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3.利用等式的基本性质解方程 $3x - 1 = 8$ 时，可以先在方程两边同时加1，得
$3x=9$
，然后方程两边同时除以3
，得 $x = 3$。答案
$3x=9$，除以3
解析
【分析】
本题考查利用等式的基本性质解一元一次方程，解题思路是先依据等式的基本性质1，即等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，消去方程左侧的常数项-1，再依据等式的基本性质2，即等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，将x的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
解方程$3x - 1 = 8$时：
1. 第一步应用等式的基本性质1，在方程两边同时加1：
左边计算得$3x - 1 + 1 = 3x$，右边计算得$8 + 1 = 9$，因此得到$3x = 9$。
2. 第二步要将x的系数化为1，应用等式的基本性质2，在方程两边同时除以3：
左边计算得$3x ÷ 3 = x$，右边计算得$9 ÷ 3 = 3$，因此得到$x = 3$。
【答案】
$3x=9$，除以3
【知识点】
等式的基本性质，解一元一次方程
【点评】
本题是对等式基本性质的直接应用，属于基础题型，熟练掌握等式的两条基本性质是解一元一次方程的核心。
【难度系数】
0.9
本题考查利用等式的基本性质解一元一次方程，解题思路是先依据等式的基本性质1，即等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，消去方程左侧的常数项-1，再依据等式的基本性质2，即等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，将x的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
解方程$3x - 1 = 8$时：
1. 第一步应用等式的基本性质1，在方程两边同时加1：
左边计算得$3x - 1 + 1 = 3x$，右边计算得$8 + 1 = 9$，因此得到$3x = 9$。
2. 第二步要将x的系数化为1，应用等式的基本性质2，在方程两边同时除以3：
左边计算得$3x ÷ 3 = x$，右边计算得$9 ÷ 3 = 3$，因此得到$x = 3$。
【答案】
$3x=9$，除以3
【知识点】
等式的基本性质，解一元一次方程
【点评】
本题是对等式基本性质的直接应用，属于基础题型，熟练掌握等式的两条基本性质是解一元一次方程的核心。
【难度系数】
0.9
例2 已知$x=2$是关于$x$的方程$a(x+1)=\frac{1}{2}a+x$的解，则$a$的值是
$\dfrac{4}{5}$
。答案
$\dfrac{4}{5}$
解析
【分析】
已知方程的解求参数的问题，核心是利用方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。我们可以把x=2直接代入原方程，此时原方程就转化为只含有未知数a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算，就能求出a的值。
【解析】
因为$x=2$是方程$a(x+1)=\frac{1}{2}a+x$的解，所以将$x=2$代入原方程，得：
$a×(2+1)=\frac{1}{2}a + 2$
整理得$3a=\frac{1}{2}a + 2$
移项，得$3a-\frac{1}{2}a=2$
合并同类项，得$\frac{5}{2}a=2$
系数化为1，得$a=2÷\frac{5}{2}=\frac{4}{5}$
【答案】
$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，解题关键是熟练掌握方程解的定义，将已知解代入原方程，把求参数的问题转化为解一元一次方程的问题，计算时注意分数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
已知方程的解求参数的问题，核心是利用方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。我们可以把x=2直接代入原方程，此时原方程就转化为只含有未知数a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算，就能求出a的值。
【解析】
因为$x=2$是方程$a(x+1)=\frac{1}{2}a+x$的解，所以将$x=2$代入原方程，得：
$a×(2+1)=\frac{1}{2}a + 2$
整理得$3a=\frac{1}{2}a + 2$
移项，得$3a-\frac{1}{2}a=2$
合并同类项，得$\frac{5}{2}a=2$
