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10. 某校计划购买20个书柜和一批书架，现从A，B两家商场了解到：同型号的产品价格相同，书柜每个210元，书架每个70元。A商场的优惠方案为每买一个书柜赠送一个书架，B商场的优惠方案为所有商品打八折出售。设该校购买$x(x＞20)$个书架。
(1)若该校到同一家商场选购所有书柜和书架，则到A商场和B商场需分别准备多少元货款(用含x的式子表示)？
(2)若规定只能到其中一家商场购买所有书柜和书架，当购买多少个书架时，无论到哪家商场购买所付货款都一样？
(3)若该校想购买20个书柜和100个书架，且可到两家商场自由选购，你认为至少需准备多少元货款？并说明理由。
(1)若该校到同一家商场选购所有书柜和书架，则到A商场和B商场需分别准备多少元货款(用含x的式子表示)？
(2)若规定只能到其中一家商场购买所有书柜和书架，当购买多少个书架时，无论到哪家商场购买所付货款都一样？
(3)若该校想购买20个书柜和100个书架，且可到两家商场自由选购，你认为至少需准备多少元货款？并说明理由。
答案
10. 解 (1) 根据题意，到 A 商场购买需准备货款 20×210+70(x-20)=70x+2 800(元)，
到 B 商场购买需准备货款 0.8×(20×210+70x)=56x+3 360(元)。
(2) 由题意，列得方程 70x+2 800=56x+3 360，解得 x=40。
答：当购买 40 个书架时，无论到哪家商场购买所付货款都一样。
(3) 因为 A 商场的优惠方案为买一个书柜赠送一个书架，相当于打七五折；B 商场的优惠方案为所有商品打八折，
所以应该到 A 商场购买 20 个书柜，赠20 个书架，再到 B 商场购买 80 个书架。
所需货款为 20×210+70×80×0.8=8 680(元)。
答：至少需准备 8 680 元货款。
到 B 商场购买需准备货款 0.8×(20×210+70x)=56x+3 360(元)。
(2) 由题意，列得方程 70x+2 800=56x+3 360，解得 x=40。
答：当购买 40 个书架时，无论到哪家商场购买所付货款都一样。
(3) 因为 A 商场的优惠方案为买一个书柜赠送一个书架，相当于打七五折；B 商场的优惠方案为所有商品打八折，
所以应该到 A 商场购买 20 个书柜，赠20 个书架，再到 B 商场购买 80 个书架。
所需货款为 20×210+70×80×0.8=8 680(元)。
答：至少需准备 8 680 元货款。
解析
【分析】
(1) 先明确两家商场的优惠规则：A商场每买1个书柜送1个书架，购买20个书柜可获赠20个书架，仅需为超出20个的部分书架付费，加上20个书柜的总价即可得到A商场的总货款；B商场所有商品打八折，先计算20个书柜和x个书架的总原价，再乘0.8就能得到B商场的总货款。
(2) 要求两家商场付款金额相同，只需令(1)中得到的两个含x的代数式相等，解对应的一元一次方程即可求出书架的数量。
(3) 要得到最少货款，需对比两家优惠的优势：A商场买书柜送书架的优惠，对应附赠的书架成本更低，因此优先在A商场购买20个书柜，拿到赠送的20个书架，剩余需要的书架到打八折的B商场购买，最后计算总费用即可。
【解析】
(1) 到A商场购买的总货款：
20个书柜费用为$20×210$元，需付费的书架数量为$(x-20)$个，书架费用为$70(x-20)$元，因此总费用为：
$20×210 + 70(x-20) = 4200 + 70x - 1400 = 70x + 2800$（元）
到B商场购买的总货款：
所有商品打八折，总原价为$(20×210 + 70x)$元，因此总费用为：
$0.8×(20×210 + 70x) = 0.8×(4200 + 70x) = 56x + 3360$（元）
(2) 令两家商场货款相等，列方程：
