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【例4】已知关于$a,b$的单项式$-2a^2b^{x+y}$与$\frac{1}{3}a^xb^5$的和仍为单项式，且$ab≠0$，求多项式$\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{6}xy^2 + \frac{1}{3}y^3$的值。
答案
10.
解析
【分析】
首先，两个单项式相加结果仍为单项式，说明这两个单项式是同类项。根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等，我们可以分别列出关于x、y的等式，求解得到x和y的取值后，代入待求的多项式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 单项式$-2a^2b^{x+y}$与$\frac{1}{3}a^xb^5$的和仍为单项式，且$ab≠0$
∴ 两个单项式是同类项，根据同类项的定义可得：
$\begin{cases}x = 2 \\x + y = 5\end{cases}$
将$x=2$代入$x+y=5$，解得$y=5-2=3$
把$x=2$，$y=3$代入多项式$\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{6}xy^2 + \frac{1}{3}y^3$：
$\begin{aligned}原式 &= \frac{1}{2}× 2^3 - \frac{1}{6}× 2× 3^2 + \frac{1}{3}× 3^3 \\&= \frac{1}{2}× 8 - \frac{1}{6}× 2× 9 + \frac{1}{3}× 27 \\&= 4 - 3 + 9 \\&= 10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
同类项的概念，代数式求值，解一元一次方程
【点评】
本题解题核心是根据“两个单项式的和为单项式”判断出二者为同类项，再利用同类项的指数特征求出未知参数，最后代入计算即可，侧重对基础概念的理解和应用，计算时注意运算顺序避免出错。
【难度系数】
0.8
首先，两个单项式相加结果仍为单项式，说明这两个单项式是同类项。根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等，我们可以分别列出关于x、y的等式，求解得到x和y的取值后，代入待求的多项式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 单项式$-2a^2b^{x+y}$与$\frac{1}{3}a^xb^5$的和仍为单项式，且$ab≠0$
∴ 两个单项式是同类项，根据同类项的定义可得：
$\begin{cases}x = 2 \\x + y = 5\end{cases}$
将$x=2$代入$x+y=5$，解得$y=5-2=3$
把$x=2$，$y=3$代入多项式$\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{6}xy^2 + \frac{1}{3}y^3$：
$\begin{aligned}原式 &= \frac{1}{2}× 2^3 - \frac{1}{6}× 2× 3^2 + \frac{1}{3}× 3^3 \\&= \frac{1}{2}× 8 - \frac{1}{6}× 2× 9 + \frac{1}{3}× 27 \\&= 4 - 3 + 9 \\&= 10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
同类项的概念，代数式求值，解一元一次方程
【点评】
本题解题核心是根据“两个单项式的和为单项式”判断出二者为同类项，再利用同类项的指数特征求出未知参数，最后代入计算即可，侧重对基础概念的理解和应用，计算时注意运算顺序避免出错。
【难度系数】
0.8
【例5】先化简，再求值：$2x^2 - [3(-\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}xy) - 2y^2] - 2(x^2 - xy + 2y^2)$，其中$x,y$满足$\left|x - \frac{1}{2}\right| + (y + 1)^2 = 0$。
答案
解:原式=$x^2-2y^2$.由题意易知,$x=\frac{1}{2},y=-1$,所以原式=$-\frac{7}{4}$.
