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对比练习一 填一填。
如图，在长方形内截取一个最大的正方形。
1. $a - b$表示(
2. $2(a + b)$表示(
3. $(a - b)b$表示(
如图，在长方形内截取一个最大的正方形。
1. $a - b$表示(
剩下的小长方形的长
)。2. $2(a + b)$表示(
原来大长方形的周长
)。3. $(a - b)b$表示(
剩下小长方形的面积
)。答案
1. 剩下的小长方形的长
2. 原来大长方形的周长
3. 剩下小长方形的面积
2. 原来大长方形的周长
3. 剩下小长方形的面积
解析
【分析】
解题时首先观察图形明确已知量：原大长方形的长为a，宽为b。在长方形中截取最大的正方形时，正方形的边长等于长方形的宽b，截取后剩下的图形是小长方形。接下来结合长方形的周长、面积公式，对应分析每个式子表示的含义即可。
【解析】
1. 截取的最大正方形边长为b，剩下小长方形的长等于原大长方形的长减去正方形的边长，因此$a-b$表示剩下的小长方形的长。
2. 根据长方形周长公式：$\mathrm{周长}=(\mathrm{长}+\mathrm{宽})×2$，原大长方形长为a、宽为b，因此$2(a + b)$表示原来大长方形的周长。
3. 剩下的小长方形的长为$a-b$，宽为b，根据长方形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，因此$(a - b)b$表示剩下小长方形的面积。
【答案】
1. 剩下的小长方形的长
2. 原来大长方形的周长
3. 剩下小长方形的面积
【知识点】
用字母表示数、长方形的周长、长方形的面积
【点评】
本题结合几何图形考查用字母表示数量关系的应用，解题的关键是明确长方形内最大正方形的边长等于原长方形的宽，再结合常见的周长、面积公式即可判断式子的含义。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形明确已知量：原大长方形的长为a，宽为b。在长方形中截取最大的正方形时，正方形的边长等于长方形的宽b，截取后剩下的图形是小长方形。接下来结合长方形的周长、面积公式，对应分析每个式子表示的含义即可。
【解析】
1. 截取的最大正方形边长为b，剩下小长方形的长等于原大长方形的长减去正方形的边长，因此$a-b$表示剩下的小长方形的长。
2. 根据长方形周长公式：$\mathrm{周长}=(\mathrm{长}+\mathrm{宽})×2$，原大长方形长为a、宽为b，因此$2(a + b)$表示原来大长方形的周长。
3. 剩下的小长方形的长为$a-b$，宽为b，根据长方形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，因此$(a - b)b$表示剩下小长方形的面积。
【答案】
1. 剩下的小长方形的长
2. 原来大长方形的周长
3. 剩下小长方形的面积
【知识点】
用字母表示数、长方形的周长、长方形的面积
【点评】
本题结合几何图形考查用字母表示数量关系的应用，解题的关键是明确长方形内最大正方形的边长等于原长方形的宽，再结合常见的周长、面积公式即可判断式子的含义。
【难度系数】
0.8
1.在日历表中用右边的图形框出三个数，中间的数用a表示，那么这三个数的和是（
A.$3a$
B.$3a-6$
C.$3a+6$
D.$3a+15$
A
）。A.$3a$
B.$3a-6$
C.$3a+6$
D.$3a+15$
答案
1. A
解析
【分析】首先我们要明确日历表的数字规律：同一行里左右相邻的两个数相差1，右边的数比左边大1；同一列里上下相邻的两个数相差7，下面的数比上面大7。接下来观察题中的框形，三个数分别在左上角、中间、右下角，我们可以根据日历规律用a表示出另外两个数，再把三个数相加化简就能得到结果。
【解析】根据日历的数字规律推导：
1. 左上角的数：比中间的数a往上少7，往左少1，因此是$a-7-1=a-8$；
2. 右下角的数：比中间的数a往下多7，往右多1，因此是$a+7+1=a+8$；
