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3.【数学应用】一个钢筋三脚架的三边长分别为30 cm,60 cm,80 cm,要做一个和它相似的钢筋三脚架。现在只有长为40 cm和90 cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根上截两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有（
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种或4种以上
B
）。A.1种
B.2种
C.3种
D.4种或4种以上
答案
3.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用相似三角形对应边成比例的性质，先确定哪根钢筋作为完整边：若以90cm的钢筋为一边，另外两边需从40cm的钢筋上截取，两段长度之和最大为40cm，根据相似比计算可知对应两边之和必然大于40cm，因此该情况不成立，只能以40cm的钢筋为一边，从90cm的钢筋上截取另外两段。接下来分3种情况讨论40cm的边对应原三脚架的三条边的情况，分别计算另外两边的长度，验证两段之和是否≤90cm，符合条件的即为可行截法。
【解析】
因为两个三脚架相似，所以对应边成比例。
首先排除以90cm钢筋为完整边的情况：若90cm为一边，另外两边从40cm钢筋截取，两段和最大为40cm，原三脚架最小两边和为$30+60=90\mathrm{cm}$，根据相似比计算，对应两边之和必然大于40cm，不可能满足，因此只能以40cm为完整边，从90cm钢筋上截两段，设两段长分别为$x\mathrm{cm}$、$y\mathrm{cm}$（$x+y≤90$）。
分三种情况讨论：
1. 若40cm的边对应原三脚架30cm的边，相似比$k=\frac{40}{30}=\frac{4}{3}$，则另外两边长为$60×\frac{4}{3}=80\mathrm{cm}$，$80×\frac{4}{3}\approx106.67\mathrm{cm}$，$80+106.67＞90$，不符合要求，舍去。
2. 若40cm的边对应原三脚架60cm的边，相似比$k=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$，则另外两边长为$30×\frac{2}{3}=20\mathrm{cm}$，$80×\frac{2}{3}\approx53.33\mathrm{cm}$，$20+53.33\approx73.33＜90$，符合要求。
3. 若40cm的边对应原三脚架80cm的边，相似比$k=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$，则另外两边长为$30×\frac{1}{2}=15\mathrm{cm}$，$60×\frac{1}{2}=30\mathrm{cm}$，$15+30=45＜90$，符合要求。
综上，共有2种不同的截法。
【答案】
B
【知识点】
1.相似三角形的性质
2.分类讨论思想
【点评】
本题考查相似三角形性质的实际应用，解题时要先排除不可能的情况，再按对应边的不同情况分类讨论，结合边长限制条件判断可行性，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先利用相似三角形对应边成比例的性质，先确定哪根钢筋作为完整边：若以90cm的钢筋为一边，另外两边需从40cm的钢筋上截取，两段长度之和最大为40cm，根据相似比计算可知对应两边之和必然大于40cm，因此该情况不成立，只能以40cm的钢筋为一边，从90cm的钢筋上截取另外两段。接下来分3种情况讨论40cm的边对应原三脚架的三条边的情况，分别计算另外两边的长度，验证两段之和是否≤90cm，符合条件的即为可行截法。
【解析】
因为两个三脚架相似，所以对应边成比例。
首先排除以90cm钢筋为完整边的情况：若90cm为一边，另外两边从40cm钢筋截取，两段和最大为40cm，原三脚架最小两边和为$30+60=90\mathrm{cm}$，根据相似比计算，对应两边之和必然大于40cm，不可能满足，因此只能以40cm为完整边，从90cm钢筋上截两段，设两段长分别为$x\mathrm{cm}$、$y\mathrm{cm}$（$x+y≤90$）。
分三种情况讨论：
1. 若40cm的边对应原三脚架30cm的边，相似比$k=\frac{40}{30}=\frac{4}{3}$，则另外两边长为$60×\frac{4}{3}=80\mathrm{cm}$，$80×\frac{4}{3}\approx106.67\mathrm{cm}$，$80+106.67＞90$，不符合要求，舍去。
2. 若40cm的边对应原三脚架60cm的边，相似比$k=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$，则另外两边长为$30×\frac{2}{3}=20\mathrm{cm}$，$80×\frac{2}{3}\approx53.33\mathrm{cm}$，$20+53.33\approx73.33＜90$，符合要求。
3. 若40cm的边对应原三脚架80cm的边，相似比$k=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$，则另外两边长为$30×\frac{1}{2}=15\mathrm{cm}$，$60×\frac{1}{2}=30\mathrm{cm}$，$15+30=45＜90$，符合要求。
综上，共有2种不同的截法。
【答案】
B
【知识点】
1.相似三角形的性质
2.分类讨论思想
【点评】
本题考查相似三角形性质的实际应用，解题时要先排除不可能的情况，再按对应边的不同情况分类讨论，结合边长限制条件判断可行性，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
4. 如图，棋盘上有A，B，C三个黑子与P，Q两个白子，要使$△ ABC ∽ △ RPQ$，则第三个白子R所放的位置可以是（
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
D