$70x + 2800 = 56x + 3360$
移项得：$70x - 56x = 3360 - 2800$
合并同类项得：$14x = 560$
解得：$x = 40$
(3) 最优方案：到A商场购买20个书柜，获赠20个书架，剩余$100-20=80$个书架到B商场购买。
总货款计算：
20个书柜费用：$20×210 = 4200$（元）
80个书架在B商场的费用：$70×80×0.8 = 4480$（元）
总费用：$4200 + 4480 = 8680$（元）
【答案】
(1) 到A商场需准备$(70x + 2800)$元，到B商场需准备$(56x + 3360)$元；
(2) 当购买40个书架时，无论到哪家商场购买所付货款都一样；
(3) 至少需准备8680元货款。
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，最优方案选择
【点评】
本题结合生活中商场优惠的实际场景出题，既考察了代数式列写、一元一次方程求解的基础能力，也要求学生结合规则分析最优策略，解题核心是准确理解不同优惠的计算逻辑，第三问需要灵活组合两家的优惠才能得到最低费用。
【难度系数】
0.65
(1) 先明确两家商场的优惠规则：A商场每买1个书柜送1个书架，购买20个书柜可获赠20个书架，仅需为超出20个的部分书架付费，加上20个书柜的总价即可得到A商场的总货款；B商场所有商品打八折，先计算20个书柜和x个书架的总原价，再乘0.8就能得到B商场的总货款。
(2) 要求两家商场付款金额相同，只需令(1)中得到的两个含x的代数式相等，解对应的一元一次方程即可求出书架的数量。
(3) 要得到最少货款，需对比两家优惠的优势：A商场买书柜送书架的优惠，对应附赠的书架成本更低，因此优先在A商场购买20个书柜，拿到赠送的20个书架，剩余需要的书架到打八折的B商场购买，最后计算总费用即可。
【解析】
(1) 到A商场购买的总货款：
20个书柜费用为$20×210$元，需付费的书架数量为$(x-20)$个，书架费用为$70(x-20)$元，因此总费用为：
$20×210 + 70(x-20) = 4200 + 70x - 1400 = 70x + 2800$（元）
到B商场购买的总货款：
所有商品打八折，总原价为$(20×210 + 70x)$元，因此总费用为：
$0.8×(20×210 + 70x) = 0.8×(4200 + 70x) = 56x + 3360$（元）
(2) 令两家商场货款相等，列方程：
$70x + 2800 = 56x + 3360$
移项得：$70x - 56x = 3360 - 2800$
合并同类项得：$14x = 560$
解得：$x = 40$
(3) 最优方案：到A商场购买20个书柜，获赠20个书架，剩余$100-20=80$个书架到B商场购买。
总货款计算：
20个书柜费用：$20×210 = 4200$（元）
80个书架在B商场的费用：$70×80×0.8 = 4480$（元）
总费用：$4200 + 4480 = 8680$（元）
【答案】
(1) 到A商场需准备$(70x + 2800)$元，到B商场需准备$(56x + 3360)$元；
(2) 当购买40个书架时，无论到哪家商场购买所付货款都一样；
(3) 至少需准备8680元货款。
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，最优方案选择
【点评】
本题结合生活中商场优惠的实际场景出题，既考察了代数式列写、一元一次方程求解的基础能力，也要求学生结合规则分析最优策略，解题核心是准确理解不同优惠的计算逻辑，第三问需要灵活组合两家的优惠才能得到最低费用。
【难度系数】
0.65
11. 小力和小刚相约去学校 400 m 的环形跑道上练习跑步，两人从同一地点出发，已知小力每秒钟跑5 m，小刚每秒钟跑6 m.
