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| 变式训练1 | 如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，AE＝CF。求证：四边形EBFD是平行四边形。
答案
证明:连接DE,连接BD交AC于点O，
∵AE=CF,
∴AF=CE。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD。
∵AF=EC，
∴AF-OA=EC-OC，
即OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形。
解析
【分析】
要证明四边形EBFD是平行四边形，可结合已知条件选择合适的判定方法：题目给出了平行四边形ABCD，且E、F在其对角线AC上，因此优先选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定方法。首先作辅助线连接BD，交AC于点O，先利用平行四边形的性质得到OA=OC、OB=OD，再结合已知AE=CF，通过等式的性质推导得出OE=OF，即可得到四边形EBFD的对角线互相平分，进而证明结论。
【解析】
证明：连接DE，连接BD交AC于点O，
∵AE=CF，
∴AF=CE。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD。
∵AF=EC，
∴AF - OA = EC - OC，
即OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形。
【答案】
证明:连接DE,连接BD交AC于点O，
∵AE=CF,
∴AF=CE。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD。
∵AF=EC，
∴AF-OA=EC-OC，
即OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形的判定，等式的性质
【点评】
本题属于平行四边形性质与判定的基础综合题，解题核心是根据题干特征选择合适的判定定理，合理构造辅助线，借助对角线的数量关系完成证明，能有效考查学生对平行四边形相关定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
要证明四边形EBFD是平行四边形，可结合已知条件选择合适的判定方法：题目给出了平行四边形ABCD，且E、F在其对角线AC上，因此优先选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定方法。首先作辅助线连接BD，交AC于点O，先利用平行四边形的性质得到OA=OC、OB=OD，再结合已知AE=CF，通过等式的性质推导得出OE=OF，即可得到四边形EBFD的对角线互相平分，进而证明结论。
【解析】
证明：连接DE，连接BD交AC于点O，
∵AE=CF，
∴AF=CE。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD。
∵AF=EC，
∴AF - OA = EC - OC，
即OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形。
【答案】
证明:连接DE,连接BD交AC于点O，
∵AE=CF,
∴AF=CE。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD。
∵AF=EC，
∴AF-OA=EC-OC，
即OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形的判定，等式的性质
【点评】
本题属于平行四边形性质与判定的基础综合题，解题核心是根据题干特征选择合适的判定定理，合理构造辅助线，借助对角线的数量关系完成证明，能有效考查学生对平行四边形相关定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
例2 如图所示，四边形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，EF⊥CD于点F，CD=6，EF=5，求四边形ABCD的面积。
[点拨] 过点E作PQ//DC交BC于点P，交DA的延长线于点Q，证明四边形DQPC是平行四边形，进而得平行四边形DQPC的面积30，再证明△AEQ和△BEP全等得$S_{△ AEQ} = S_{△ BEP}$，据此可得四边形ABCD的面积等于平行四边形DQPC的面积为30。
[解] 如图所示，过点E作PQ//DC交BC于点P，交DA的延长线于点Q。
∵AD//BC，
∴DQ//CP。
又∵PQ//DC，
∴四边形DQPC是平行四边形。
∵EF⊥CD于点F，CD＝6，EF＝5，
∴平行四边形DQPC的面积为$CD × EF = 6 × 5 = 30$。
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE。
∵AD//BC，
∴∠Q＝∠EPB，∠QAE＝∠B。
在△AEQ和△BEP中，
$\{\begin{array}{l}∠ Q=∠ EPB,\\ ∠ QAE=∠ B,\\ AE=BE,\end{array} $
∴△AEQ≌△BEP(AAS)，
∴$S_{△ AEQ} = S_{△ BEP}$。
∴四边形ABCD的面积＝$S_{□ DQPC} = 30$。
[点拨] 过点E作PQ//DC交BC于点P，交DA的延长线于点Q，证明四边形DQPC是平行四边形，进而得平行四边形DQPC的面积30，再证明△AEQ和△BEP全等得$S_{△ AEQ} = S_{△ BEP}$，据此可得四边形ABCD的面积等于平行四边形DQPC的面积为30。
[解] 如图所示，过点E作PQ//DC交BC于点P，交DA的延长线于点Q。
∵AD//BC，
∴DQ//CP。
又∵PQ//DC，
∴四边形DQPC是平行四边形。
∵EF⊥CD于点F，CD＝6，EF＝5，
∴平行四边形DQPC的面积为$CD × EF = 6 × 5 = 30$。
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE。
