登录
13. 已知$a-b=\frac{3}{2},b-c=\frac{3}{2}$，则代数式$(a-c)^2 + 3(a-c) + \frac{9}{4}$的值为
$\dfrac{81}{4}$
。答案
$\dfrac{81}{4}$
解析
【分析】
首先观察待求代数式，发现其中仅含有$a-c$这一个整体未知量，因此解题第一步需要先根据已知的两个等式求出$a-c$的值：将已知的$a-b=\frac{3}{2}$和$b-c=\frac{3}{2}$左右两边分别相加，消去$b$即可得到$a-c$的取值。之后将$a-c$作为整体代入待求代数式，按运算规则计算即可得到结果，若能识别出代数式符合完全平方公式的结构，也可先化简再代入进一步简化计算。
【解析】
解：1. 计算$a-c$的值
已知$a-b=\frac{3}{2}$，$b-c=\frac{3}{2}$，将两个等式左右两边分别相加：
$(a-b)+(b-c)=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}$
化简左边可得$a-b+b-c=a-c$，计算右边得$\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$
因此$a-c=3$
2. 代入代数式计算
将$a-c=3$代入$(a-c)^2 + 3(a-c) + \frac{9}{4}$得：
$\begin{aligned}原式&=3^2 + 3×3 + \frac{9}{4}\\&=9+9+\frac{9}{4}\\&=18+\frac{9}{4}\\&=\frac{72}{4}+\frac{9}{4}\\&=\frac{81}{4}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{81}{4}$
【知识点】
整式的加减运算；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题核心是考察学生对已知条件的转化能力，通过相加消元得到待求代数式中的整体未知量，再用整体代入法计算即可，解题时需注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
首先观察待求代数式，发现其中仅含有$a-c$这一个整体未知量，因此解题第一步需要先根据已知的两个等式求出$a-c$的值：将已知的$a-b=\frac{3}{2}$和$b-c=\frac{3}{2}$左右两边分别相加，消去$b$即可得到$a-c$的取值。之后将$a-c$作为整体代入待求代数式，按运算规则计算即可得到结果，若能识别出代数式符合完全平方公式的结构，也可先化简再代入进一步简化计算。
【解析】
解：1. 计算$a-c$的值
已知$a-b=\frac{3}{2}$，$b-c=\frac{3}{2}$，将两个等式左右两边分别相加：
$(a-b)+(b-c)=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}$
化简左边可得$a-b+b-c=a-c$，计算右边得$\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$
因此$a-c=3$
2. 代入代数式计算
将$a-c=3$代入$(a-c)^2 + 3(a-c) + \frac{9}{4}$得：
$\begin{aligned}原式&=3^2 + 3×3 + \frac{9}{4}\\&=9+9+\frac{9}{4}\\&=18+\frac{9}{4}\\&=\frac{72}{4}+\frac{9}{4}\\&=\frac{81}{4}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{81}{4}$
【知识点】
整式的加减运算；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题核心是考察学生对已知条件的转化能力，通过相加消元得到待求代数式中的整体未知量，再用整体代入法计算即可，解题时需注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
14. 甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球每盒定价5元。现两家商店搞促销活动，甲店的优惠办法是：每买一副乒乓球拍赠一盒乒乓球；乙店的优惠办法是：按定价的9折出售。某班需购买乒乓球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）。
(1)当购买乒乓球的盒数为x盒时，在甲店购买需付款
(2)当购买乒乓球盒数为10盒时，到哪家商店购买比较划算？说出你的理由。
(3)当购买乒乓球盒数为10盒时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付款多少元。
(1)当购买乒乓球的盒数为x盒时，在甲店购买需付款
$5x+60$
元；在乙店购买需付款$4.5x+72$
元（用含x的代数式表示）。(2)当购买乒乓球盒数为10盒时，到哪家商店购买比较划算？说出你的理由。
