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9. 如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,$△ ABC$和$△ DEF$的顶点都在格点上,$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$是$△ DEF$三边上的5个点(均为格点),请按要求完成下列各题:
(1)判断$△ ABC$和$△ DEF$是否相似,并说明理由;
(2)在图中,以$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$中的三个点为顶点画出三角形,使画出的三角形与$△ ABC$相似。(要求:不写作法与证明)
(1)判断$△ ABC$和$△ DEF$是否相似,并说明理由;
(2)在图中,以$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$中的三个点为顶点画出三角形,使画出的三角形与$△ ABC$相似。(要求:不写作法与证明)
答案
9.解:(1)$△ ABC ∽ △ DEF$。理由如下：
由网格可知，$AB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5},AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5},BC=\sqrt{3^2+4^2}=5,$
$DE=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2},DF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2},EF=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10},$
$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4},\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4},$
$\frac{BC}{EF}=\frac{5}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{4},$
$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF},$
$\therefore △ ABC ∽ △ DEF$。
(2)如图，$△ P_2P_4P_5$为所求。
解析
【分析】
(1) 判断两个格点三角形是否相似，可选用“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理。首先结合网格边长为1的特点，用勾股定理分别计算两个三角形三条边的长度，再计算三组对应边的比值，若比值全部相等即可证明两三角形相似。
(2) 先明确△ABC的三边长度比，再对5个格点的组合进行筛选，找到三边长度比和△ABC完全一致的三点，连接构成三角形即可。
【解析】
(1) △ ABC ∽ △ DEF，理由如下：
已知小正方形边长为1，由勾股定理计算各边长度：
$AB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，网格作图
【点评】
本题以网格为背景，考查相似三角形的判定和作图，解题核心是熟练掌握勾股定理计算格点线段长度，以及运用三边成比例判定三角形相似的方法，注重对基础定理应用能力和观察能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 判断两个格点三角形是否相似，可选用“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理。首先结合网格边长为1的特点，用勾股定理分别计算两个三角形三条边的长度，再计算三组对应边的比值，若比值全部相等即可证明两三角形相似。
(2) 先明确△ABC的三边长度比，再对5个格点的组合进行筛选，找到三边长度比和△ABC完全一致的三点，连接构成三角形即可。
【解析】
(1) △ ABC ∽ △ DEF，理由如下：
已知小正方形边长为1，由勾股定理计算各边长度：
$AB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，网格作图
【点评】
本题以网格为背景，考查相似三角形的判定和作图，解题核心是熟练掌握勾股定理计算格点线段长度，以及运用三边成比例判定三角形相似的方法，注重对基础定理应用能力和观察能力的考查。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中,点$D,D'$分别在边$AB,A'B'$上,$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$。
(1)当$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$时,证明$△ ABC∽△ A'B'C'$的途径可以用下图表示,请填写空格中的内容；
(2)当$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$时,求证:$△ ABC∽△ A'B'C'$。
(1)当$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$时,证明$△ ABC∽△ A'B'C'$的途径可以用下图表示,请填写空格中的内容；
(2)当$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$时,求证:$△ ABC∽△ A'B'C'$。
答案
10.(1)$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AD}{A'D'}$ $∠ A=∠ A'$
(2)证明:$\because \frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'},$
$\therefore \frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'},$
$\therefore \frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{AB-AD}{A'B'-A'D'}=\frac{DB}{D'B'}$。
$\because \frac{CD}{C'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'},$
$\therefore \frac{CD}{C'D'}=\frac{DB}{D'B'}=\frac{BC}{B'C'},$
$\therefore △ BCD ∽ △ B'C'D',$
$\therefore ∠ B=∠ B'$。
$\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'},$
$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$。
(2)证明:$\because \frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'},$
$\therefore \frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'},$
$\therefore \frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{AB-AD}{A'B'-A'D'}=\frac{DB}{D'B'}$。
$\because \frac{CD}{C'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'},$
$\therefore \frac{CD}{C'D'}=\frac{DB}{D'B'}=\frac{BC}{B'C'},$
$\therefore △ BCD ∽ △ B'C'D',$
$\therefore ∠ B=∠ B'$。
$\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'},$
$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$。
解析
【分析】