∵AD//BC，
∴∠Q＝∠EPB，∠QAE＝∠B。
在△AEQ和△BEP中，
$\{\begin{array}{l}∠ Q=∠ EPB,\\ ∠ QAE=∠ B,\\ AE=BE,\end{array} $
∴△AEQ≌△BEP(AAS)，
∴$S_{△ AEQ} = S_{△ BEP}$。
∴四边形ABCD的面积＝$S_{□ DQPC} = 30$。
答案
解：
过点E作PQ//DC交BC于点P，交DA的延长线于点Q。
∵AD//BC，
∴DQ//CP。
又∵PQ//DC，
∴四边形DQPC是平行四边形。
∵EF⊥CD于点F，CD=6，EF=5，
∴平行四边形DQPC的面积为$CD × EF = 6 × 5 = 30$。
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE。
∵AD//BC，
∴∠Q=∠EPB，∠QAE=∠B。
在△AEQ和△BEP中，
$\begin{cases}∠Q=∠EPB, \\∠QAE=∠B, \\AE=BE,\end{cases}$
∴△AEQ≌△BEP(AAS)，
∴$S_{△ AEQ}=S_{△ BEP}$。
∴四边形ABCD的面积$=S_{□ DQPC}=30$。
答：四边形ABCD的面积为30。
过点E作PQ//DC交BC于点P，交DA的延长线于点Q。
∵AD//BC，
∴DQ//CP。
又∵PQ//DC，
∴四边形DQPC是平行四边形。
∵EF⊥CD于点F，CD=6，EF=5，
∴平行四边形DQPC的面积为$CD × EF = 6 × 5 = 30$。
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE。
∵AD//BC，
∴∠Q=∠EPB，∠QAE=∠B。
在△AEQ和△BEP中，
$\begin{cases}∠Q=∠EPB, \\∠QAE=∠B, \\AE=BE,\end{cases}$
∴△AEQ≌△BEP(AAS)，
∴$S_{△ AEQ}=S_{△ BEP}$。
∴四边形ABCD的面积$=S_{□ DQPC}=30$。
答：四边形ABCD的面积为30。
解析
【分析】
本题直接通过常规四边形面积公式求解缺少必要条件，因此采用割补转化的思路求解：第一步，过E作CD的平行线，分别交DA延长线和BC于Q、P，结合AD//BC的条件可证四边形DQPC是平行四边形，其面积可直接用底CD乘高EF计算；第二步，利用E是AB中点、AD//BC的条件，通过AAS证明△AEQ和△BEP全等，得到两个三角形面积相等；第三步，通过面积的等量替换，可知四边形ABCD的面积等于平行四边形DQPC的面积。
【解析】
过点E作PQ//DC交BC于点P，交DA的延长线于点Q。
∵AD//BC，
∴DQ//CP。
又
∵PQ//DC，
∴四边形DQPC是平行四边形。
∵EF⊥CD于点F，CD=6，EF=5，
∴平行四边形DQPC的面积为$CD × EF = 6 × 5 = 30$。
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE。
∵AD//BC，
∴∠Q=∠EPB，∠QAE=∠B。
在△AEQ和△BEP中，
$\begin{cases}∠Q=∠EPB, \\∠QAE=∠B, \\AE=BE,\end{cases}$
∴△AEQ≌△BEP(AAS)，
∴$S_{△ AEQ}=S_{△ BEP}$。
∴四边形ABCD的面积$=S_{□ DQPC}=30$。
【答案】
30
【知识点】
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定（AAS）；割补法求面积
【点评】
本题核心考查转化思想在几何面积计算中的应用，通过构造辅助线将不规则四边形的面积转化为规则平行四边形的面积，结合中点和平行线的性质证明全等实现面积的等量代换，解题的关键是合理构造辅助线，建立已知线段和待求面积之间的关联。
【难度系数】
0.6
本题直接通过常规四边形面积公式求解缺少必要条件，因此采用割补转化的思路求解：第一步，过E作CD的平行线，分别交DA延长线和BC于Q、P，结合AD//BC的条件可证四边形DQPC是平行四边形，其面积可直接用底CD乘高EF计算；第二步，利用E是AB中点、AD//BC的条件，通过AAS证明△AEQ和△BEP全等，得到两个三角形面积相等；第三步，通过面积的等量替换，可知四边形ABCD的面积等于平行四边形DQPC的面积。
【解析】
过点E作PQ//DC交BC于点P，交DA的延长线于点Q。
∵AD//BC，
∴DQ//CP。
又
∵PQ//DC，
∴四边形DQPC是平行四边形。
∵EF⊥CD于点F，CD=6，EF=5，
∴平行四边形DQPC的面积为$CD × EF = 6 × 5 = 30$。
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE。
∵AD//BC，
∴∠Q=∠EPB，∠QAE=∠B。
在△AEQ和△BEP中，
$\begin{cases}∠Q=∠EPB, \\∠QAE=∠B, \\AE=BE,\end{cases}$
∴△AEQ≌△BEP(AAS)，
∴$S_{△ AEQ}=S_{△ BEP}$。
∴四边形ABCD的面积$=S_{□ DQPC}=30$。
【答案】
30
【知识点】
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定（AAS）；割补法求面积
【点评】
本题核心考查转化思想在几何面积计算中的应用，通过构造辅助线将不规则四边形的面积转化为规则平行四边形的面积，结合中点和平行线的性质证明全等实现面积的等量代换，解题的关键是合理构造辅助线，建立已知线段和待求面积之间的关联。
【难度系数】
0.6
|变式训练2| 如图所示，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD。若AD+BC=4√2 cm，BD=4 cm，求四边形ABCD的面积。
答案
解:过D作DE//AC交BC的延长线于E,过D作DH⊥BC于H。
∵AD//BC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE,DE=AC=BD。
∵AC⊥BD，
∴BD⊥DE，
