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如图甲所示，一个半圆形的薄电阻片夹在两块导体板之间时，测得电阻值为$R$，则以图乙方式夹在两块导体板之间时，测得的电阻为
$4R$
。答案
【变式训练】$4R$
解析
【分析】要解决该电阻问题，需利用电阻定律$R=\rho\frac{L}{S}$，将半圆形电阻片等效为四分之一圆形电阻的组合。先分析图甲：电流从a到b，半圆形电阻可看作两个相同的四分之一圆形电阻并联，由此求出单个四分之一圆的电阻；再分析图乙：电流从c到d，此时半圆形电阻可看作两个相同的四分之一圆形电阻串联，结合单个四分之一圆的电阻，即可求出乙图的总电阻。
【解析】设单个四分之一圆形薄电阻片的电阻为$R_0$。对于图甲，电流沿竖直方向，两个四分之一圆电阻并联，根据并联电阻公式：$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R_0} = \frac{2}{R_0}$，解得$R_0=2R$。对于图乙，电流沿竖直方向，两个四分之一圆电阻串联，根据串联电阻公式：$R_{总}=R_0 + R_0=2R_0$，代入$R_0=2R$，得$R_{总}=4R$。
【答案】$4R$
【知识点】电阻定律、等效电阻
【点评】本题通过等效变换将半圆电阻转化为四分之一圆的串并联，考查电阻定律的应用，关键是明确不同放置方式下电阻的串并联关系，属于中等难度的电阻问题。
【难度系数】0.5
【解析】设单个四分之一圆形薄电阻片的电阻为$R_0$。对于图甲，电流沿竖直方向，两个四分之一圆电阻并联，根据并联电阻公式：$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R_0} = \frac{2}{R_0}$，解得$R_0=2R$。对于图乙，电流沿竖直方向，两个四分之一圆电阻串联，根据串联电阻公式：$R_{总}=R_0 + R_0=2R_0$，代入$R_0=2R$，得$R_{总}=4R$。
【答案】$4R$
【知识点】电阻定律、等效电阻
【点评】本题通过等效变换将半圆电阻转化为四分之一圆的串并联，考查电阻定律的应用，关键是明确不同放置方式下电阻的串并联关系，属于中等难度的电阻问题。
【难度系数】0.5
10. 如图所示，滑动变阻器$R_2$的最大阻值与定值电阻$R_1$的阻值相等。闭合开关S，当滑片P在最左端时，电压表的示数为2 V，则电源电压为（
A.1 V
B.2 V
C.3 V
D.4 V
D
）A.1 V
B.2 V
C.3 V
D.4 V
答案
10. D
解析
【分析】首先明确电路结构：定值电阻$R_1$与滑动变阻器$R_2$串联，电流表测电路电流，电压表测量滑动变阻器$R_2$两端的电压。已知$R_2$最大阻值等于$R_1$阻值，结合串联电路特点和欧姆定律分析电源电压。
【解析】设$R_1=R_2=R$，当滑片$P$在最左端时，滑动变阻器$R_2$全部接入电路，电路总电阻$R_{总}=R_1+R_2=R+R=2R$。根据欧姆定律，电路中的电流$I=\frac{U_{总}}{R_{总}}=\frac{U_{总}}{2R}$。此时电压表测$R_2$两端的电压，电压表示数$U_2=I× R_2=\frac{U_{总}}{2R}× R=\frac{U_{总}}{2}$。已知电压表示数为$2V$，即$\frac{U_{总}}{2}=2V$，解得电源电压$U_{总}=4V$。
【答案】D
【知识点】串联电路特点、欧姆定律应用
【点评】本题考查串联电路分压规律与欧姆定律的结合应用，关键是明确电压表测量对象，利用串联电路电阻相等时分压相等的特点可快速推导，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】设$R_1=R_2=R$，当滑片$P$在最左端时，滑动变阻器$R_2$全部接入电路，电路总电阻$R_{总}=R_1+R_2=R+R=2R$。根据欧姆定律，电路中的电流$I=\frac{U_{总}}{R_{总}}=\frac{U_{总}}{2R}$。此时电压表测$R_2$两端的电压，电压表示数$U_2=I× R_2=\frac{U_{总}}{2R}× R=\frac{U_{总}}{2}$。已知电压表示数为$2V$，即$\frac{U_{总}}{2}=2V$，解得电源电压$U_{总}=4V$。
【答案】D
【知识点】串联电路特点、欧姆定律应用
【点评】本题考查串联电路分压规律与欧姆定律的结合应用，关键是明确电压表测量对象，利用串联电路电阻相等时分压相等的特点可快速推导，难度适中。
【难度系数】0.5
11.在“探究并联电路中电阻的特点”的实验中，小王同学利用两节干电池作为电源，在电路中分别接入若干个阻值不同的电阻进行实验，其研究过程如图甲、乙、丙所示。请仔细观察和比较图中的装置、操作和电流表的示数，然后归纳得出初步结论。