3. 计算三个数的和：
$\begin{split}&(a-8)+a+(a+8)\\=&a-8+a+a+8\\=&3a\end{split}$
因此选A选项。
【答案】A
【知识点】日历数字规律，用字母表示数，代数式化简
【点评】本题属于规律应用类题型，解题核心是掌握日历中相邻数的差值规律，结合图形确定三个数的表达式，再通过简单的代数式加减运算即可得到结果。
【难度系数】0.7
【解析】根据日历的数字规律推导：
1. 左上角的数：比中间的数a往上少7，往左少1，因此是$a-7-1=a-8$；
2. 右下角的数：比中间的数a往下多7，往右多1，因此是$a+7+1=a+8$；
3. 计算三个数的和：
$\begin{split}&(a-8)+a+(a+8)\\=&a-8+a+a+8\\=&3a\end{split}$
因此选A选项。
【答案】A
【知识点】日历数字规律，用字母表示数，代数式化简
【点评】本题属于规律应用类题型，解题核心是掌握日历中相邻数的差值规律，结合图形确定三个数的表达式，再通过简单的代数式加减运算即可得到结果。
【难度系数】0.7
2. 在日历表中框出三个日期a、b、c，它们的和是33。这三个日期在日历表中的排列方式不可能是(
a
b
c
b
a c
a
b c
a b c
B
)。a
b
c
b
a c
a
b c
a b c
答案
2. B
解析
【分析】
解决本题首先要明确日历的日期排列规律：同一行相邻的日期，右边比左边大1；同一列相邻的日期，下方比上方大7。我们可以根据每个选项的排列特点，用同一个未知数表示出三个日期，结合三数之和为33列方程求解，若解得的日期不是正整数，说明该排列方式不可能。
【解析】
我们结合日历规律逐个分析选项：
1. 分析选项A：三个数在同一列，设最上方的数为a，则中间数$b=a+7$，最下方数$c=b+7=a+14$。
根据三数和为33列方程：
$a+(a+7)+(a+14)=33$
化简得$3a+21=33$，解得$a=4$，对应$b=11$，$c=18$，都是合理的正整数日期，因此A的排列可能。
2. 分析选项B：a和c在同一行，$c=a+1$；b在c的正上方，$b=c-7=a-6$。
根据三数和为33列方程：
$a+(a-6)+(a+1)=33$
化简得$3a-5=33$，解得$a=\frac{38}{3}\approx12.67$，日期必须是正整数，该结果不符合实际，因此B的排列不可能。
3. 分析选项C：a在b的正上方，$a=b-7$；c和b在同一行，$c=b+1$。
根据三数和为33列方程：
$(b-7)+b+(b+1)=33$
化简得$3b-6=33$，解得$b=13$，对应$a=6$，$c=14$，都是合理的正整数日期，因此C的排列可能。
4. 分析选项D：三个数在同一行，设最左为a，则$b=a+1$，$c=a+2$。
根据三数和为33列方程：
$a+(a+1)+(a+2)=33$
化简得$3a+3=33$，解得$a=10$，对应$b=11$，$c=12$，都是合理的正整数日期，因此D的排列可能。
综上，排列方式不可能的是B。
【答案】
B
【知识点】
日历中的规律、用字母表示数、简易方程
【点评】
本题结合生活中日历的排列特点，考查用字母表示数和解简易方程的应用，解题的核心是抓住日历同行、同列日期的差值规律，将未知量统一后列方程验证即可。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确日历的日期排列规律：同一行相邻的日期，右边比左边大1；同一列相邻的日期，下方比上方大7。我们可以根据每个选项的排列特点，用同一个未知数表示出三个日期，结合三数之和为33列方程求解，若解得的日期不是正整数，说明该排列方式不可能。
【解析】
我们结合日历规律逐个分析选项：
1. 分析选项A：三个数在同一列，设最上方的数为a，则中间数$b=a+7$，最下方数$c=b+7=a+14$。
根据三数和为33列方程：
$a+(a+7)+(a+14)=33$
化简得$3a+21=33$，解得$a=4$，对应$b=11$，$c=18$，都是合理的正整数日期，因此A的排列可能。