解析
【分析】
本题需分两步求解：第一步先对整式进行化简，化简时遵循去括号法则（括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号），再合并同类项得到最简式；第二步根据绝对值和平方的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，求出x、y的值，最后代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
解：先化简整式：
原式$=2x^2 - [ -x^2 + 2xy - 2y^2 ] - 2x^2 + 2xy - 4y^2$
$=2x^2 + x^2 - 2xy + 2y^2 - 2x^2 + 2xy - 4y^2$
合并同类项得：
原式$=x^2 - 2y^2$
再求x、y的值：
$\because \left|x - \frac{1}{2}\right| ≥ 0$，$(y+1)^2 ≥ 0$，且$\left|x - \frac{1}{2}\right| + (y + 1)^2 = 0$
$\therefore x - \frac{1}{2} = 0$，$y + 1 = 0$
解得$x=\frac{1}{2}$，$y=-1$
将$x=\frac{1}{2}$，$y=-1$代入$x^2 - 2y^2$得：
原式$= (\frac{1}{2})^2 - 2× (-1)^2 = \frac{1}{4} - 2 = -\frac{7}{4}$
【答案】
$-\frac{7}{4}$
【知识点】
整式的化简、非负数的性质、代数式求值
【点评】
本题重点考查整式加减运算中的去括号、合并同类项规则，以及非负数性质的应用，解题时需注意去括号时的符号变化，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
本题需分两步求解：第一步先对整式进行化简，化简时遵循去括号法则（括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号），再合并同类项得到最简式；第二步根据绝对值和平方的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，求出x、y的值，最后代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
解：先化简整式：
原式$=2x^2 - [ -x^2 + 2xy - 2y^2 ] - 2x^2 + 2xy - 4y^2$
$=2x^2 + x^2 - 2xy + 2y^2 - 2x^2 + 2xy - 4y^2$
合并同类项得：
原式$=x^2 - 2y^2$
再求x、y的值：
$\because \left|x - \frac{1}{2}\right| ≥ 0$，$(y+1)^2 ≥ 0$，且$\left|x - \frac{1}{2}\right| + (y + 1)^2 = 0$
$\therefore x - \frac{1}{2} = 0$，$y + 1 = 0$
解得$x=\frac{1}{2}$，$y=-1$
将$x=\frac{1}{2}$，$y=-1$代入$x^2 - 2y^2$得：
原式$= (\frac{1}{2})^2 - 2× (-1)^2 = \frac{1}{4} - 2 = -\frac{7}{4}$
【答案】
$-\frac{7}{4}$
【知识点】
整式的化简、非负数的性质、代数式求值
【点评】
本题重点考查整式加减运算中的去括号、合并同类项规则，以及非负数性质的应用，解题时需注意去括号时的符号变化，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
【例 6】已知 $A=x^2 - 2xy + y^2$，$B=2x^2 -6xy +3y^2$，求 $3A - [(2A - B) -4(A - B)]$ 的值，其中 $|x|=5$，$y^2=9$，且 $x+y=-2$。
答案
解:原式=$-x^2+8xy-4y^2$.由题意易知,$x=-5,y=3$,所以原式=$-181$.
解析
【分析】
这是一道整式化简求值综合题，解题思路分三步：第一步先对含A、B的待求代数式去括号、合并同类项，简化为仅含A和B的最简形式，避免直接代入A、B带来的繁杂运算；第二步将A、B的整式表达式代入，再次合并同类项，得到关于x、y的最简整式；第三步根据绝对值、平方的性质得到x、y的所有可能取值，结合x+y=-2的约束条件筛选出符合要求的x、y值，最后代入最简整式计算结果即可，注意去括号时要留心符号变化。
【解析】
解：先化简待求代数式：
$\begin{aligned}3A - [(2A - B) -4(A - B)]&=3A - (2A - B -4A +4B)\\&=3A - (-2A +3B)\\&=3A +2A -3B\\&=5A -3B\end{aligned}$
将$A=x^2 - 2xy + y^2$，$B=2x^2 -6xy +3y^2$代入上式：
$\begin{aligned}5A -3B&=5(x^2 - 2xy + y^2) - 3(2x^2 -6xy +3y^2)\\&=5x^2 -10xy +5y^2 -6x^2 +18xy -9y^2\\&=-x^2 +8xy -4y^2\end{aligned}$
再确定x、y的取值：
∵$|x|=5$，
∴$x=5$或$x=-5$
∵$y^2=9$，
∴$y=3$或$y=-3$
结合$x+y=-2$验证：若$x=5$，则$y=-7$，不符合y的取值范围，舍去；若$x=-5$，则$y=3$，符合要求，即$x=-5,y=3$。
代入最简式计算：
$\begin{aligned}原式&=-(-5)^2 +8×(-5)×3 -4×3^2\\&=-25 -120 -36\\&=-181\end{aligned}$
【答案】
$-181$
【知识点】
整式的加减运算，绝对值的性质，代数式求值
【点评】
本题综合考查整式运算和绝对值、平方的性质，先化简再代值的思路能有效降低运算出错概率，解题时要注意根据约束条件筛选未知数的取值，避免多解混淆。
【难度系数】
0.65
这是一道整式化简求值综合题，解题思路分三步：第一步先对含A、B的待求代数式去括号、合并同类项，简化为仅含A和B的最简形式，避免直接代入A、B带来的繁杂运算；第二步将A、B的整式表达式代入，再次合并同类项，得到关于x、y的最简整式；第三步根据绝对值、平方的性质得到x、y的所有可能取值，结合x+y=-2的约束条件筛选出符合要求的x、y值，最后代入最简整式计算结果即可，注意去括号时要留心符号变化。
【解析】
解：先化简待求代数式：
$\begin{aligned}3A - [(2A - B) -4(A - B)]&=3A - (2A - B -4A +4B)\\&=3A - (-2A +3B)\\&=3A +2A -3B\\&=5A -3B\end{aligned}$
将$A=x^2 - 2xy + y^2$，$B=2x^2 -6xy +3y^2$代入上式：
$\begin{aligned}5A -3B&=5(x^2 - 2xy + y^2) - 3(2x^2 -6xy +3y^2)\\&=5x^2 -10xy +5y^2 -6x^2 +18xy -9y^2\\&=-x^2 +8xy -4y^2\end{aligned}$
再确定x、y的取值：
∵$|x|=5$，
∴$x=5$或$x=-5$
∵$y^2=9$，
∴$y=3$或$y=-3$
结合$x+y=-2$验证：若$x=5$，则$y=-7$，不符合y的取值范围，舍去；若$x=-5$，则$y=3$，符合要求，即$x=-5,y=3$。
代入最简式计算：
$\begin{aligned}原式&=-(-5)^2 +8×(-5)×3 -4×3^2\\&=-25 -120 -36\\&=-181\end{aligned}$
【答案】
$-181$
【知识点】
整式的加减运算，绝对值的性质，代数式求值
【点评】
本题综合考查整式运算和绝对值、平方的性质，先化简再代值的思路能有效降低运算出错概率，解题时要注意根据约束条件筛选未知数的取值，避免多解混淆。
【难度系数】
0.65
【例】(1)已知$a - b = -3$，求$3(a - b) - a + b + 5$的值.