（1）比较图甲、乙或图甲、丙可知，
。
（2）比较图乙、丙可知，
。
（1）比较图甲、乙或图甲、丙可知，
一个电阻与其他电阻并联，电路的总电阻比原电阻小
。
（2）比较图乙、丙可知，
在并联电路中，一个电阻不变，另一个电阻变小，电路的总电阻变小
。
答案
11.(1)一个电阻与其他电阻并联，电路的总电阻比原电阻小
(2)在并联电路中，一个电阻不变，另一个电阻变小，电路的总电阻变小
(2)在并联电路中，一个电阻不变，另一个电阻变小，电路的总电阻变小
解析
【分析】首先明确实验中电源电压不变（两节干电池总电压为3V），根据欧姆定律$R=\frac{U}{I}$，总电流越大，总电阻越小。观察各图：甲图单独接入10Ω电阻，电流0.3A；乙图是10Ω与20Ω并联，电流0.45A；丙图是10Ω与5Ω并联，电流0.9A。对比甲与乙、甲与丙，是在原电阻上并联其他电阻，总电流变大，总电阻变小；对比乙与丙，并联的另一电阻从20Ω变为5Ω（变小），总电流变大，总电阻也变小，由此归纳结论。
【解析】电源电压恒定，根据欧姆定律$R=\frac{U}{I}$，总电流越大，总电阻越小。
(1) 甲图是单独10Ω电阻，乙图是10Ω与20Ω并联，总电流从0.3A变为0.45A（变大），总电阻变小；丙图是10Ω与5Ω并联，总电流从0.3A变为0.9A（变大），总电阻也变小。因此，一个电阻与其他电阻并联，电路的总电阻比原电阻小。
(2) 乙图是10Ω和20Ω并联，丙图是10Ω和5Ω并联，并联的另一电阻从20Ω减小为5Ω，总电流从0.45A变为0.9A（变大），总电阻变小。因此，在并联电路中，一个电阻不变，另一个电阻变小，电路的总电阻变小。
【答案】(1)一个电阻与其他电阻并联，电路的总电阻比原电阻小；(2)在并联电路中，一个电阻不变，另一个电阻变小，电路的总电阻变小
【知识点】并联电路电阻特点、欧姆定律
【点评】本题通过实验探究并联电路的电阻规律，结合欧姆定律分析电流与电阻的关系，体现了控制变量法的应用，属于电学基础探究题。
【难度系数】0.6
【解析】电源电压恒定，根据欧姆定律$R=\frac{U}{I}$，总电流越大，总电阻越小。
(1) 甲图是单独10Ω电阻，乙图是10Ω与20Ω并联，总电流从0.3A变为0.45A（变大），总电阻变小；丙图是10Ω与5Ω并联，总电流从0.3A变为0.9A（变大），总电阻也变小。因此，一个电阻与其他电阻并联，电路的总电阻比原电阻小。
(2) 乙图是10Ω和20Ω并联，丙图是10Ω和5Ω并联，并联的另一电阻从20Ω减小为5Ω，总电流从0.45A变为0.9A（变大），总电阻变小。因此，在并联电路中，一个电阻不变，另一个电阻变小，电路的总电阻变小。
【答案】(1)一个电阻与其他电阻并联，电路的总电阻比原电阻小；(2)在并联电路中，一个电阻不变，另一个电阻变小，电路的总电阻变小
【知识点】并联电路电阻特点、欧姆定律
【点评】本题通过实验探究并联电路的电阻规律，结合欧姆定律分析电流与电阻的关系，体现了控制变量法的应用，属于电学基础探究题。
【难度系数】0.6
12. 如图所示，电源电压为5 V，四个定值电阻的阻值均为5 Ω。
(1)当开关均断开时，求电流表的示数；
(2)当开关均闭合时，求电流表的示数。
(1)当开关均断开时，求电流表的示数；
(2)当开关均闭合时，求电流表的示数。
答案
12. (1)0.5 A (2)2 A
解析
【分析】
要解决本题，需先分析开关断开、闭合时的电路连接状态：(1)开关均断开时，R3断路，R1与R2串联，电流表测串联电路的电流；(2)开关均闭合时，R2被S2短路，R4被S1、S3短路，R1与R3并联，电流表测干路总电流。结合欧姆定律即可计算电流。
【解析】
(1)当开关均断开时，R1与R2串联，总电阻为：
$R_{总}=R_1+R_2=5\ \Omega+5\ \Omega=10\ \Omega$
根据欧姆定律，电流表的示数：
$I=\frac{U}{R_{总}}=\frac{5\ V}{10\ \Omega}=0.5\ A$
(2)当开关均闭合时，R2被S2短路，R4被S1、S3短路，R1与R3并联，各支路电压等于电源电压5 V。
通过R1的电流：$I_1=\frac{U}{R_1}=\frac{5\ V}{5\ \Omega}=1\ A$
通过R3的电流：$I_3=\frac{U}{R_3}=\frac{5\ V}{5\ \Omega}=1\ A$
电流表测干路总电流，故示数：$I_{总}=I_1+I_3=1\ A+1\ A=2\ A$
【答案】
(1)0.5 A (2)2 A
【知识点】
串联电路、并联电路、欧姆定律
【点评】
