知识点 分式混合运算的顺序
分式混合运算的顺序是先算，再算，再算；如果有括号的，先算。

分式混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号的，先算括号内的。

【分析】
这道题是对分式混合运算顺序的直接考查，我们可以联系之前学过的有理数混合运算的顺序来推导记忆：分式的运算规则和有理数的运算规则是相通的，运算优先级从高到低依次为乘方、乘除、加减，有括号时括号内的运算优先，按照这个优先级顺序就能对应填出空缺内容。
【解析】
分式混合运算的顺序和有理数混合运算顺序保持一致：
1. 无括号时，按照优先级从高到低计算：先算乘方运算，再算乘除运算，最后算加减运算；
2. 若式子中含有括号，优先计算括号内部的运算，再计算括号外的运算。
【答案】
乘方，乘除，加减，括号内的
【知识点】
1. 分式混合运算顺序 2. 运算优先级
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考察对分式运算基础规则的掌握情况，牢记运算顺序即可得分，该知识点是分式化简、求值类题目的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9

例1 计算：$(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}) ÷ \frac{2}{1-x}$。
[点拨] 先算括号内的减法，并把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则计算。
[解] 原式
$=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)} · \frac{-(x-1)}{2}$
$=\frac{-2}{(x+1)(x-1)} · \frac{-(x-1)}{2}$
$=\frac{1}{x+1}$。

解：原式
$=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)} · \frac{-(x-1)}{2}$
$=\frac{-2}{(x+1)(x-1)} · \frac{-(x-1)}{2}$
$=\frac{1}{x+1}$

【分析】
本题是分式混合运算题，遵循分式运算顺序求解：第一步先算括号内的异分母分式减法，找到最简公分母$(x+1)(x-1)$通分后计算分子；第二步将除法转化为乘法，注意$1-x$与$x-1$互为相反数，可将$\frac{1-x}{2}$变形为$\frac{-(x-1)}{2}$方便后续约分；第三步按照分式乘法法则约分计算，全程注意符号变化避免出错。
【解析】
先计算括号内异分母分式的减法，再将除法转化为乘法，最后约分计算：
原式
$=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)} · \frac{-(x-1)}{2}$
$=\frac{-2}{(x+1)(x-1)} · \frac{-(x-1)}{2}$
约去分子分母的公因式2和$(x-1)$，计算符号后得：
$=\frac{1}{x+1}$
【答案】
$\frac{1}{x+1}$
【知识点】
1.分式混合运算 2.异分母分式减法 3.分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式运算的顺序和运算法则，解题时需注意互为相反数的多项式变形时的符号变化，这是此类题的常见易错点。
【难度系数】
0.7

变式训练1 | 化简：
$( \dfrac{x+2}{x^2 - 2x} - \dfrac{x-1}{x^2 - 4x + 4} ) ÷ \dfrac{4 - x}{x} = \_\_\_\_\_\_。$

$-\dfrac{1}{(x-2)^2}$

【分析】
这是分式的混合运算题，解题遵循“先括号内，后括号外”的运算顺序：第一步先对各分式的分母因式分解，便于后续找最简公分母通分和约分；第二步计算括号内的分式减法，先通分转化为同分母分式，再对分子相减、化简；第三步将括号外的除法转化为乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），注意处理互为相反数的因式的符号，最后约分得到最简结果即可。
【解析】
解：先对各分母因式分解：
$x^2-2x=x(x-2)$，$x^2-4x+4=(x-2)^2$，则：
$\begin{aligned}原式&=[ \dfrac{x+2}{x(x-2)} - \dfrac{x-1}{(x-2)^2} ] ÷ \dfrac{4-x}{x} \\&=[ \dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)^2} - \dfrac{x(x-1)}{x(x-2)^2} ] × \dfrac{x}{4-x} \\&=\dfrac{(x^2-4)-(x^2-x)}{x(x-2)^2} × \dfrac{x}{4-x} \\&=\dfrac{x-4}{x(x-2)^2} × \dfrac{x}{-(x-4)} \\&=-\dfrac{1}{(x-2)^2}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{1}{(x-2)^2}$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；分式的通分与约分
【点评】
本题属于分式运算的基础常考题，核心考查分式运算的顺序、通分约分的规则以及符号处理，计算时需要注意因式分解要正确，遇到互为相反数的因式转化时不要漏写负号，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7

