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一、小乐家有张圆形餐桌，现要在这张餐桌的桌面外围加装宽为5 cm的木边框。木边框外侧的周长比圆形桌面的周长增加了多少厘米？
1.假设法：
假设圆形桌面的直径是(
桌面周长：
木边框外侧周长：
周长增加的长度：
答：木边框外侧的周长比圆形桌面的周长增加了(
2.代数法：
用字母d表示圆形桌面的直径。
桌面周长：
木边框外侧周长：
周长增加的长度：
答：木边框外侧的周长比圆形桌面的周长增加了(
我发现：圆的直径每增加d，周长就增加（
1.假设法：
假设圆形桌面的直径是(
100
) cm。桌面周长：
314 cm
木边框外侧周长：
345.4 cm
周长增加的长度：
31.4 cm
答：木边框外侧的周长比圆形桌面的周长增加了(
31.4
) cm。2.代数法：
用字母d表示圆形桌面的直径。
桌面周长：
πd
木边框外侧周长：
(d+10)π
周长增加的长度：
10π
答：木边框外侧的周长比圆形桌面的周长增加了(
10π
) cm。我发现：圆的直径每增加d，周长就增加（
πd
）。答案
1. 100 314 cm 345.4 cm 31.4 cm 31.4
2. πd (d+10)π 10π 10π πd
2. πd (d+10)π 10π 10π πd
解析
【分析】
解题时首先明确：在圆形桌面外围加装5cm宽的木边框，相当于圆的半径增加5cm，因此直径总共增加2×5=10cm。我们可以通过两种方法求解：①假设法：先给原桌面直径假设一个方便计算的整数值，分别求出原桌面周长和加边框后的外侧周长，相减即可得到周长增加的长度；②代数法：用字母表示原桌面直径，通过圆周长公式推导周长差值，得到通用规律，最后总结直径变化和周长变化的对应关系。
【解析】
1. 假设法：
假设圆形桌面的直径是100cm。
桌面周长：根据圆的周长公式$C=π d$，代入数值计算得$3.14×100=314\ \mathrm{cm}$。
木边框外侧直径$=$原桌面直径$+2×$边框宽度$=100+2×5=110\ \mathrm{cm}$，因此外侧周长：$3.14×110=345.4\ \mathrm{cm}$。
周长增加的长度：$345.4-314=31.4\ \mathrm{cm}$。
2. 代数法：
用字母$d$表示圆形桌面的直径。
桌面周长：根据圆的周长公式得$C_1=π d$。
木边框外侧直径为$d+2×5=d+10$，因此外侧周长：$C_2=π(d+10)=(d+10)π$。
周长增加的长度：$C_2-C_1=(d+10)π-π d=10π$。
综上可总结规律：圆的直径每增加$d$，周长就增加$π d$。
【答案】
1. 100；$314\ \mathrm{cm}$；$345.4\ \mathrm{cm}$；$31.4\ \mathrm{cm}$；31.4
2. $π d$；$(d+10)π$；$10π$；$10π$；$π d$
（注：假设法中直径取值不唯一，计算逻辑正确即可，此处采用参考数值）
【知识点】
圆的周长计算；直径与半径的关系；周长变化规律
【点评】
本题通过具象假设计算和抽象代数推导两种方法，引导学生熟练掌握圆周长公式的实际应用，同时总结出周长随直径变化的通用规律，能有效提升公式应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确：在圆形桌面外围加装5cm宽的木边框，相当于圆的半径增加5cm，因此直径总共增加2×5=10cm。我们可以通过两种方法求解：①假设法：先给原桌面直径假设一个方便计算的整数值，分别求出原桌面周长和加边框后的外侧周长，相减即可得到周长增加的长度；②代数法：用字母表示原桌面直径，通过圆周长公式推导周长差值，得到通用规律，最后总结直径变化和周长变化的对应关系。
【解析】
1. 假设法：
假设圆形桌面的直径是100cm。
桌面周长：根据圆的周长公式$C=π d$，代入数值计算得$3.14×100=314\ \mathrm{cm}$。
木边框外侧直径$=$原桌面直径$+2×$边框宽度$=100+2×5=110\ \mathrm{cm}$，因此外侧周长：$3.14×110=345.4\ \mathrm{cm}$。
周长增加的长度：$345.4-314=31.4\ \mathrm{cm}$。
2. 代数法：
用字母$d$表示圆形桌面的直径。
桌面周长：根据圆的周长公式得$C_1=π d$。
木边框外侧直径为$d+2×5=d+10$，因此外侧周长：$C_2=π(d+10)=(d+10)π$。
周长增加的长度：$C_2-C_1=(d+10)π-π d=10π$。
综上可总结规律：圆的直径每增加$d$，周长就增加$π d$。
【答案】
1. 100；$314\ \mathrm{cm}$；$345.4\ \mathrm{cm}$；$31.4\ \mathrm{cm}$；31.4
2. $π d$；$(d+10)π$；$10π$；$10π$；$π d$