2. 分析选项B：a和c在同一行，$c=a+1$；b在c的正上方，$b=c-7=a-6$。
根据三数和为33列方程：
$a+(a-6)+(a+1)=33$
化简得$3a-5=33$，解得$a=\frac{38}{3}\approx12.67$，日期必须是正整数，该结果不符合实际，因此B的排列不可能。
3. 分析选项C：a在b的正上方，$a=b-7$；c和b在同一行，$c=b+1$。
根据三数和为33列方程：
$(b-7)+b+(b+1)=33$
化简得$3b-6=33$，解得$b=13$，对应$a=6$，$c=14$，都是合理的正整数日期，因此C的排列可能。
4. 分析选项D：三个数在同一行，设最左为a，则$b=a+1$，$c=a+2$。
根据三数和为33列方程：
$a+(a+1)+(a+2)=33$
化简得$3a+3=33$，解得$a=10$，对应$b=11$，$c=12$，都是合理的正整数日期，因此D的排列可能。
综上，排列方式不可能的是B。
【答案】
B
【知识点】
日历中的规律、用字母表示数、简易方程
【点评】
本题结合生活中日历的排列特点，考查用字母表示数和解简易方程的应用，解题的核心是抓住日历同行、同列日期的差值规律，将未知量统一后列方程验证即可。
【难度系数】
0.7
1.观察下面图形的规律，回答问题。
（1）照这样摆，第$n$个图形中有()个白色正方形，有()个灰色正方形。
（2）照这样摆，第()个图形中有100个白色正方形，第()个图形中有100个灰色正方形。
（1）照这样摆，第$n$个图形中有()个白色正方形，有()个灰色正方形。
（2）照这样摆，第()个图形中有100个白色正方形，第()个图形中有100个灰色正方形。
答案
$1×1=1$
$2×2=4$
$3×3=9$
第$n$个图形白色正方形个数：$n^2$
$3×3 - 1 = 8$
$4×4 - 4 = 12$
$5×5 - 9 = 16$
第$n$个图形灰色正方形个数：$4n+4$
$n^2=100$
$n=10$
$4n+4=100$
解：$4n=96$
$n=24$
答：（1）第$n$个图形中有$n^2$个白色正方形，有$4n+4$个灰色正方形。（2）第10个图形中有100个白色正方形，第24个图形中有100个灰色正方形。
$2×2=4$
$3×3=9$
第$n$个图形白色正方形个数：$n^2$
$3×3 - 1 = 8$
$4×4 - 4 = 12$
$5×5 - 9 = 16$
第$n$个图形灰色正方形个数：$4n+4$
$n^2=100$
$n=10$
$4n+4=100$
解：$4n=96$
$n=24$
答：（1）第$n$个图形中有$n^2$个白色正方形，有$4n+4$个灰色正方形。（2）第10个图形中有100个白色正方形，第24个图形中有100个灰色正方形。
解析
【分析】
我们可以分开观察白色、灰色正方形的数量规律：①先看白色正方形：第1个图形白色个数是$1=1×1$，第2个是$4=2×2$，第3个是$9=3×3$，可知第n个图形的白色正方形个数就是序号n的平方；②再看灰色正方形：灰色数量等于大正方形总个数减去白色正方形个数，第1个大正方形边长为$1+2=3$，总个数$3×3=9$，减白色1得8；第2个大正方形边长为$2+2=4$，总个数$4×4=16$，减白色4得12；第3个大正方形边长为$3+2=5$，总个数$5×5=25$，减白色9得16，把规律用n表示化简就能得到灰色正方形的数量公式。第二问只需把100分别代入两个规律式子，解出正整数n即可。
【解析】
（1）探究白色正方形数量规律：
第1个图形白色个数：$1×1=1$
第2个图形白色个数：$2×2=4$
第3个图形白色个数：$3×3=9$
由此可得：第$n$个图形中白色正方形个数为$n^2$个。
探究灰色正方形数量规律：
第1个图形灰色个数：$3×3 - 1 = 8 = 4×1+4$
第2个图形灰色个数：$4×4 - 4 = 12 = 4×2+4$
第3个图形灰色个数：$5×5 - 9 = 16 = 4×3+4$
由此可得：第$n$个图形中灰色正方形个数为$4n+4$个。
（2）求有100个白色正方形的图形序号：