(1) 要证$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，已知$\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，只需证夹角$∠ A=∠ A'$即可。由$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$可变形得$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$，结合给出的$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，可推导出$△ ADC$和$△ A'D'C'$的三组对应边成比例，证得两三角形相似即可得到$∠ A=∠ A'$，满足相似的判定条件。
(2) 要证$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，已知$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，只需证夹角$∠ B=∠ B'$即可。先利用比例的性质，由$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$推导得$\frac{DB}{D'B'}=\frac{AB}{A'B'}$，结合已知的边的比例关系，可证$△ BCD$和$△ B'C'D'$三边成比例进而相似，得到$∠ B=∠ B'$，即可证明目标三角形相似。
【解析】
(1) 由$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$得$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$，结合$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，可得$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AD}{A'D'}$，因此$△ ADC ∽ △ A'D'C'$，得$∠ A=∠ A'$，又$\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，故$△ ABC ∽ △ A'B'C'$。
(2) 证明：
$\because \frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'},$
$\therefore \frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'},$
由比例的性质可得：$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{AB-AD}{A'B'-A'D'}=\frac{DB}{D'B'}$。
$\because \frac{CD}{C'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'},$
$\therefore \frac{CD}{C'D'}=\frac{DB}{D'B'}=\frac{BC}{B'C'},$
$\therefore △ BCD ∽ △ B'C'D'$（三边成比例的两个三角形相似），
$\therefore ∠ B=∠ B'$。
又$\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'},$
$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1) $\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AD}{A'D'}$；$∠ A=∠ A'$
(2) 可证得$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，证明过程如上。
【知识点】
相似三角形的判定；比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的灵活运用，解题时需要先对已知比例式进行变形，先证明小三角形相似得到过渡的对应角相等的条件，再证明目标三角形相似，核心是找准比例转化的方向和中间过渡的相似三角形。
【难度系数】
0.6
(1) 要证$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，已知$\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，只需证夹角$∠ A=∠ A'$即可。由$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$可变形得$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$，结合给出的$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，可推导出$△ ADC$和$△ A'D'C'$的三组对应边成比例，证得两三角形相似即可得到$∠ A=∠ A'$，满足相似的判定条件。
(2) 要证$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，已知$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，只需证夹角$∠ B=∠ B'$即可。先利用比例的性质，由$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$推导得$\frac{DB}{D'B'}=\frac{AB}{A'B'}$，结合已知的边的比例关系，可证$△ BCD$和$△ B'C'D'$三边成比例进而相似，得到$∠ B=∠ B'$，即可证明目标三角形相似。
【解析】
(1) 由$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$得$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$，结合$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，可得$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AD}{A'D'}$，因此$△ ADC ∽ △ A'D'C'$，得$∠ A=∠ A'$，又$\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，故$△ ABC ∽ △ A'B'C'$。
(2) 证明：
$\because \frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'},$
$\therefore \frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'},$
由比例的性质可得：$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{AB-AD}{A'B'-A'D'}=\frac{DB}{D'B'}$。
$\because \frac{CD}{C'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'},$
$\therefore \frac{CD}{C'D'}=\frac{DB}{D'B'}=\frac{BC}{B'C'},$
$\therefore △ BCD ∽ △ B'C'D'$（三边成比例的两个三角形相似），
$\therefore ∠ B=∠ B'$。
又$\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'},$
$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1) $\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AD}{A'D'}$；$∠ A=∠ A'$
(2) 可证得$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，证明过程如上。
【知识点】
相似三角形的判定；比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的灵活运用，解题时需要先对已知比例式进行变形，先证明小三角形相似得到过渡的对应角相等的条件，再证明目标三角形相似，核心是找准比例转化的方向和中间过渡的相似三角形。
【难度系数】
0.6
