1.【数学应用】一般情况下，主持人站在舞台的黄金分割点处时最自然得体。如图，一舞台AB的长为20 m，C为AB的一个黄金分割点(AC＜BC)，则BC的长约为()(结果精确到0.1 m)。


A.8.6 m
B.11.6 m
C.11.8 m
D.12.4 m

1.D

【分析】
解题首先要明确黄金分割的定义：把一条线段分割为两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，该比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，称为黄金比。本题已知$AC＜BC$，因此$BC$是AB被分割后的较长线段，要求BC的长度，只需用AB的总长度乘以黄金比即可计算得到结果。
【解析】
解：
∵C为AB的黄金分割点，且$AC＜BC$，
∴BC是较长线段，满足$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，
又
∵$AB=20\ \mathrm{m}$，
∴$BC=20×0.618=12.36\approx12.4\ \mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割；线段长度计算；近似数
【点评】
本题考查黄金分割的实际应用，解题的核心是准确判断哪条线段是黄金分割后的较长线段，牢记黄金比的数值，避免混淆长短线段导致计算错误。
【难度系数】
0.7

2. 已知点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且AC＞BC，下列命题是假命题的是（）。

A.如果$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，那么线段AB被点C黄金分割
B.如果$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，那么线段AB被点C黄金分割
C.如果点C是线段AB的黄金分割点，那么$BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$
D.如果点C是线段AB的黄金分割点，那么0.618是黄金比的近似值

2.C

【分析】
解题时首先要明确黄金分割的定义、黄金比的数值及长、短线段与全长的比例关系，再结合题目给出的AC＞BC的前提，逐一判断每个选项的真假：首先回忆黄金分割的核心是“较长段与全长的比等于较短段与较长段的比，比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$”，再核对每个选项是否符合该结论，尤其注意区分较长段AC和较短段BC对应的比例。
【解析】
首先明确黄金分割的定义：若点C将线段AB分为AC、BC两段（AC＞BC），满足$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，则称线段AB被点C黄金分割，点C为线段AB的黄金分割点，比值$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$为黄金比，近似值为0.618。
逐一分析选项：
A. 该式为黄金分割的定义式，符合黄金分割的判定规则，是真命题，不符合题意；
B. 由$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$可得$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金分割的比例要求，是真命题，不符合题意；
C. 已知AC＞BC，若C是AB的黄金分割点，则较长段$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，因此$BC=AB-AC=AB-\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AB$，显然不等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，是假命题，符合题意；
D. 黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，因此0.618是黄金比的近似值，是真命题，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割的概念；黄金比；命题真假判断
【点评】
本题重点考查对黄金分割概念的掌握，解题时需注意题目中AC＞BC的前提，准确区分较长线段和较短线段对应的比例关系，避免混淆长、短线段的比例公式出现错误。
【难度系数】
0.7

3.【数学应用】黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域。大自然巧夺天工，一片小小的树叶中也蕴含着“黄金分割”。如图，点B为AC的黄金分割点(AB＞BC)，BC的长度为6 cm，则AB的长度为()。

A.$(3\sqrt{5}+3)\mathrm{cm}$
B.$(\sqrt{5}+1)\mathrm{cm}$
C.$(\sqrt{5}+3)\mathrm{cm}$
D.$(3\sqrt{5}-3)\mathrm{cm}$

3.A

【分析】
解题首先要明确黄金分割的定义：若点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，则较长线段AB与整条线段AC的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。已知BC的长度，我们可以设AB为未知数，将AC表示为AB与BC的和，代入黄金分割的比例式，通过解方程即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵点B为AC的黄金分割点，且AB＞BC
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，其中$AC=AB+BC$
设$AB=x\ \mathrm{cm}$，已知$BC=6\ \mathrm{cm}$，则$AC=(x+6)\ \mathrm{cm}$，代入比例式得：
$\frac{x}{x+6}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
交叉相乘得：$2x=(\sqrt{5}-1)(x+6)$
展开整理：$2x=(\sqrt{5}-1)x+6\sqrt{5}-6$
移项合并同类项：$(3-\sqrt{5})x=6(\sqrt{5}-1)$
两边同时乘以$(3+\sqrt{5})$有理化：
$x=\frac{6(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=\frac{6(2\sqrt{5}+2)}{4}=3\sqrt{5}+3$
即AB的长度为$(3\sqrt{5}+3)\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割；比例的性质；二次根式运算
【点评】
本题结合自然场景考查黄金分割的实际应用，解题核心是准确对应黄金分割中长短线段的比例关系，计算过程中要注意二次根式有理化的规范操作，避免因混淆比例对应关系或计算失误失分。
【难度系数】
0.6