（注：假设法中直径取值不唯一，计算逻辑正确即可，此处采用参考数值）
【知识点】
圆的周长计算；直径与半径的关系；周长变化规律
【点评】
本题通过具象假设计算和抽象代数推导两种方法，引导学生熟练掌握圆周长公式的实际应用，同时总结出周长随直径变化的通用规律，能有效提升公式应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
二、如图，一块正方形绿地四周有一条2 m宽的小路（涂色部分）。小路外侧的周长比正方形绿地的周长长多少米？
答案
假设正方形绿地边长a m。
4×(a+2+2)-4a=16(m)
4×(a+2+2)-4a=16(m)
解析
【分析】
解题时我们先从所求问题出发，要算出小路外侧周长比绿地周长长多少，首先得明确两个正方形的边长关系。已知小路宽2m，外侧大正方形的每条边都比内部绿地的边长多2个2m（上下/左右两侧各有2m宽的小路），也就是共多4m。再结合正方形周长公式，我们可以设绿地边长为字母a，分别表示出两个正方形的周长再作差即可，计算过程中未知数a会抵消，不影响最终结果。
【解析】
设正方形绿地的边长为$ a $ m。
1. 计算外侧大正方形的边长：小路两侧都有2m宽，因此外侧边长为$ a + 2 + 2 = a + 4 $ m。
2. 分别计算两个图形的周长：
正方形绿地的周长：$ 4a $ m
小路外侧的周长：$ 4×(a + 4) $ m
3. 计算周长差：
$ 4×(a + 4) - 4a = 4a + 16 - 4a = 16 $（m）
【答案】
16 m
【知识点】
正方形周长计算；用字母表示数；含字母式子化简
【点评】
本题侧重考查正方形周长公式的灵活应用，解题核心是准确判断外侧正方形与内部绿地的边长差值，避免出现仅算单侧小路宽度的错误，通过设字母表示未知边长的方法可以清晰梳理数量关系，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
解题时我们先从所求问题出发，要算出小路外侧周长比绿地周长长多少，首先得明确两个正方形的边长关系。已知小路宽2m，外侧大正方形的每条边都比内部绿地的边长多2个2m（上下/左右两侧各有2m宽的小路），也就是共多4m。再结合正方形周长公式，我们可以设绿地边长为字母a，分别表示出两个正方形的周长再作差即可，计算过程中未知数a会抵消，不影响最终结果。
【解析】
设正方形绿地的边长为$ a $ m。
1. 计算外侧大正方形的边长：小路两侧都有2m宽，因此外侧边长为$ a + 2 + 2 = a + 4 $ m。
2. 分别计算两个图形的周长：
正方形绿地的周长：$ 4a $ m
小路外侧的周长：$ 4×(a + 4) $ m
3. 计算周长差：
$ 4×(a + 4) - 4a = 4a + 16 - 4a = 16 $（m）
【答案】
16 m
【知识点】
正方形周长计算；用字母表示数；含字母式子化简
【点评】
本题侧重考查正方形周长公式的灵活应用，解题核心是准确判断外侧正方形与内部绿地的边长差值，避免出现仅算单侧小路宽度的错误，通过设字母表示未知边长的方法可以清晰梳理数量关系，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
三、学校宣传墙上有一个长方形公告栏，公告栏外围有一圈宽 1.5 dm 的灰色墙面。灰色墙面外侧的周长比公告栏的周长长多少分米？
答案
假设公告栏的长为a dm，宽为b dm。
2×(a+1.5×2+b+1.5×2)-2(a+b)=12(dm)
2×(a+1.5×2+b+1.5×2)-2(a+b)=12(dm)
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确灰色墙面外侧长方形和内部公告栏长方形的长宽关系：灰色墙面在公告栏四周都宽1.5dm，因此外侧长方形的长比公告栏的长多2个1.5dm（左右各延伸1.5dm），外侧长方形的宽比公告栏的宽多2个1.5dm（上下各延伸1.5dm）。接下来我们分别表示出两个长方形的周长，再作差即可得到结果。
【解析】
设内部公告栏的长为$a\ \mathrm{dm}$，宽为$b\ \mathrm{dm}$：
1. 计算灰色墙面外侧长方形的长和宽：
外侧长：$a + 1.5×2 = a+3\ \mathrm{dm}$
外侧宽：$b + 1.5×2 = b+3\ \mathrm{dm}$
2. 分别计算两个长方形的周长：
公告栏周长：$C_1=2(a+b)\ \mathrm{dm}$
外侧周长：$C_2=2×(a+3 + b+3)=2(a+b+6)\ \mathrm{dm}$
3. 计算周长差：
$\begin{aligned} C_2 - C_1 &= 2(a+b+6) - 2(a+b)\\ &=2(a+b)+12 - 2(a+b)\\ &=12\ \mathrm{dm} \end{aligned}$
【答案】
12 dm
【知识点】