系数化为1，得$a=2÷\frac{5}{2}=\frac{4}{5}$
【答案】
$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，解题关键是熟练掌握方程解的定义，将已知解代入原方程，把求参数的问题转化为解一元一次方程的问题，计算时注意分数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
4.关于x的一元一次方程$2x^{a-2} + m = 4$的解为$x=1$，则$a+m$的值为（
A.9
B.8
C.5
D.4
C
）。A.9
B.8
C.5
D.4
答案
C
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，根据一元一次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为1），可得到关于a的等式，求出a的值；第二步，已知方程的解为x=1，将x=1代入化简后的一元一次方程，可求出m的值；第三步，将a和m的值相加，即可得到a+m的结果，对应选项选出答案。
【解析】
∵ 方程$2x^{a-2} + m = 4$是关于x的一元一次方程
∴ 未知数x的次数为1，即$a-2=1$，解得$a=3$
此时原方程化简为$2x + m = 4$
∵ 方程的解为$x=1$，将$x=1$代入$2x + m = 4$得：
$2×1 + m = 4$
解得$m=2$
∴ $a+m=3+2=5$
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的定义；方程的解的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元一次方程定义和方程解概念的理解运用，解题的关键是先根据一元一次方程的次数要求求出参数a，再代入方程的解求出m，熟练掌握基础概念是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.8
解题思路分三步：第一步，根据一元一次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为1），可得到关于a的等式，求出a的值；第二步，已知方程的解为x=1，将x=1代入化简后的一元一次方程，可求出m的值；第三步，将a和m的值相加，即可得到a+m的结果，对应选项选出答案。
【解析】
∵ 方程$2x^{a-2} + m = 4$是关于x的一元一次方程
∴ 未知数x的次数为1，即$a-2=1$，解得$a=3$
此时原方程化简为$2x + m = 4$
∵ 方程的解为$x=1$，将$x=1$代入$2x + m = 4$得：
$2×1 + m = 4$
解得$m=2$
∴ $a+m=3+2=5$
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的定义；方程的解的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元一次方程定义和方程解概念的理解运用，解题的关键是先根据一元一次方程的次数要求求出参数a，再代入方程的解求出m，熟练掌握基础概念是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.8
5. 已知关于$x$的方程$(m^2 - 1)x^2 + (m + 2)x + (m + 1)y = m + 3$，当$m$为何值时，方程是一元一次方程？
例3 解方程：$\frac{2x + 1}{0.3} - \frac{10x + 1}{0.6} = 1$。
例3 解方程：$\frac{2x + 1}{0.3} - \frac{10x + 1}{0.6} = 1$。
答案
$m=-1$，$x=\dfrac{1}{15}$
解析
【分析】
第一题解题思路：要判断方程为一元一次方程，需紧扣一元一次方程的定义：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为1，且未知数系数不为0。原方程含有x、y两个未知数，还存在x的二次项，因此首先要令二次项系数为0消去二次项，再消去其中一个未知数的项，同时保证剩余未知数的系数不为0，即可求出m的取值。
第二题解题思路：该方程分母为小数，首先利用分数的基本性质，将分子分母同时扩大相同倍数把分母化为整数，再按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的常规步骤求解即可。
【解析】
求m的值：
要使方程$(m^2 - 1)x^2 + (m + 2)x + (m + 1)y = m + 3$是一元一次方程，需满足：
1. 消去二次项：令二次项系数为0，即$m^2 - 1 = 0$，解得$m=1$或$m=-1$；
2. 消去多余未知数：