令$n^2=100$，n为正整数，解得$n=10$。
求有100个灰色正方形的图形序号：
令$4n+4=100$
解得：$4n=96$
$n=24$
【答案】
（1）$n^2$，$4n+4$；（2）10，24
【知识点】
图形找规律，用字母表示数，简易方程
【点评】
本题核心是从已知图形中归纳出数量与序号的通用规律，再代入数值求解，能很好地锻炼归纳推理能力和代数应用能力。
【难度系数】
0.7
我们可以分开观察白色、灰色正方形的数量规律：①先看白色正方形：第1个图形白色个数是$1=1×1$，第2个是$4=2×2$，第3个是$9=3×3$，可知第n个图形的白色正方形个数就是序号n的平方；②再看灰色正方形：灰色数量等于大正方形总个数减去白色正方形个数，第1个大正方形边长为$1+2=3$，总个数$3×3=9$，减白色1得8；第2个大正方形边长为$2+2=4$，总个数$4×4=16$，减白色4得12；第3个大正方形边长为$3+2=5$，总个数$5×5=25$，减白色9得16，把规律用n表示化简就能得到灰色正方形的数量公式。第二问只需把100分别代入两个规律式子，解出正整数n即可。
【解析】
（1）探究白色正方形数量规律：
第1个图形白色个数：$1×1=1$
第2个图形白色个数：$2×2=4$
第3个图形白色个数：$3×3=9$
由此可得：第$n$个图形中白色正方形个数为$n^2$个。
探究灰色正方形数量规律：
第1个图形灰色个数：$3×3 - 1 = 8 = 4×1+4$
第2个图形灰色个数：$4×4 - 4 = 12 = 4×2+4$
第3个图形灰色个数：$5×5 - 9 = 16 = 4×3+4$
由此可得：第$n$个图形中灰色正方形个数为$4n+4$个。
（2）求有100个白色正方形的图形序号：
令$n^2=100$，n为正整数，解得$n=10$。
求有100个灰色正方形的图形序号：
令$4n+4=100$
解得：$4n=96$
$n=24$
【答案】
（1）$n^2$，$4n+4$；（2）10，24
【知识点】
图形找规律，用字母表示数，简易方程
【点评】
本题核心是从已知图形中归纳出数量与序号的通用规律，再代入数值求解，能很好地锻炼归纳推理能力和代数应用能力。
【难度系数】
0.7
2.我国古代建筑的窗户常设计成“外方内圆”和“外圆内方”的样式。
（1）若图中正方形的边长为$ a $，则正方形的周长比内部小圆的周长长()。
（2）若图中正方形的边长为$ a $，则外部大圆的面积比内部小圆的面积大()。
（1）若图中正方形的边长为$ a $，则正方形的周长比内部小圆的周长长()。
（2）若图中正方形的边长为$ a $，则外部大圆的面积比内部小圆的面积大()。
答案
（1）
正方形周长：$4 × a = 4a$
内部小圆直径等于正方形边长$a$，小圆周长：$π × a = π a$
周长差：$4a - π a = (4-π)a$
（2）
外部大圆的直径是正方形的对角线，大圆半径的平方为$\frac{a^2}{2}$，大圆面积：$π × \frac{a^2}{2} = \frac{1}{2}π a^2$
内部小圆半径为$\frac{a}{2}$，小圆面积：$π × (\frac{a}{2})^2 = \frac{1}{4}π a^2$
面积差：$\frac{1}{2}π a^2 - \frac{1}{4}π a^2 = \frac{1}{4}π a^2$
答：（1）正方形的周长比内部小圆的周长长$(4-π)a$；（2）外部大圆的面积比内部小圆的面积大$\frac{1}{4}π a^2$。
正方形周长：$4 × a = 4a$
内部小圆直径等于正方形边长$a$，小圆周长：$π × a = π a$
周长差：$4a - π a = (4-π)a$
（2）
外部大圆的直径是正方形的对角线，大圆半径的平方为$\frac{a^2}{2}$，大圆面积：$π × \frac{a^2}{2} = \frac{1}{2}π a^2$
内部小圆半径为$\frac{a}{2}$，小圆面积：$π × (\frac{a}{2})^2 = \frac{1}{4}π a^2$