(2)已知$x^2 - 2y - 5 = 0$，求$3(x^2 - 2xy) - (x^2 - 6xy) - 4y$的值.
(2)已知$x^2 - 2y - 5 = 0$，求$3(x^2 - 2xy) - (x^2 - 6xy) - 4y$的值.
答案
(1)原式=$2(a-b)+5$.因为$a-b=-3$,所以原式=$-1$.
(2)原式=$2(x^2-2y)$.因为$x^2-2y-5=0$,所以$x^2-2y=5$,所以原式=10.
(2)原式=$2(x^2-2y)$.因为$x^2-2y-5=0$,所以$x^2-2y=5$,所以原式=10.
解析
【分析】
这两道题均为代数式化简求值类问题，解题核心是运用整体代入思想，无需单独计算每个未知字母的取值。第(1)题已知$a-b$的取值，只需先将原式合并整理为含$(a-b)$的整体形式，再代入数值计算即可；第(2)题先对原式去括号、合并同类项，整理为已知条件中含$(x^2-2y)$的整体形式，再将已知等式变形得到的$x^2-2y$的值代入计算即可。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=3(a-b)-a+b+5\\&=3(a-b)-(a-b)+5\\&=2(a-b)+5\end{aligned}$
将$a-b=-3$代入化简后的式子，得：
$原式=2×(-3)+5=-6+5=-1$
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=3(x^2-2xy)-(x^2-6xy)-4y\\&=3x^2-6xy-x^2+6xy-4y\\&=2x^2-4y\\&=2(x^2-2y)\end{aligned}$
由$x^2-2y-5=0$，移项可得$x^2-2y=5$，将其代入化简后的式子，得：
$原式=2×5=10$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{10}$
【知识点】
代数式化简求值；整体代入法；合并同类项
【点评】
此类题目重点考查代数式的化简技巧和整体代入思想，通过将所求式子整理为与已知条件相关的整体形式，可有效简化计算步骤，降低运算难度，是代数式求值中非常常用的解题技巧。
【难度系数】
0.75
这两道题均为代数式化简求值类问题，解题核心是运用整体代入思想，无需单独计算每个未知字母的取值。第(1)题已知$a-b$的取值，只需先将原式合并整理为含$(a-b)$的整体形式，再代入数值计算即可；第(2)题先对原式去括号、合并同类项，整理为已知条件中含$(x^2-2y)$的整体形式，再将已知等式变形得到的$x^2-2y$的值代入计算即可。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=3(a-b)-a+b+5\\&=3(a-b)-(a-b)+5\\&=2(a-b)+5\end{aligned}$
将$a-b=-3$代入化简后的式子，得：
$原式=2×(-3)+5=-6+5=-1$
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=3(x^2-2xy)-(x^2-6xy)-4y\\&=3x^2-6xy-x^2+6xy-4y\\&=2x^2-4y\\&=2(x^2-2y)\end{aligned}$
由$x^2-2y-5=0$，移项可得$x^2-2y=5$，将其代入化简后的式子，得：
$原式=2×5=10$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{10}$
【知识点】
代数式化简求值；整体代入法；合并同类项
【点评】
此类题目重点考查代数式的化简技巧和整体代入思想，通过将所求式子整理为与已知条件相关的整体形式，可有效简化计算步骤，降低运算难度，是代数式求值中非常常用的解题技巧。
【难度系数】
0.75