长方形周长计算；用字母表示数
【点评】
本题重点考察对长方形长宽变化和周长公式的应用，解题关键是注意边框在长和宽的两侧都有延伸，不可只计算单侧的边框宽度，理清两个长方形的长宽差值后结合周长公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确灰色墙面外侧长方形和内部公告栏长方形的长宽关系：灰色墙面在公告栏四周都宽1.5dm，因此外侧长方形的长比公告栏的长多2个1.5dm（左右各延伸1.5dm），外侧长方形的宽比公告栏的宽多2个1.5dm（上下各延伸1.5dm）。接下来我们分别表示出两个长方形的周长，再作差即可得到结果。
【解析】
设内部公告栏的长为$a\ \mathrm{dm}$，宽为$b\ \mathrm{dm}$：
1. 计算灰色墙面外侧长方形的长和宽：
外侧长：$a + 1.5×2 = a+3\ \mathrm{dm}$
外侧宽：$b + 1.5×2 = b+3\ \mathrm{dm}$
2. 分别计算两个长方形的周长：
公告栏周长：$C_1=2(a+b)\ \mathrm{dm}$
外侧周长：$C_2=2×(a+3 + b+3)=2(a+b+6)\ \mathrm{dm}$
3. 计算周长差：
$\begin{aligned} C_2 - C_1 &= 2(a+b+6) - 2(a+b)\\ &=2(a+b)+12 - 2(a+b)\\ &=12\ \mathrm{dm} \end{aligned}$
【答案】
12 dm
【知识点】
长方形周长计算；用字母表示数
【点评】
本题重点考察对长方形长宽变化和周长公式的应用，解题关键是注意边框在长和宽的两侧都有延伸，不可只计算单侧的边框宽度，理清两个长方形的长宽差值后结合周长公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
四、【思维拓展】链球比赛中，运动员旋转发力将链球掷出。链球的旋转半径由运动员身体旋转半径与链球长度共同组成。某运动员所掷链球的旋转半径比她自身旋转半径长1.2 m，链球旋转的周长比运动员身体旋转的周长长多少米？
答案
设运动员自身旋转的半径为r m。
2×3.14(r+1.2)-2×3.14r=7.536(m)
2×3.14(r+1.2)-2×3.14r=7.536(m)
解析
【分析】
解决本题首先要回忆圆的周长计算公式：圆的周长$ C=2π r $（计算时$π$通常取3.14）。题目已知链球的旋转半径比运动员自身旋转半径长1.2m，我们可以先分别表示出运动员身体旋转的周长和链球旋转的周长，再计算二者的差值即可。计算过程中未知的半径$ r $会被抵消，不需要求出$ r $的具体数值就能算出周长差。
【解析】
解：设运动员自身旋转的半径为$ r $m，则链球的旋转半径为$ (r+1.2) $m。
链球旋转的周长：$ C_1=2×3.14×(r+1.2) $
运动员身体旋转的周长：$ C_2=2×3.14× r $
周长差为：
$\begin{aligned}C_1-C_2&=2×3.14×(r+1.2)-2×3.14× r\\&=2×3.14× r + 2×3.14×1.2 - 2×3.14× r\\&=2×3.14×1.2\\&=7.536(\mathrm{m})\end{aligned}$
【答案】
7.536米
【知识点】
圆的周长计算；含字母式子的化简
【点评】
这道题结合实际运动场景考查圆周长公式的灵活运用，解题时无需算出半径的具体数值，通过作差消去未知量即可得到结果，能有效提升学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要回忆圆的周长计算公式：圆的周长$ C=2π r $（计算时$π$通常取3.14）。题目已知链球的旋转半径比运动员自身旋转半径长1.2m，我们可以先分别表示出运动员身体旋转的周长和链球旋转的周长，再计算二者的差值即可。计算过程中未知的半径$ r $会被抵消，不需要求出$ r $的具体数值就能算出周长差。
【解析】
解：设运动员自身旋转的半径为$ r $m，则链球的旋转半径为$ (r+1.2) $m。
链球旋转的周长：$ C_1=2×3.14×(r+1.2) $
运动员身体旋转的周长：$ C_2=2×3.14× r $
周长差为：
$\begin{aligned}C_1-C_2&=2×3.14×(r+1.2)-2×3.14× r\\&=2×3.14× r + 2×3.14×1.2 - 2×3.14× r\\&=2×3.14×1.2\\&=7.536(\mathrm{m})\end{aligned}$
【答案】
7.536米
【知识点】
圆的周长计算；含字母式子的化简
【点评】
这道题结合实际运动场景考查圆周长公式的灵活运用，解题时无需算出半径的具体数值，通过作差消去未知量即可得到结果，能有效提升学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