面积差：$\frac{1}{2}π a^2 - \frac{1}{4}π a^2 = \frac{1}{4}π a^2$
答：（1）正方形的周长比内部小圆的周长长$(4-π)a$；（2）外部大圆的面积比内部小圆的面积大$\frac{1}{4}π a^2$。
解析
【分析】
（1）要求正方形周长比内部小圆周长长多少，需分别算出正方形和小圆的周长再作差。首先根据正方形周长=边长×4，已知边长为a可直接算出正方形周长；观察图形可得内部小圆和正方形四条边都相切，所以小圆的直径等于正方形的边长a，再根据圆的周长=π×直径算出小圆周长，二者相减即可得到结果。
（2）要求外部大圆面积比内部小圆面积大多少，需分别算出两个圆的面积再作差。内部小圆的直径是a，可先求出半径，再根据圆的面积=π×半径²算出小圆面积；外部大圆经过正方形的四个顶点，所以大圆的直径等于正方形的对角线长度，由正方形边长为a可推出大圆半径的平方为$\frac{a^2}{2}$，进而算出大圆面积，最后用大圆面积减去小圆面积即可得到结果。
【解析】
（1）正方形周长：$4 × a = 4a$
内部小圆直径等于正方形边长$a$，小圆周长：$π × a = π a$
周长差：$4a - π a = (4-π)a$
（2）外部大圆的直径是正方形的对角线，大圆半径的平方为$\frac{a^2}{2}$，大圆面积：$π × \frac{a^2}{2} = \frac{1}{2}π a^2$
内部小圆半径为$\frac{a}{2}$，小圆面积：$π × (\frac{a}{2})^2 = \frac{1}{4}π a^2$
面积差：$\frac{1}{2}π a^2 - \frac{1}{4}π a^2 = \frac{1}{4}π a^2$
【答案】
（1）$(4-π)a$；（2）$\frac{1}{4}π a^2$
【知识点】
圆的周长计算、圆的面积计算、含字母式子化简
【点评】
这道题结合传统建筑窗户的设计场景，考查正方形与内切圆、外接圆的周长、面积计算，解题的关键是明确不同圆的直径和正方形边长、对角线的对应关系，能提升结合实际场景运用几何公式解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）要求正方形周长比内部小圆周长长多少，需分别算出正方形和小圆的周长再作差。首先根据正方形周长=边长×4，已知边长为a可直接算出正方形周长；观察图形可得内部小圆和正方形四条边都相切，所以小圆的直径等于正方形的边长a，再根据圆的周长=π×直径算出小圆周长，二者相减即可得到结果。
（2）要求外部大圆面积比内部小圆面积大多少，需分别算出两个圆的面积再作差。内部小圆的直径是a，可先求出半径，再根据圆的面积=π×半径²算出小圆面积；外部大圆经过正方形的四个顶点，所以大圆的直径等于正方形的对角线长度，由正方形边长为a可推出大圆半径的平方为$\frac{a^2}{2}$，进而算出大圆面积，最后用大圆面积减去小圆面积即可得到结果。
【解析】
（1）正方形周长：$4 × a = 4a$
内部小圆直径等于正方形边长$a$，小圆周长：$π × a = π a$
周长差：$4a - π a = (4-π)a$
（2）外部大圆的直径是正方形的对角线，大圆半径的平方为$\frac{a^2}{2}$，大圆面积：$π × \frac{a^2}{2} = \frac{1}{2}π a^2$
内部小圆半径为$\frac{a}{2}$，小圆面积：$π × (\frac{a}{2})^2 = \frac{1}{4}π a^2$
面积差：$\frac{1}{2}π a^2 - \frac{1}{4}π a^2 = \frac{1}{4}π a^2$
【答案】
（1）$(4-π)a$；（2）$\frac{1}{4}π a^2$
【知识点】
圆的周长计算、圆的面积计算、含字母式子化简
【点评】
这道题结合传统建筑窗户的设计场景，考查正方形与内切圆、外接圆的周长、面积计算，解题的关键是明确不同圆的直径和正方形边长、对角线的对应关系，能提升结合实际场景运用几何公式解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