(3)当购买乒乓球盒数为10盒时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付款多少元。
答案
(1)$5x+60$ $4.5x+72$ (2)甲店划算，甲110元，乙117元 (3)甲店买4副球拍，乙店买6盒乒乓球，付款107元
解析
【分析】
（1）列两家店的付款代数式时，先分别梳理优惠规则：甲店买1副球拍赠1盒球，购买4副球拍可获赠4盒球，因此只需支付4副球拍的费用和超出4盒部分的乒乓球费用；乙店全部商品按9折出售，先计算购买球拍和乒乓球的总定价，再乘0.9即可得到实付金额。（2）判断哪家更划算，只需将x=10代入（1）得到的两个代数式，分别计算两家的付款金额后比较大小即可。（3）找更省钱的方案时，可以结合两家的优惠优势，先在甲店买球拍获取赠送的乒乓球，剩余不足的乒乓球去乙店享受折扣优惠，再计算总费用即可。
【解析】
(1) 计算甲店付款：
4副乒乓球拍的费用为 $4×20=80$ 元，
因为买4副球拍赠4盒乒乓球，所以需要额外付费的乒乓球有 $(x-4)$ 盒，这部分费用为 $5(x-4)$ 元，
总付款：$80 + 5(x-4) = 80 +5x -20 = 5x +60$ 元。
计算乙店付款：
购买4副球拍和x盒乒乓球的总定价为 $4×20 +5x = 80 +5x$ 元，
打9折后的总付款：$0.9×(80 +5x) = 72 +4.5x = 4.5x +72$ 元。
(2) 当$x=10$时：
甲店付款：$5×10 +60 = 50 +60 = 110$ 元，
乙店付款：$4.5×10 +72 = 45 +72 =117$ 元，
因为 $110＜117$，所以到甲店购买比较划算。
(3) 更为省钱的购买方案：在甲店购买4副乒乓球拍，获赠4盒乒乓球，剩下的$10-4=6$盒乒乓球到乙店购买。
计算总付款：
4副球拍费用：$4×20=80$ 元，
6盒乒乓球在乙店的费用：$6×5×0.9=27$ 元，
总付款：$80 +27 =107$ 元。
【答案】
(1) $5x+60$；$4.5x+72$
(2) 到甲店购买比较划算，甲店需付款110元，乙店需付款117元，110＜117
(3) 购买方案：在甲店买4副乒乓球拍，剩余6盒乒乓球在乙店购买；需付款107元
【知识点】
列代数式；代数式求值；最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的促销优惠场景，考查整式的实际应用，解题关键是准确理解不同优惠规则，正确列出代数式，再通过计算对比得到最优方案，能有效提升用数学知识解决实际生活问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）列两家店的付款代数式时，先分别梳理优惠规则：甲店买1副球拍赠1盒球，购买4副球拍可获赠4盒球，因此只需支付4副球拍的费用和超出4盒部分的乒乓球费用；乙店全部商品按9折出售，先计算购买球拍和乒乓球的总定价，再乘0.9即可得到实付金额。（2）判断哪家更划算，只需将x=10代入（1）得到的两个代数式，分别计算两家的付款金额后比较大小即可。（3）找更省钱的方案时，可以结合两家的优惠优势，先在甲店买球拍获取赠送的乒乓球，剩余不足的乒乓球去乙店享受折扣优惠，再计算总费用即可。
【解析】
(1) 计算甲店付款：
4副乒乓球拍的费用为 $4×20=80$ 元，
因为买4副球拍赠4盒乒乓球，所以需要额外付费的乒乓球有 $(x-4)$ 盒，这部分费用为 $5(x-4)$ 元，
总付款：$80 + 5(x-4) = 80 +5x -20 = 5x +60$ 元。
计算乙店付款：
购买4副球拍和x盒乒乓球的总定价为 $4×20 +5x = 80 +5x$ 元，
打9折后的总付款：$0.9×(80 +5x) = 72 +4.5x = 4.5x +72$ 元。
(2) 当$x=10$时：
甲店付款：$5×10 +60 = 50 +60 = 110$ 元，
乙店付款：$4.5×10 +72 = 45 +72 =117$ 元，
因为 $110＜117$，所以到甲店购买比较划算。
(3) 更为省钱的购买方案：在甲店购买4副乒乓球拍，获赠4盒乒乓球，剩下的$10-4=6$盒乒乓球到乙店购买。
计算总付款：
4副球拍费用：$4×20=80$ 元，
6盒乒乓球在乙店的费用：$6×5×0.9=27$ 元，
总付款：$80 +27 =107$ 元。
【答案】
(1) $5x+60$；$4.5x+72$
(2) 到甲店购买比较划算，甲店需付款110元，乙店需付款117元，110＜117
(3) 购买方案：在甲店买4副乒乓球拍，剩余6盒乒乓球在乙店购买；需付款107元
【知识点】
列代数式；代数式求值；最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的促销优惠场景，考查整式的实际应用，解题关键是准确理解不同优惠规则，正确列出代数式，再通过计算对比得到最优方案，能有效提升用数学知识解决实际生活问题的能力。
【难度系数】
0.7
15.【发现问题】
(1)善于思考的小和发现有些三位数各数位上的数字满足特殊的关系。如:123,357满足$2×2=1+3,2×5=3+7$,他将这样的三位正整数称为“和合数”。请你另写一个“和合数”：