本题核心是正确识别开关通断时的电路结构，判断短路的电阻，避免错误接入多余电阻，需熟练掌握串并联电路特点和欧姆定律的应用。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需先分析开关断开、闭合时的电路连接状态：(1)开关均断开时，R3断路，R1与R2串联，电流表测串联电路的电流；(2)开关均闭合时，R2被S2短路，R4被S1、S3短路，R1与R3并联，电流表测干路总电流。结合欧姆定律即可计算电流。
【解析】
(1)当开关均断开时，R1与R2串联，总电阻为：
$R_{总}=R_1+R_2=5\ \Omega+5\ \Omega=10\ \Omega$
根据欧姆定律，电流表的示数：
$I=\frac{U}{R_{总}}=\frac{5\ V}{10\ \Omega}=0.5\ A$
(2)当开关均闭合时，R2被S2短路，R4被S1、S3短路，R1与R3并联，各支路电压等于电源电压5 V。
通过R1的电流：$I_1=\frac{U}{R_1}=\frac{5\ V}{5\ \Omega}=1\ A$
通过R3的电流：$I_3=\frac{U}{R_3}=\frac{5\ V}{5\ \Omega}=1\ A$
电流表测干路总电流，故示数：$I_{总}=I_1+I_3=1\ A+1\ A=2\ A$
【答案】
(1)0.5 A (2)2 A
【知识点】
串联电路、并联电路、欧姆定律
【点评】
本题核心是正确识别开关通断时的电路结构，判断短路的电阻，避免错误接入多余电阻，需熟练掌握串并联电路特点和欧姆定律的应用。
【难度系数】
0.4
13. [核心素养·科学思维]当多个电阻并联时，其等效电阻称为并联电路的总电阻。图乙中的电阻R可视为图甲中电阻$R_1$和$R_2$的总电阻。
(1)试推导:并联电路的总电阻R与各支路电阻$R_1$、$R_2$的大小关系为$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$；
(2)试证明:并联电路的总电阻小于任何一条支路的分电阻。
(1)试推导:并联电路的总电阻R与各支路电阻$R_1$、$R_2$的大小关系为$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$；
(2)试证明:并联电路的总电阻小于任何一条支路的分电阻。
答案
解：
(1) 根据并联电路的电流特点，干路电流等于各支路电流之和：
$I = I_1 + I_2$
根据并联电路的电压特点，各支路两端电压相等，等于电源电压：
$U = U_1 = U_2$
由欧姆定律$I=\frac{U}{R}$可得：
干路电流$I=\frac{U}{R}$，支路电流$I_1=\frac{U}{R_1}$，$I_2=\frac{U}{R_2}$
将上述三式代入$I=I_1+I_2$，得：
$\frac{U}{R} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$
等式两边同时除以不为零的电压$U$，整理可得：
$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$
(2) 由$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$可知：
$\frac{1}{R} ＞ \frac{1}{R_1}$，$\frac{1}{R} ＞ \frac{1}{R_2}$
由于$R$、$R_1$、$R_2$均为大于0的正数，分子相同时，分数值越大对应分母越小，因此可得：
$R ＜ R_1$，$R ＜ R_2$
即并联电路的总电阻小于任何一条支路的分电阻。
(1) 根据并联电路的电流特点，干路电流等于各支路电流之和：
$I = I_1 + I_2$
根据并联电路的电压特点，各支路两端电压相等，等于电源电压：
$U = U_1 = U_2$
由欧姆定律$I=\frac{U}{R}$可得：
干路电流$I=\frac{U}{R}$，支路电流$I_1=\frac{U}{R_1}$，$I_2=\frac{U}{R_2}$
将上述三式代入$I=I_1+I_2$，得：
$\frac{U}{R} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$
等式两边同时除以不为零的电压$U$，整理可得：
$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$
(2) 由$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$可知：
$\frac{1}{R} ＞ \frac{1}{R_1}$，$\frac{1}{R} ＞ \frac{1}{R_2}$
由于$R$、$R_1$、$R_2$均为大于0的正数，分子相同时，分数值越大对应分母越小，因此可得：
$R ＜ R_1$，$R ＜ R_2$
即并联电路的总电阻小于任何一条支路的分电阻。
解析
【分析】