例2 计算：

[点拨] 根据分式的混合运算顺序和运算法则计算即可。
[解] 原式

= $\frac{(a+3)(a-3)}{a-2} · \frac{a-2}{(a-3)^2}$
= $\frac{a+3}{a-3}$

解：
原式$=[\frac{(a+2)(a-2)}{a-2}-\frac{5}{a-2}] ÷ \frac{a^2-6a+9}{a-2}$
$=\frac{(a+2)(a-2)-5}{a-2} · \frac{a-2}{a^2-6a+9}$
$=\frac{a^2-4-5}{a-2} · \frac{a-2}{(a-3)^2}$
$=\frac{a^2-9}{a-2} · \frac{a-2}{(a-3)^2}$
$=\frac{(a+3)(a-3)}{a-2} · \frac{a-2}{(a-3)^2}$
$=\frac{a+3}{a-3}$

【分析】
这是一道分式混合运算题，解题可按照以下思路展开：第一步先处理括号内的运算，将整式$a+2$通分转化为分母为$a-2$的分式，再与$\frac{5}{a-2}$相减，合并为单个分式；第二步根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，即乘以除式的倒数；第三步对分子、分母中的多项式进行因式分解，$a^2-9$利用平方差公式分解，$a^2-6a+9$利用完全平方公式分解；第四步约去分子分母的公因式，化简得到最终结果。
【解析】
原式$=( \frac{(a+2)(a-2)}{a-2} - \frac{5}{a-2} ) ÷ \frac{a^2-6a+9}{a-2}$
$=\frac{(a+2)(a-2)-5}{a-2} · \frac{a-2}{a^2-6a+9}$
$=\frac{a^2-4-5}{a-2} · \frac{a-2}{(a-3)^2}$
$=\frac{a^2-9}{a-2} · \frac{a-2}{(a-3)^2}$
$=\frac{(a+3)(a-3)}{a-2} · \frac{a-2}{(a-3)^2}$
$=\frac{a+3}{a-3}$
【答案】
$\frac{a+3}{a-3}$
【知识点】
1.分式的混合运算 2.因式分解 3.分式的约分
【点评】
本题是分式运算的常规题型，重点考查分式运算的顺序和运算法则，解题时需注意通分的正确性、因式分解的准确性，约分时要确保分子分母的公因式全部约去，计算过程中注意避免符号错误。
【难度系数】
0.7

| 变式训练2 | 化简$\frac{1}{x+1} - x + 1$的结果是（）

A.$-\frac{x^2}{x+1}$
B.$-\frac{x^2 + 2x}{x+1}$
C.$2 - x^2$
D.$\frac{2 - x^2}{x+1}$

D

【分析】
本题是分式与整式的加减化简题，解题思路如下：第一步，先明确异分母分式加减需要先通分，可将整式部分视为分母为1的分式；第二步，确定最简公分母为$x+1$，将两项通分为同分母分式；第三步，按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，计算时注意去括号的符号规则，最后合并同类项得到化简结果，对比选项即可。
【解析】
解：对原式通分，最简公分母为$x+1$，则：
$\begin{aligned}\frac{1}{x+1} - x + 1&=\frac{1}{x+1} - (x - 1)\\&=\frac{1}{x+1} - \frac{(x - 1)(x + 1)}{x+1}\\&=\frac{1 - (x^2 - 1)}{x+1}\\&=\frac{1 - x^2 + 1}{x+1}\\&=\frac{2 - x^2}{x+1}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、通分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查通分规则和去括号的符号处理，解题时容易在将整式变形通分、去括号时出现符号错误，需注意运算的严谨性。
【难度系数】
0.7