【提出猜想】
(2)小和发现“和合数”都是某个正整数(1除外)的倍数,你认为这个正整数是：
【验证猜想】
(3)请验证你的猜想。(提示:可用字母表示“和合数”各数位上的数字)
(1)善于思考的小和发现有些三位数各数位上的数字满足特殊的关系。如:123,357满足$2×2=1+3,2×5=3+7$,他将这样的三位正整数称为“和合数”。请你另写一个“和合数”：
$345$(答案不唯一)
。【提出猜想】
(2)小和发现“和合数”都是某个正整数(1除外)的倍数,你认为这个正整数是：
$3$
。【验证猜想】
(3)请验证你的猜想。(提示:可用字母表示“和合数”各数位上的数字)
答案
(1)345(答案不唯一) (2)3 (3)证明:设“和合数”的个位数字为a，百位数字为b，则这个“和合数”的十位数字为$\frac{1}{2}(a+b)$，“和合数”可表示为:$100a+10×\frac{1}{2}(a+b)+b=105a+6b=3(35a+2b)$，所以这个“和合数”是3的倍数
解析
【分析】
(1)首先明确“和合数”的定义：三位正整数中，十位数字的2倍等于百位数字与个位数字的和。只需找到3个一位数（百位不为0）满足中间数是前后两个数的平均数即可，例如3、4、5满足$2×4=3+5$，组成的345就是符合要求的“和合数”。
(2)回忆3的倍数的特征：若一个数各数位上的数字之和是3的倍数，则这个数是3的倍数。对于“和合数”，各数位和=百位数字+十位数字+个位数字，结合定义可得百位数字+个位数字=2×十位数字，因此数位和=3×十位数字，必然是3的倍数，因此猜想这个正整数是3。
(3)验证猜想时，用字母表示各数位上的数字，根据三位数的表示规则（100×百位数字+10×十位数字+个位数字）列出代数式，再通过整式加减运算化简，最后提取公因式3，即可证明结论。
【解析】
(1)根据“和合数”的定义，取百位为3，十位为4，个位为5，验证得$2×4=3+5$，因此345是“和合数”，答案不唯一，只要满足定义即可。
(2)计算“和合数”的各数位和为$3×$十位数字，是3的倍数，因此这个正整数是3。
(3)证明：设“和合数”的个位数字为a，百位数字为b，则这个“和合数”的十位数字为$\frac{1}{2}(a+b)$，“和合数”可表示为：
$100a+10×\frac{1}{2}(a+b)+b=105a+6b=3(35a+2b)$
因此这个“和合数”是3的倍数。
【答案】
(1)345（答案不唯一）
(2)3
(3)证明：设“和合数”的个位数字为a，百位数字为b，则这个“和合数”的十位数字为$\frac{1}{2}(a+b)$，“和合数”可表示为:$100a+10×\frac{1}{2}(a+b)+b=105a+6b=3(35a+2b)$，所以这个“和合数”是3的倍数
【知识点】
新定义理解、整式的加减、3的倍数特征
【点评】
本题以新定义“和合数”为载体，考查对新规则的理解能力和整式的应用能力，解题的关键是准确把握“和合数”的数位关系，通过代数式化简完成验证，侧重基础能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1)首先明确“和合数”的定义：三位正整数中，十位数字的2倍等于百位数字与个位数字的和。只需找到3个一位数（百位不为0）满足中间数是前后两个数的平均数即可，例如3、4、5满足$2×4=3+5$，组成的345就是符合要求的“和合数”。
(2)回忆3的倍数的特征：若一个数各数位上的数字之和是3的倍数，则这个数是3的倍数。对于“和合数”，各数位和=百位数字+十位数字+个位数字，结合定义可得百位数字+个位数字=2×十位数字，因此数位和=3×十位数字，必然是3的倍数，因此猜想这个正整数是3。
(3)验证猜想时，用字母表示各数位上的数字，根据三位数的表示规则（100×百位数字+10×十位数字+个位数字）列出代数式，再通过整式加减运算化简，最后提取公因式3，即可证明结论。
【解析】
(1)根据“和合数”的定义，取百位为3，十位为4，个位为5，验证得$2×4=3+5$，因此345是“和合数”，答案不唯一，只要满足定义即可。
(2)计算“和合数”的各数位和为$3×$十位数字，是3的倍数，因此这个正整数是3。
(3)证明：设“和合数”的个位数字为a，百位数字为b，则这个“和合数”的十位数字为$\frac{1}{2}(a+b)$，“和合数”可表示为：
$100a+10×\frac{1}{2}(a+b)+b=105a+6b=3(35a+2b)$
因此这个“和合数”是3的倍数。
【答案】
(1)345（答案不唯一）
(2)3
(3)证明：设“和合数”的个位数字为a，百位数字为b，则这个“和合数”的十位数字为$\frac{1}{2}(a+b)$，“和合数”可表示为:$100a+10×\frac{1}{2}(a+b)+b=105a+6b=3(35a+2b)$，所以这个“和合数”是3的倍数
【知识点】
新定义理解、整式的加减、3的倍数特征
【点评】
本题以新定义“和合数”为载体，考查对新规则的理解能力和整式的应用能力，解题的关键是准确把握“和合数”的数位关系，通过代数式化简完成验证，侧重基础能力的考查。
【难度系数】
0.7