若$m=1$，代入得y的系数为$m+1=2≠0$，x的系数为$m+2=3≠0$，此时方程含x、y两个未知数，属于二元一次方程，不符合要求；
若$m=-1$，代入得y的系数为$m+1=0$，x的系数为$m+2=1≠0$，此时方程化简为$x=2$，仅含x一个未知数，且是一次整式方程，符合要求。
因此$m=-1$。
解方程$\frac{2x + 1}{0.3} - \frac{10x + 1}{0.6} = 1$：
1. 利用分数基本性质，将两个分数的分子分母同时乘10，把分母化为整数，得：
$\frac{20x + 10}{3} - \frac{100x + 10}{6} = 1$
2. 去分母，方程两边同时乘6，得：
$2(20x + 10) - (100x + 10) = 6$
3. 去括号，得：
$40x + 20 - 100x - 10 = 6$
4. 移项，得：
$40x - 100x = 6 - 20 + 10$
5. 合并同类项，得：
$-60x = -4$
6. 系数化为1，得：
$x = \frac{-4}{-60} = \frac{1}{15}$
【答案】
$m=-1$，$x=\dfrac{1}{15}$
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题组侧重考察一元一次方程的基础应用，判定一元一次方程时需逐一验证定义的三个条件，不要忽略多未知数的消项要求；解含小数分母的方程时，要区分分数基本性质和等式性质的应用，去分母时注意不要漏乘常数项，去括号时注意符号变化。
【难度系数】
0.7
第一题解题思路：要判断方程为一元一次方程，需紧扣一元一次方程的定义：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为1，且未知数系数不为0。原方程含有x、y两个未知数，还存在x的二次项，因此首先要令二次项系数为0消去二次项，再消去其中一个未知数的项，同时保证剩余未知数的系数不为0，即可求出m的取值。
第二题解题思路：该方程分母为小数，首先利用分数的基本性质，将分子分母同时扩大相同倍数把分母化为整数，再按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的常规步骤求解即可。
【解析】
求m的值：
要使方程$(m^2 - 1)x^2 + (m + 2)x + (m + 1)y = m + 3$是一元一次方程，需满足：
1. 消去二次项：令二次项系数为0，即$m^2 - 1 = 0$，解得$m=1$或$m=-1$；
2. 消去多余未知数：
若$m=1$，代入得y的系数为$m+1=2≠0$，x的系数为$m+2=3≠0$，此时方程含x、y两个未知数，属于二元一次方程，不符合要求；
若$m=-1$，代入得y的系数为$m+1=0$，x的系数为$m+2=1≠0$，此时方程化简为$x=2$，仅含x一个未知数，且是一次整式方程，符合要求。
因此$m=-1$。
解方程$\frac{2x + 1}{0.3} - \frac{10x + 1}{0.6} = 1$：
1. 利用分数基本性质，将两个分数的分子分母同时乘10，把分母化为整数，得：
$\frac{20x + 10}{3} - \frac{100x + 10}{6} = 1$
2. 去分母，方程两边同时乘6，得：
$2(20x + 10) - (100x + 10) = 6$
3. 去括号，得：
$40x + 20 - 100x - 10 = 6$
4. 移项，得：
$40x - 100x = 6 - 20 + 10$
5. 合并同类项，得：
$-60x = -4$
6. 系数化为1，得：
$x = \frac{-4}{-60} = \frac{1}{15}$
【答案】
$m=-1$，$x=\dfrac{1}{15}$
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题组侧重考察一元一次方程的基础应用，判定一元一次方程时需逐一验证定义的三个条件，不要忽略多未知数的消项要求；解含小数分母的方程时，要区分分数基本性质和等式性质的应用，去分母时注意不要漏乘常数项，去括号时注意符号变化。
【难度系数】
0.7
6. 已知 $ y=1 $ 是方程 $ 2 - \frac{1}{3}(m - y) = 2y $ 的解，那么关于 $ x $ 的方程 $ m(x - 3) - 2 = m(2x - 5) $ 的解是(
A.$ m = -10 $
B.$ x = 0 $
C.$ x = \frac{4}{3} $
D.$ x = 10 $
B
)。A.$ m = -10 $
B.$ x = 0 $
C.$ x = \frac{4}{3} $
D.$ x = 10 $
答案
B
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，根据方程解的定义，将已知的解y=1代入第一个含参数m的方程，求出m的取值；第二步，把求得的m值代入第二个关于x的一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤求出x的值即可。