例3 $A=(a+1-\frac{3}{a-1})÷\frac{a^2-4a+4}{a-1}$。
(1)化简分式A；
(2)把分式A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B，当$a＞2$时，分式B的值与分式A的值相比，是变大了还是变小了？请说明理由。
[点拨] (1)根据分式的混合运算顺序和运算法则进行计算。
(2)先根据分式A的化简结果求出分式B，再用作差法进行比较。
[解] (1)$A=\frac{a^2-4}{a-1}·\frac{a-1}{(a-2)^2}$
$=\frac{a+2}{a-2}$。
(2)由$A=\frac{a+2}{a-2}$，得$B=\frac{a+5}{a+1}$，
$\therefore A-B=\frac{a+2}{a-2}-\frac{a+5}{a+1}$
$=\frac{(a+2)(a+1)-(a+5)(a-2)}{(a-2)(a+1)}$
$=\frac{12}{(a-2)(a+1)}$。
$\because a＞2,\therefore A-B＞0,\therefore A＞B$。
$\therefore$分式B的值与分式A的值相比，变小了。

解：
(1) 化简分式A：
$\begin{aligned}A&=(\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}-\frac{3}{a-1})÷\frac{a^2-4a+4}{a-1}\\&=\frac{a^2-1-3}{a-1}·\frac{a-1}{(a-2)^2}\\&=\frac{a^2-4}{a-1}·\frac{a-1}{(a-2)^2}\\&=\frac{(a+2)(a-2)}{(a-2)^2}\\&=\frac{a+2}{a-2}\end{aligned}$
(2) 分式B的值比分式A的值小，理由如下：
由$A=\frac{a+2}{a-2}$，根据题意得$B=\frac{a+2+3}{a-2+3}=\frac{a+5}{a+1}$。
$\begin{aligned}A-B&=\frac{a+2}{a-2}-\frac{a+5}{a+1}\\&=\frac{(a+2)(a+1)-(a+5)(a-2)}{(a-2)(a+1)}\\&=\frac{a^2+3a+2 -a^2 +2a +10}{(a-2)(a+1)}\\&=\frac{12}{(a-2)(a+1)}\end{aligned}$
$\because a＞2$，
$\therefore a-2＞0$，$a+1＞0$，
$\therefore \frac{12}{(a-2)(a+1)}＞0$，即$A-B＞0$，
$\therefore A＞B$，
$\therefore$ 分式B的值与分式A的值相比，变小了。

【分析】
(1) 化简分式A时，先将括号内的a+1通分，化为分母为a-1的分式，与括号内的另一个分式相减后，再把除法运算转化为乘法运算，对分子、分母分别因式分解后约分，即可得到A的最简形式。(2) 比较A和B的大小，先按照题意写出B的表达式，再采用作差法计算A-B的值，结合a＞2的取值范围判断A-B的正负性，即可得到两个分式的大小关系。
【解析】
(1) 化简分式A：
$\begin{aligned}A&=(\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}-\frac{3}{a-1})÷\frac{a^2-4a+4}{a-1}\\&=\frac{a^2-1-3}{a-1}·\frac{a-1}{(a-2)^2}\\&=\frac{a^2-4}{a-1}·\frac{a-1}{(a-2)^2}\\&=\frac{(a+2)(a-2)}{(a-2)^2}\\&=\frac{a+2}{a-2}\end{aligned}$
(2) 分式B的值比分式A的值小，理由如下：
由$A=\frac{a+2}{a-2}$，根据题意得$B=\frac{a+2+3}{a-2+3}=\frac{a+5}{a+1}$。
$\begin{aligned}A-B&=\frac{a+2}{a-2}-\frac{a+5}{a+1}\\&=\frac{(a+2)(a+1)-(a+5)(a-2)}{(a-2)(a+1)}\\&=\frac{a^2+3a+2 -a^2 +2a +10}{(a-2)(a+1)}\\&=\frac{12}{(a-2)(a+1)}\end{aligned}$
$\because a＞2$，
$\therefore a-2＞0$，$a+1＞0$，
$\therefore \frac{12}{(a-2)(a+1)}＞0$，即$A-B＞0$，
$\therefore A＞B$，即分式B的值与A相比变小了。
【答案】
(1) $\boldsymbol{A=\dfrac{a+2}{a-2}}$；(2) 变小了
【知识点】
分式的混合运算，作差法比较大小，因式分解
【点评】
本题考查分式运算的基础应用，第一问需要熟练掌握分式通分、约分的规则和混合运算顺序，第二问的作差法是代数式比较大小的常用方法，计算过程中要注意多项式乘法的符号处理，结合给定的取值范围判断差的正负即可得出结论。
【难度系数】
0.7