4. 已知线段$MN=1$，在$MN$上取一点$A$，使$AN=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$。求证：点$A$是线段$MN$的黄金分割点。

4. 证明:$\because MN=1,AN=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$,
$\therefore AM=MN-AN=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
$\because \frac{AN}{AM}=\frac{\sqrt{5}-1}{2},\frac{AM}{MN}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
$\therefore \frac{AN}{AM}=\frac{AM}{MN}$,
$\therefore$ 点 $A$ 是线段 $MN$ 的黄金分割点。

【分析】
要证明点A是线段MN的黄金分割点，首先需明确黄金分割点的判定规则：若线段上一点将线段分为长、短两段，且满足$\frac{\mathrm{较短线段}}{\mathrm{较长线段}}=\frac{\mathrm{较长线段}}{\mathrm{线段总长}}$（比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$），则该点就是线段的黄金分割点。解题时第一步先根据已知的MN总长度和AN长度，计算出AM的长度；第二步分别计算$\frac{AN}{AM}$和$\frac{AM}{MN}$的比值，验证两个比值是否相等，若相等即可判定点A符合黄金分割点的要求。
【解析】
证明：
$\because$ 线段$MN=1$，$AN=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore$ $AM = MN - AN = 1 - \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} = \dfrac{2 - 3 + \sqrt{5}}{2} = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，
接下来计算比例验证：
$\dfrac{AN}{AM} = \dfrac{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}}{\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}} = \dfrac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$，分子分母同乘$\sqrt{5}+1$化简得：
$\dfrac{(3-\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \dfrac{3\sqrt{5}+3 - 5 - \sqrt{5}}{4} = \dfrac{2\sqrt{5}-2}{4} = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又$\dfrac{AM}{MN} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}}{1} = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，
$\therefore$ $\dfrac{AN}{AM} = \dfrac{AM}{MN}$，符合黄金分割的比例关系，
因此点A是线段MN的黄金分割点。
【答案】
证明:$\because MN=1,AN=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$,
$\therefore AM=MN-AN=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
$\because \frac{AN}{AM}=\frac{\sqrt{5}-1}{2},\frac{AM}{MN}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
$\therefore \frac{AN}{AM}=\frac{AM}{MN}$,
$\therefore$ 点 $A$ 是线段 $MN$ 的黄金分割点。
【知识点】
1.黄金分割的定义
2.二次根式化简
【点评】
本题核心考查黄金分割的判定方法，解题的关键是牢记黄金分割的比例特征，通过计算线段长度、验证比例关系即可完成证明，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8

1. 在自然界中，黄金分割也很常见。鹦鹉螺是一类古老的软体动物，鹦鹉螺曲线的每个半径和前一个半径的比都是黄金比，是自然界最美的鬼斧神工。如图①所示的是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，图②是它的示意图，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB＝16 cm，则AP的长为（）。


A.$(24 - 8\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$
B.$(48 - 16\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$
C.$(16\sqrt{5} - 16)\ \mathrm{cm}$
D.$(8\sqrt{5} - 8)\ \mathrm{cm}$

1.D

【分析】
首先回忆黄金分割的定义：若点P将线段AB分为AP、BP两段，且$AP＞BP$，满足AP与AB的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则P是AB的黄金分割点。本题已知AB的总长度，且AP是较长的那段线段，因此直接用AB的长度乘以黄金比就能求出AP的长度。
【解析】
解：
∵点P是线段AB的黄金分割点，且$AP＞BP$，
∴较长线段AP与线段AB全长的比值为黄金比，即$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}· AB$，
已知$AB=16\ \mathrm{cm}$，将其代入公式计算：
$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×16=8(\sqrt{5}-1)=(8\sqrt{5}-8)\ \mathrm{cm}$，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割，二次根式运算
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查黄金分割的基本应用，解题的关键是明确黄金分割中较长线段和全长的比例关系，不要混淆较长线段和较短线段的对应比例即可快速求解。
【难度系数】
0.8