【解析】
1. 求参数m的值：
因为y=1是方程$2 - \frac{1}{3}(m - y) = 2y$的解，将y=1代入方程得：
$2 - \frac{1}{3}(m - 1) = 2×1$
化简得：$2 - \frac{1}{3}(m - 1) = 2$
两边同时减2得：$-\frac{1}{3}(m - 1) = 0$
两边同乘-3得：$m - 1 = 0$，解得$m=1$。
2. 解关于x的方程：
将$m=1$代入方程$m(x - 3) - 2 = m(2x - 5)$得：
$1×(x - 3) - 2 = 1×(2x - 5)$
去括号得：$x - 3 - 2 = 2x - 5$
合并同类项得：$x - 5 = 2x - 5$
移项得：$x - 2x = -5 + 5$
合并同类项得：$-x = 0$
系数化为1得：$x=0$。
【答案】
B
【知识点】
方程的解的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题是一元一次方程的常规基础题型，核心考查方程解的应用，先通过代入已知解求出参数，再代入解目标方程，熟练掌握一元一次方程的求解步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步，根据方程解的定义，将已知的解y=1代入第一个含参数m的方程，求出m的取值；第二步，把求得的m值代入第二个关于x的一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤求出x的值即可。
【解析】
1. 求参数m的值：
因为y=1是方程$2 - \frac{1}{3}(m - y) = 2y$的解，将y=1代入方程得：
$2 - \frac{1}{3}(m - 1) = 2×1$
化简得：$2 - \frac{1}{3}(m - 1) = 2$
两边同时减2得：$-\frac{1}{3}(m - 1) = 0$
两边同乘-3得：$m - 1 = 0$，解得$m=1$。
2. 解关于x的方程：
将$m=1$代入方程$m(x - 3) - 2 = m(2x - 5)$得：
$1×(x - 3) - 2 = 1×(2x - 5)$
去括号得：$x - 3 - 2 = 2x - 5$
合并同类项得：$x - 5 = 2x - 5$
移项得：$x - 2x = -5 + 5$
合并同类项得：$-x = 0$
系数化为1得：$x=0$。
【答案】
B
【知识点】
方程的解的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题是一元一次方程的常规基础题型，核心考查方程解的应用，先通过代入已知解求出参数，再代入解目标方程，熟练掌握一元一次方程的求解步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.8
7.当x=
5
时，代数式7-3(9-x)与5(x-4)的值互为相反数。答案
5
解析
【分析】
首先回忆相反数的性质：互为相反数的两个数的和为0。我们可以根据这个性质，将题目中两个代数式相加等于0，列出关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解，就能得到x的取值。
【解析】
因为代数式7-3(9-x)与5(x-4)的值互为相反数，根据互为相反数的两数之和为0，可列方程：
$7 - 3(9 - x) + 5(x - 4) = 0$
去括号得：
$7 - 27 + 3x + 5x - 20 = 0$
合并同类项得：
$8x - 40 = 0$
移项得：
$8x = 40$
系数化为1得：
$x = 5$
【答案】
5
【知识点】
相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题考查相反数性质的应用及一元一次方程的解法，解题的关键是根据相反数的性质正确列出方程，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
首先回忆相反数的性质：互为相反数的两个数的和为0。我们可以根据这个性质，将题目中两个代数式相加等于0，列出关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解，就能得到x的取值。
【解析】
因为代数式7-3(9-x)与5(x-4)的值互为相反数，根据互为相反数的两数之和为0，可列方程：
$7 - 3(9 - x) + 5(x - 4) = 0$
去括号得：
$7 - 27 + 3x + 5x - 20 = 0$
合并同类项得：
$8x - 40 = 0$
移项得：
$8x = 40$
系数化为1得：
$x = 5$
【答案】
5
【知识点】
