = -32$。
【答案】
(1) $a=-3$，$b=3$；(2) $-32$
【知识点】
一元一次方程的定义；一元一次方程的解；绝对值化简
【点评】
本题综合考查一元一次方程的相关概念和解法，解题关键是准确把握一元一次方程的判定条件，解方程时注意去分母不要漏乘常数项，代入求值和绝对值化简时要注意符号运算，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
1. 某货运公司用汽车运一批货物，第一次运走总数的40%，而第二次运走78吨，还剩下36吨，则这批货物共有(
A.180吨
B.190吨
C.200吨
D.210吨
B
)。A.180吨
B.190吨
C.200吨
D.210吨
答案
1. B
解析
【分析】
这是一道典型的一元一次方程实际应用题，解题核心是找准等量关系。首先明确未知量是这批货物的总吨数，我们可以设总吨数为x吨；已知第一次运走总吨数的40%，即40%x吨，第二次运走78吨，剩余36吨，根据“货物总吨数 - 第一次运走的吨数 - 第二次运走的吨数 = 剩余吨数”这一等量关系就可以列出方程，再求解即可得到总吨数。
【解析】
解：设这批货物共有x吨。
根据题意列方程：
$x - 40\%x - 78 = 36$
化简得：$0.6x = 36 + 78$
$0.6x = 114$
解得：$x = 114 ÷ 0.6 = 190$
所以这批货物共有190吨，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 百分数运算
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题关键是准确梳理运走货物量、剩余货物量和总货物量之间的等量关系，计算难度较低，掌握列方程解应用题的基本步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的一元一次方程实际应用题，解题核心是找准等量关系。首先明确未知量是这批货物的总吨数，我们可以设总吨数为x吨；已知第一次运走总吨数的40%，即40%x吨，第二次运走78吨，剩余36吨，根据“货物总吨数 - 第一次运走的吨数 - 第二次运走的吨数 = 剩余吨数”这一等量关系就可以列出方程，再求解即可得到总吨数。
【解析】
解：设这批货物共有x吨。
根据题意列方程：
$x - 40\%x - 78 = 36$
化简得：$0.6x = 36 + 78$
$0.6x = 114$
解得：$x = 114 ÷ 0.6 = 190$
所以这批货物共有190吨，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 百分数运算
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题关键是准确梳理运走货物量、剩余货物量和总货物量之间的等量关系，计算难度较低，掌握列方程解应用题的基本步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
2. 某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天. 若乙先单独做22天，剩下的由甲单独完成. 则甲、乙共用几天可以完成全部工作？设
甲、乙共用x天可以完成全部工作，则可列得方程(
A.$\frac{x-22}{45}+\frac{22}{30}=1$
B.$\frac{x+22}{30}+\frac{22}{45}=1$
C.$\frac{x+22}{45}+\frac{22}{30}=1$
D.$\frac{x}{30}+\frac{x-22}{45}=1$
甲、乙共用x天可以完成全部工作，则可列得方程(
A
)A.$\frac{x-22}{45}+\frac{22}{30}=1$
B.$\frac{x+22}{30}+\frac{22}{45}=1$
C.$\frac{x+22}{45}+\frac{22}{30}=1$
D.$\frac{x}{30}+\frac{x-22}{45}=1$
答案
2. A 解析 由题意可知，甲单独做了(x-22)天，本题中把总工作量看成单位1，则甲每天完成全部工作的$\frac{1}{45}$，乙每天完成全部工作的$\frac{1}{30}$。根据两个时段的工作量之和=总工作量，列得方程$\frac{x-22}{45}+\frac{22}{30}=1$。
解析
【分析】
这是工程类一元一次方程应用题，解题首先要明确工程问题的核心等量关系：总工作量=各部分工作量之和，通常把总工作量看作单位1，工作效率=1÷单独完成总工作的时间。首先看题目设的总天数是x天，已知乙先单独做22天，那么甲单独工作的时间就是总天数减去乙已经做的22天，即$(x-22)$天。接下来分别计算甲、乙的工作量：甲的工作效率是$\frac{1}{45}$，工作量就是效率乘工作时间，即$\frac{x-22}{45}$；乙的工作效率是$\frac{1}{30}$，工作22天的工作量是$\frac{22}{30}$，两者相加等于总工作量1，对应到选项即可找到正确答案。
【解析】
首先将总工作量看作单位1，由题意得：
甲单独完成要45天，因此甲的工作效率为$\frac{1}{45}$；乙单独完成要30天，因此乙的工作效率为$\frac{1}{30}$。
已知甲、乙共用x天完成全部工作，乙先单独做22天，因此甲单独工作的时长为$(x-22)$天。
根据“甲的工作量+乙的工作量=总工作量1”的等量关系，可列方程：
$\frac{x-22}{45}+\frac{22}{30}=1$
对应选项A。
【答案】A
【知识点】
工程问题、一元一次方程的实际应用
【点评】
本题是工程问题的常规基础题型，解题关键是准确找到甲的工作时间，牢记各部分工作量之和等于总工作量（单位1）的核心等量关系，熟练掌握工程问题基本公式后即可快速列对方程。
【难度系数】
0.8
这是工程类一元一次方程应用题，解题首先要明确工程问题的核心等量关系：总工作量=各部分工作量之和，通常把总工作量看作单位1，工作效率=1÷单独完成总工作的时间。首先看题目设的总天数是x天，已知乙先单独做22天，那么甲单独工作的时间就是总天数减去乙已经做的22天，即$(x-22)$天。接下来分别计算甲、乙的工作量：甲的工作效率是$\frac{1}{45}$，工作量就是效率乘工作时间，即$\frac{x-22}{45}$；乙的工作效率是$\frac{1}{30}$，工作22天的工作量是$\frac{22}{30}$，两者相加等于总工作量1，对应到选项即可找到正确答案。
【解析】
首先将总工作量看作单位1，由题意得：
甲单独完成要45天，因此甲的工作效率为$\frac{1}{45}$；乙单独完成要30天，因此乙的工作效率为$\frac{1}{30}$。
已知甲、乙共用x天完成全部工作，乙先单独做22天，因此甲单独工作的时长为$(x-22)$天。
根据“甲的工作量+乙的工作量=总工作量1”的等量关系，可列方程：
$\frac{x-22}{45}+\frac{22}{30}=1$
对应选项A。
【答案】A
【知识点】
工程问题、一元一次方程的实际应用
【点评】
本题是工程问题的常规基础题型，解题关键是准确找到甲的工作时间，牢记各部分工作量之和等于总工作量（单位1）的核心等量关系，熟练掌握工程问题基本公式后即可快速列对方程。
【难度系数】
0.8