∴△DBE是等腰直角三角形，
∴DH=1/2 BE=1/2 (AD+BC)=2√2 cm，
∴四边形ABCD的面积=S△DBE=1/2 ×4√2 ×2√2=8(cm²)。
解析
【分析】
本题中四边形ABCD是AD//BC、AB=CD的等腰梯形，已知对角线互相垂直，上下底之和为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，要求梯形面积。我们已知梯形面积公式为$(\mathrm{上底}+\mathrm{下底})×\mathrm{高}÷2$，因此核心是求出梯形的高。对于对角线存在垂直关系的梯形，平移对角线是常用的辅助线技巧：我们可以平移其中一条对角线，将上下底的和转化为新三角形的底边长度，同时将对角线垂直的条件转化为新三角形的内角为直角，结合等腰梯形对角线相等的性质，可得到一个等腰直角三角形，该三角形斜边上的高就等于梯形的高，且梯形面积与这个等腰直角三角形的面积相等，进而可求解。
【解析】
过D作DE//AC交BC的延长线于E，过D作DH⊥BC于H。
∵AD//BC，DE//AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴$AD=CE$，$DE=AC$。
∵四边形ABCD为等腰梯形（$AD// BC$，$AB=CD$），
∴$AC=BD$，
∴$DE=BD$。
∵$AC⊥ BD$，$DE// AC$，
∴$BD⊥ DE$，即$∠ BDE=90°$，
∴$△ DBE$是等腰直角三角形。
∵$DH⊥ BE$，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，
∴$DH=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}(BC+CE)=\frac{1}{2}(BC+AD)$，
代入$AD+BC=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，得$DH=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
梯形ABCD的面积$=\frac{1}{2}×(AD+BC)× DH$，
又
∵$BE=BC+CE=BC+AD$，
∴$S_{△ DBE}=\frac{1}{2}× BE× DH=\frac{1}{2}×(AD+BC)× DH$，
因此四边形ABCD的面积等于$△ DBE$的面积，
∴$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×2\sqrt{2}=8(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$8\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
等腰梯形的性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是梯形对角线相关问题的典型考题，重点考查平移对角线的辅助线作法，通过平移将梯形面积转化为特殊三角形的面积求解，大大降低了计算难度，同学们要熟练掌握这种辅助线的使用场景。
【难度系数】
0.6
本题中四边形ABCD是AD//BC、AB=CD的等腰梯形，已知对角线互相垂直，上下底之和为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，要求梯形面积。我们已知梯形面积公式为$(\mathrm{上底}+\mathrm{下底})×\mathrm{高}÷2$，因此核心是求出梯形的高。对于对角线存在垂直关系的梯形，平移对角线是常用的辅助线技巧：我们可以平移其中一条对角线，将上下底的和转化为新三角形的底边长度，同时将对角线垂直的条件转化为新三角形的内角为直角，结合等腰梯形对角线相等的性质，可得到一个等腰直角三角形，该三角形斜边上的高就等于梯形的高，且梯形面积与这个等腰直角三角形的面积相等，进而可求解。
【解析】
过D作DE//AC交BC的延长线于E，过D作DH⊥BC于H。
∵AD//BC，DE//AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴$AD=CE$，$DE=AC$。
∵四边形ABCD为等腰梯形（$AD// BC$，$AB=CD$），
∴$AC=BD$，
∴$DE=BD$。
∵$AC⊥ BD$，$DE// AC$，
∴$BD⊥ DE$，即$∠ BDE=90°$，
∴$△ DBE$是等腰直角三角形。
∵$DH⊥ BE$，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，
∴$DH=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}(BC+CE)=\frac{1}{2}(BC+AD)$，
代入$AD+BC=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，得$DH=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
梯形ABCD的面积$=\frac{1}{2}×(AD+BC)× DH$，
又
∵$BE=BC+CE=BC+AD$，
∴$S_{△ DBE}=\frac{1}{2}× BE× DH=\frac{1}{2}×(AD+BC)× DH$，
因此四边形ABCD的面积等于$△ DBE$的面积，
∴$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×2\sqrt{2}=8(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$8\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
等腰梯形的性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是梯形对角线相关问题的典型考题，重点考查平移对角线的辅助线作法，通过平移将梯形面积转化为特殊三角形的面积求解，大大降低了计算难度，同学们要熟练掌握这种辅助线的使用场景。
【难度系数】
0.6