相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题考查相反数性质的应用及一元一次方程的解法，解题的关键是根据相反数的性质正确列出方程，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
8.解方程：
(1)$8 - 2x = 2(2x + 1);$
(2)$\frac{1.5x -1}{3} - \frac{x}{0.6}=0.5$。
(1)$8 - 2x = 2(2x + 1);$
(2)$\frac{1.5x -1}{3} - \frac{x}{0.6}=0.5$。
答案
8.(1)$x=1$ (2)$x=-\dfrac{5}{7}$
解析
【分析】
这两道题均为一元一次方程求解，遵循一元一次方程的常规解题思路即可：
(1)题含有括号，第一步先去括号，注意括号前的系数要乘括号内的每一项；再将含未知数的项移到等号一侧，常数项移到另一侧，移项记得变号；之后合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到解。
(2)题含有小数分母，首先利用分数的基本性质将小数分母转化为整数分母，再去分母，去分母时注意等号两边的每一项都要乘分母的最小公倍数，避免漏乘常数项；后续按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算即可。
【解析】
(1) 解方程$8 - 2x = 2(2x + 1)$
第一步：去括号，得：
$8 - 2x = 4x + 2$
第二步：移项，得：
$-2x - 4x = 2 - 8$
第三步：合并同类项，得：
$-6x = -6$
第四步：系数化为1，两边同时除以$-6$，得：
$x = 1$
(2) 解方程$\frac{1.5x -1}{3} - \frac{x}{0.6}=0.5$
第一步：利用分数基本性质将小数分母化为整数，$\frac{x}{0.6}=\frac{10x}{6}=\frac{5x}{3}$，原方程变形为：
$\frac{1.5x -1}{3} - \frac{5x}{3}=0.5$
第二步：去分母，两边同时乘3，得：
$1.5x - 1 - 5x = 1.5$
第三步：移项，得：
$1.5x - 5x = 1.5 + 1$
第四步：合并同类项，得：
$-3.5x = 2.5$
第五步：系数化为1，两边同时除以$-3.5$，化简得：
$x = -\frac{5}{7}$
【答案】
(1)$x=1$；(2)$x=-\dfrac{5}{7}$
【知识点】
一元一次方程的解法，去括号法则，分数的基本性质
【点评】
本题是一元一次方程求解的常规基础题型，重点考察一元一次方程的标准解题步骤，易错点为去括号时漏乘括号内的项、移项忘记变号、去分母时常数项漏乘公倍数，计算时注意核对符号和运算准确性即可。
【难度系数】
0.7
这两道题均为一元一次方程求解，遵循一元一次方程的常规解题思路即可：
(1)题含有括号，第一步先去括号，注意括号前的系数要乘括号内的每一项；再将含未知数的项移到等号一侧，常数项移到另一侧，移项记得变号；之后合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到解。
(2)题含有小数分母，首先利用分数的基本性质将小数分母转化为整数分母，再去分母，去分母时注意等号两边的每一项都要乘分母的最小公倍数，避免漏乘常数项；后续按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算即可。
【解析】
(1) 解方程$8 - 2x = 2(2x + 1)$
第一步：去括号，得：
$8 - 2x = 4x + 2$
第二步：移项，得：
$-2x - 4x = 2 - 8$
第三步：合并同类项，得：
$-6x = -6$
第四步：系数化为1，两边同时除以$-6$，得：
$x = 1$
(2) 解方程$\frac{1.5x -1}{3} - \frac{x}{0.6}=0.5$
第一步：利用分数基本性质将小数分母化为整数，$\frac{x}{0.6}=\frac{10x}{6}=\frac{5x}{3}$，原方程变形为：
$\frac{1.5x -1}{3} - \frac{5x}{3}=0.5$
第二步：去分母，两边同时乘3，得：
$1.5x - 1 - 5x = 1.5$
第三步：移项，得：
$1.5x - 5x = 1.5 + 1$
第四步：合并同类项，得：
$-3.5x = 2.5$
第五步：系数化为1，两边同时除以$-3.5$，化简得：
$x = -\frac{5}{7}$
【答案】
(1)$x=1$；(2)$x=-\dfrac{5}{7}$
【知识点】
一元一次方程的解法，去括号法则，分数的基本性质
【点评】
本题是一元一次方程求解的常规基础题型，重点考察一元一次方程的标准解题步骤，易错点为去括号时漏乘括号内的项、移项忘记变号、去分母时常数项漏乘公倍数，计算时注意核对符号和运算准确性即可。
【难度系数】
0.7