要解决这道题，需结合并联电路的电流、电压特点，以及欧姆定律进行推导。第(1)问：先利用并联电路干路电流等于各支路电流之和、各支路电压相等的特点，再将电流用欧姆定律表示，代入电流关系后消去公共电压，即可得到总电阻与分电阻的关系；第(2)问：根据第(1)问的结论，通过比较总电阻和分电阻的倒数大小，结合正数的倒数与分母的关系，就能证明总电阻小于任一分电阻。
【解析】
(1) 根据并联电路的电流特点：干路电流等于各支路电流之和，即 $ I = I_1 + I_2 $；
根据并联电路的电压特点：各支路两端电压相等，等于总电压，即 $ U = U_1 = U_2 $；
由欧姆定律 $ I = \frac{U}{R} $，可得干路电流 $ I = \frac{U}{R} $，支路电流 $ I_1 = \frac{U}{R_1} $，$ I_2 = \frac{U}{R_2} $；
将上述三式代入 $ I = I_1 + I_2 $，得：
$ \frac{U}{R} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2} $；
由于电压 $ U ≠ 0 $，等式两边同时除以 $ U $，整理得：
$ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} $。
(2) 由第(1)问的结论 $ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} $，可知 $ \frac{1}{R} ＞ \frac{1}{R_1} $，且 $ \frac{1}{R} ＞ \frac{1}{R_2} $；
因为 $ R $、$ R_1 $、$ R_2 $ 均为大于0的正数，分子相同的正数，分数值越大，对应的分母越小，因此可得 $ R ＜ R_1 $，且 $ R ＜ R_2 $，即并联电路的总电阻小于任何一条支路的分电阻。
【答案】
(1) 推导得 $ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} $；(2) 并联电路总电阻小于任一分电阻，证明过程如上。
【知识点】
并联电路特点、欧姆定律、电阻的并联
【点评】
本题考查科学思维中的电路推导能力，通过并联电路基本规律结合欧姆定律推导电阻关系，是初中电学基础内容，注重规律的理解与应用。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合并联电路的电流、电压特点，以及欧姆定律进行推导。第(1)问：先利用并联电路干路电流等于各支路电流之和、各支路电压相等的特点，再将电流用欧姆定律表示，代入电流关系后消去公共电压，即可得到总电阻与分电阻的关系；第(2)问：根据第(1)问的结论，通过比较总电阻和分电阻的倒数大小，结合正数的倒数与分母的关系，就能证明总电阻小于任一分电阻。
【解析】
(1) 根据并联电路的电流特点：干路电流等于各支路电流之和，即 $ I = I_1 + I_2 $；
根据并联电路的电压特点：各支路两端电压相等，等于总电压，即 $ U = U_1 = U_2 $；
由欧姆定律 $ I = \frac{U}{R} $，可得干路电流 $ I = \frac{U}{R} $，支路电流 $ I_1 = \frac{U}{R_1} $，$ I_2 = \frac{U}{R_2} $；
将上述三式代入 $ I = I_1 + I_2 $，得：
$ \frac{U}{R} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2} $；
由于电压 $ U ≠ 0 $，等式两边同时除以 $ U $，整理得：
$ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} $。
(2) 由第(1)问的结论 $ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} $，可知 $ \frac{1}{R} ＞ \frac{1}{R_1} $，且 $ \frac{1}{R} ＞ \frac{1}{R_2} $；
因为 $ R $、$ R_1 $、$ R_2 $ 均为大于0的正数，分子相同的正数，分数值越大，对应的分母越小，因此可得 $ R ＜ R_1 $，且 $ R ＜ R_2 $，即并联电路的总电阻小于任何一条支路的分电阻。
【答案】
(1) 推导得 $ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} $；(2) 并联电路总电阻小于任一分电阻，证明过程如上。
【知识点】
并联电路特点、欧姆定律、电阻的并联
【点评】
本题考查科学思维中的电路推导能力，通过并联电路基本规律结合欧姆定律推导电阻关系，是初中电学基础内容，注重规律的理解与应用。
【难度系数】
0.7