(1)逆向起跑后，多少秒时小力会与小刚第一次相遇？
(2)同向起跑后，多少秒时小刚比小力多跑半圈？
(1)逆向起跑后，多少秒时小力会与小刚第一次相遇？
(2)同向起跑后，多少秒时小刚比小力多跑半圈？
答案
11. 解 (1) 设 x s 时小力会与小刚第一次相遇。
根据题意，得 5x+6x=400，
解得 $x=\frac{400}{11}$。
答：$\frac{400}{11}$ s 时小力会与小刚第一次相遇。
(2) 设 y s 时小刚比小力多跑半圈。
根据题意，得 $6y-5y=400×\frac{1}{2}$，
解得 y=200。
答：200 s 时小刚比小力多跑半圈。
根据题意，得 5x+6x=400，
解得 $x=\frac{400}{11}$。
答：$\frac{400}{11}$ s 时小力会与小刚第一次相遇。
(2) 设 y s 时小刚比小力多跑半圈。
根据题意，得 $6y-5y=400×\frac{1}{2}$，
解得 y=200。
答：200 s 时小刚比小力多跑半圈。
解析
【分析】
(1) 逆向起跑属于环形相遇问题，两人同时同地反向出发，第一次相遇时两人跑的路程之和刚好等于环形跑道的总长度400m。我们可以设相遇时间为x秒，分别用速度乘时间表示出两人跑的路程，根据“小力路程+小刚路程=400m”的等量关系列方程求解即可。
(2) 同向起跑属于环形追及问题，小刚速度比小力快，当小刚比小力多跑半圈时，两人的路程差为$400×\frac{1}{2}=200$m。设对应的时间为y秒，根据“小刚路程-小力路程=200m”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 设$x$ s时小力会与小刚第一次相遇。
根据题意，两人路程和为400m，列方程得：
$5x+6x=400$
合并同类项得$11x=400$
解得$x=\frac{400}{11}$
答：$\frac{400}{11}$ s时小力会与小刚第一次相遇。
(2) 设$y$ s时小刚比小力多跑半圈。
半圈长度为$400×\frac{1}{2}=200$m，根据两人路程差为200m列方程得：
$6y-5y=200$
解得$y=200$
答：200 s时小刚比小力多跑半圈。
【答案】
(1) $\frac{400}{11}$ s；(2) 200 s
【知识点】
一元一次方程应用；环形相遇问题；环形追及问题
【点评】
本题是环形跑道行程问题的经典题型，解题关键是分清逆向、同向行驶时对应的等量关系：逆向出发相遇时路程和等于跑道总长，同向出发时路程差等于多跑的长度，准确找到等量关系列方程即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(1) 逆向起跑属于环形相遇问题，两人同时同地反向出发，第一次相遇时两人跑的路程之和刚好等于环形跑道的总长度400m。我们可以设相遇时间为x秒，分别用速度乘时间表示出两人跑的路程，根据“小力路程+小刚路程=400m”的等量关系列方程求解即可。
(2) 同向起跑属于环形追及问题，小刚速度比小力快，当小刚比小力多跑半圈时，两人的路程差为$400×\frac{1}{2}=200$m。设对应的时间为y秒，根据“小刚路程-小力路程=200m”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 设$x$ s时小力会与小刚第一次相遇。
根据题意，两人路程和为400m，列方程得：
$5x+6x=400$
合并同类项得$11x=400$
解得$x=\frac{400}{11}$
答：$\frac{400}{11}$ s时小力会与小刚第一次相遇。
(2) 设$y$ s时小刚比小力多跑半圈。
半圈长度为$400×\frac{1}{2}=200$m，根据两人路程差为200m列方程得：
$6y-5y=200$
解得$y=200$
答：200 s时小刚比小力多跑半圈。
【答案】
(1) $\frac{400}{11}$ s；(2) 200 s
【知识点】
一元一次方程应用；环形相遇问题；环形追及问题
【点评】
本题是环形跑道行程问题的经典题型，解题关键是分清逆向、同向行驶时对应的等量关系：逆向出发相遇时路程和等于跑道总长，同向出发时路程差等于多跑的长度，准确找到等量关系列方程即可快速求解。
【难度系数】
0.8
