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【例1】(1)已知$(m-1)a^{|m+1|}b^3$是关于$a,b$的五次单项式，求$m$的值.
(2)多项式$-\dfrac{1}{5}x^{|m|}-(m+2)x+5$是关于$x$的二次三项式，求$m$的值.
(3)已知多项式$(a-1)x^3 -3x^b +4x -1$是关于$x$的二次三项式，求$ab$的值.
(2)多项式$-\dfrac{1}{5}x^{|m|}-(m+2)x+5$是关于$x$的二次三项式，求$m$的值.
(3)已知多项式$(a-1)x^3 -3x^b +4x -1$是关于$x$的二次三项式，求$ab$的值.
答案
(1)-3.
(2)2.
(3)2.
(2)2.
(3)2.
解析
【分析】
这三道题均考查整式的相关概念，解题时紧扣定义挖掘隐含条件即可：
(1) 求解单项式相关问题时，首先明确单项式的次数是所有字母的指数之和，同时单项式的系数不能为0，据此列等式和不等式求解；
(2) 二次三项式的含义是：多项式最高次项的次数为2，且多项式一共有3个项，因此最高次项的指数等于2，且一次项系数不能为0（否则项数不足3），联立条件求解；
(3) 关于x的二次三项式说明不存在三次项，即三次项系数为0，且最高次项的次数为2，同时验证项数符合要求后计算ab即可。
【解析】
(1) 由题意得：$\begin{cases}|m+1| + 3 = 5 \\ m - 1 ≠ 0 \end{cases}$
解$|m+1|=2$得$m=1$或$m=-3$，结合$m≠1$，可得$m=-3$。
(2) 由题意得：$\begin{cases}|m|=2 \\ -(m+2) ≠ 0 \end{cases}$
解$|m|=2$得$m=2$或$m=-2$，结合$m≠-2$，可得$m=2$。
(3) 由题意得：$\begin{cases}a - 1 = 0 \\ b = 2 \end{cases}$
解得$a=1$，$b=2$，代入原式验证得$-3x^2+4x-1$是二次三项式，符合要求，因此$ab=1×2=2$。
【答案】
(1)-3；(2)2；(3)2
【知识点】
单项式的次数；多项式的项与次数；绝对值的性质
【点评】
本组题属于整式章节的基础常考题型，解题核心是准确理解单项式、多项式的相关定义，尤其要注意系数不为0等隐含条件，避免出现多解、漏解的错误。
【难度系数】
0.7
这三道题均考查整式的相关概念，解题时紧扣定义挖掘隐含条件即可：
(1) 求解单项式相关问题时，首先明确单项式的次数是所有字母的指数之和，同时单项式的系数不能为0，据此列等式和不等式求解；
(2) 二次三项式的含义是：多项式最高次项的次数为2，且多项式一共有3个项，因此最高次项的指数等于2，且一次项系数不能为0（否则项数不足3），联立条件求解；
(3) 关于x的二次三项式说明不存在三次项，即三次项系数为0，且最高次项的次数为2，同时验证项数符合要求后计算ab即可。
【解析】
(1) 由题意得：$\begin{cases}|m+1| + 3 = 5 \\ m - 1 ≠ 0 \end{cases}$
解$|m+1|=2$得$m=1$或$m=-3$，结合$m≠1$，可得$m=-3$。
(2) 由题意得：$\begin{cases}|m|=2 \\ -(m+2) ≠ 0 \end{cases}$
解$|m|=2$得$m=2$或$m=-2$，结合$m≠-2$，可得$m=2$。
(3) 由题意得：$\begin{cases}a - 1 = 0 \\ b = 2 \end{cases}$
解得$a=1$，$b=2$，代入原式验证得$-3x^2+4x-1$是二次三项式，符合要求，因此$ab=1×2=2$。
【答案】
(1)-3；(2)2；(3)2
【知识点】
单项式的次数；多项式的项与次数；绝对值的性质
【点评】
本组题属于整式章节的基础常考题型，解题核心是准确理解单项式、多项式的相关定义，尤其要注意系数不为0等隐含条件，避免出现多解、漏解的错误。
【难度系数】
0.7
【例2】已知$-a^{|x-2|}b^{2}$与$\frac{1}{3}ab^{y}$是同类项，则x的值为
1或3
，y的值为2
。答案
1或3 2
解析
【分析】
解题首先要回忆同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。我们先对比两个单项式中相同字母的指数：首先看字母b，两个单项式中b的指数应该相等，可直接求出y的值；再看字母a，两个单项式中a的指数相等，可列出含绝对值的方程，再根据绝对值的性质解方程得到x的两个取值，注意绝对值等于正数时有两个解，不要漏解。
【解析】
解：
∵$-a^{|x-2|}b^{2}$与$\frac{1}{3}ab^{y}$是同类项
根据同类项的定义，相同字母的指数相等：
① 对于字母b，其指数对应相等，即$y=2$；
② 对于字母a，第一个单项式中a的指数为$|x-2|$，第二个单项式中a的指数为1（单个字母的指数为1，省略不写），因此有：
$|x-2|=1$
根据绝对值的性质，绝对值为1的数有1和-1，即：
$x-2=1$ 或 $x-2=-1$
分别解得：$x=3$ 或 $x=1$
综上，x的值为1或3，y的值为2。
【答案】
1或3；2
【知识点】
同类项的定义；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础应用类题型，解题核心是准确掌握同类项的判定规则，需要注意的是求解绝对值方程时，绝对值等于正整数对应两个解，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
解题首先要回忆同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。我们先对比两个单项式中相同字母的指数：首先看字母b，两个单项式中b的指数应该相等，可直接求出y的值；再看字母a，两个单项式中a的指数相等，可列出含绝对值的方程，再根据绝对值的性质解方程得到x的两个取值，注意绝对值等于正数时有两个解，不要漏解。
【解析】
解：
∵$-a^{|x-2|}b^{2}$与$\frac{1}{3}ab^{y}$是同类项
根据同类项的定义，相同字母的指数相等：
① 对于字母b，其指数对应相等，即$y=2$；
② 对于字母a，第一个单项式中a的指数为$|x-2|$，第二个单项式中a的指数为1（单个字母的指数为1，省略不写），因此有：
$|x-2|=1$
根据绝对值的性质，绝对值为1的数有1和-1，即：
$x-2=1$ 或 $x-2=-1$
分别解得：$x=3$ 或 $x=1$
综上，x的值为1或3，y的值为2。
【答案】
1或3；2
【知识点】
同类项的定义；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础应用类题型，解题核心是准确掌握同类项的判定规则，需要注意的是求解绝对值方程时，绝对值等于正整数对应两个解，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
【例3】已知关于$x$，$y$的单项式$2mx^a y^3$与$-4nx^{3a-6}y^3$是同类项(其中$xy≠0$)。
(1)求$a$的值；
(2)若这两个单项式的和为零，求$(m-2n-1)^{2025}$的值。
(1)求$a$的值；
(2)若这两个单项式的和为零，求$(m-2n-1)^{2025}$的值。
答案
(1)3.
(2)-1.
(2)-1.
解析
【分析】
1. 求解第一问时，先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。题中两个单项式的y的指数均为3，已经满足同类项要求，因此只需让x的指数相等，列一元一次方程即可求出a的值。
2. 求解第二问时，两个同类项的和为0，说明二者的系数互为相反数，由此可推导得到m和n的数量关系，再将该关系代入所求代数式，结合有理数乘方的符号规律即可计算结果。
【解析】
(1) 已知$2mx^a y^3$与$-4nx^{3a-6}y^3$是同类项，根据同类项相同字母指数相等的性质，可得x的指数满足：
$a = 3a - 6$
移项得：$a - 3a = -6$
合并同类项得：$-2a = -6$
系数化为1得：$a = 3$
(2) 因为两个单项式的和为0，且二者是同类项，说明它们的系数互为相反数，即：
$2m + (-4n) = 0$
化简得：$2m = 4n$，即$m = 2n$
将$m = 2n$代入$(m-2n-1)^{2025}$得：
原式$=(2n - 2n - 1)^{2025}=(-1)^{2025}$
由于2025是奇数，因此$(-1)^{2025}=-1$
【答案】
(1)3；(2)-1
【知识点】
同类项的定义；代数式求值；有理数乘方运算
【点评】
本题围绕同类项的核心性质设题，解题关键是掌握同类项的判定规则以及合并同类项的系数运算规律，代入求值时注意区分负数奇次幂、偶次幂的符号差异，整体属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
1. 求解第一问时，先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。题中两个单项式的y的指数均为3，已经满足同类项要求，因此只需让x的指数相等，列一元一次方程即可求出a的值。
2. 求解第二问时，两个同类项的和为0，说明二者的系数互为相反数，由此可推导得到m和n的数量关系，再将该关系代入所求代数式，结合有理数乘方的符号规律即可计算结果。
【解析】
(1) 已知$2mx^a y^3$与$-4nx^{3a-6}y^3$是同类项，根据同类项相同字母指数相等的性质，可得x的指数满足：
$a = 3a - 6$
移项得：$a - 3a = -6$
合并同类项得：$-2a = -6$
系数化为1得：$a = 3$
(2) 因为两个单项式的和为0，且二者是同类项，说明它们的系数互为相反数，即：
$2m + (-4n) = 0$
化简得：$2m = 4n$，即$m = 2n$
将$m = 2n$代入$(m-2n-1)^{2025}$得：
原式$=(2n - 2n - 1)^{2025}=(-1)^{2025}$
由于2025是奇数，因此$(-1)^{2025}=-1$
【答案】
(1)3；(2)-1
【知识点】
同类项的定义；代数式求值；有理数乘方运算
【点评】
本题围绕同类项的核心性质设题，解题关键是掌握同类项的判定规则以及合并同类项的系数运算规律，代入求值时注意区分负数奇次幂、偶次幂的符号差异，整体属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