）。A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
4.D
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理推导。第一步，设每个小方格的边长为1，通过勾股定理计算出△ABC的三边长，得到三边的比例关系；第二步，计算PQ的长度，结合相似三角形对应边成比例的性质，得出△RPQ另外两条边的长度要求；第三步，分别计算甲乙丙丁四个位置作为R点时PR、QR的长度，验证哪个位置满足三边对应成比例即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1。
1. 计算△ABC的三边长：
观察格点位置，BC在同一水平线上，长度为3；
AC横向相差1，纵向相差3，由勾股定理得：$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
AB横向相差2，纵向相差3，由勾股定理得：$AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$；
因此△ABC的三边长度比为$BC:AC:AB=3:\sqrt{10}:\sqrt{13}$。
2. 计算PQ的长度：P、Q在同一竖直线上，纵向相差6，所以$PQ=6$。
因为$△ ABC ∽ △ RPQ$，对应边成比例，相似比$k=\frac{PQ}{BC}=\frac{6}{3}=2$，因此：
$RP=k· AB=2\sqrt{13}$，$RQ=k· AC=2\sqrt{10}$。
3. 逐一验证各选项：
选项A（甲）：计算得$RP=2\sqrt{2}$，$RQ=2\sqrt{2}$，不满足要求，排除；
选项B（乙）：计算得$RP=\sqrt{13}$，$RQ=\sqrt{13}$，不满足要求，排除；
选项C（丙）：计算得$RP=2\sqrt{5}$，$RQ=2\sqrt{5}$，不满足要求，排除；
选项D（丁）：计算得$RP=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$，$RQ=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，满足三边对应成比例，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题结合格点考查相似三角形的判定，需要熟练掌握勾股定理计算格点线段长度，同时要注意相似三角形的字母对应顺序，准确找到对应边，避免因对应边混淆出错。
【难度系数】
0.65
要解决这个问题，我们可以利用“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理推导。第一步，设每个小方格的边长为1，通过勾股定理计算出△ABC的三边长，得到三边的比例关系；第二步，计算PQ的长度，结合相似三角形对应边成比例的性质，得出△RPQ另外两条边的长度要求；第三步，分别计算甲乙丙丁四个位置作为R点时PR、QR的长度，验证哪个位置满足三边对应成比例即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1。
1. 计算△ABC的三边长：
观察格点位置，BC在同一水平线上，长度为3；
AC横向相差1，纵向相差3，由勾股定理得：$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
AB横向相差2，纵向相差3，由勾股定理得：$AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$；
因此△ABC的三边长度比为$BC:AC:AB=3:\sqrt{10}:\sqrt{13}$。
2. 计算PQ的长度：P、Q在同一竖直线上，纵向相差6，所以$PQ=6$。
因为$△ ABC ∽ △ RPQ$，对应边成比例，相似比$k=\frac{PQ}{BC}=\frac{6}{3}=2$，因此：
$RP=k· AB=2\sqrt{13}$，$RQ=k· AC=2\sqrt{10}$。
3. 逐一验证各选项：
选项A（甲）：计算得$RP=2\sqrt{2}$，$RQ=2\sqrt{2}$，不满足要求，排除；
选项B（乙）：计算得$RP=\sqrt{13}$，$RQ=\sqrt{13}$，不满足要求，排除；
选项C（丙）：计算得$RP=2\sqrt{5}$，$RQ=2\sqrt{5}$，不满足要求，排除；
选项D（丁）：计算得$RP=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$，$RQ=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，满足三边对应成比例，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题结合格点考查相似三角形的判定，需要熟练掌握勾股定理计算格点线段长度，同时要注意相似三角形的字母对应顺序，准确找到对应边，避免因对应边混淆出错。
【难度系数】
0.65
5.【数学文化】中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂。如图所示的是中国象棋的棋盘（棋盘由边长相等的小正方形组成），根据“马走日”的规则，“马”落在位置
②
处，能使“马”“炮”“兵”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“车”“相”所在位置的格点构成的三角形相似。（填“①”“②”“③”或“④”）答案
5.②
解析
【分析】
要解决这道题，我们可按以下思路推导：首先设每个小正方形边长为1，利用勾股定理先算出“帅”“车”“相”构成的三角形的三边长，得到三边的比值；再分别计算“兵”“炮”和4个候选位置构成的三角形的三边长，找到三边比值和前者相等的位置，同时结合“马走日”的规则验证，即可得到正确答案。
【解析】
设棋盘上每个小正方形的边长为1。
1. 计算“帅”“车”“相”构成的三角形的三边长：
车与相在同一列，纵向间隔2个小正方形，距离为2；
帅与车在同一行，横向间隔4个小正方形，距离为4；
帅到相的距离由勾股定理得：$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
因此该三角形三边的比为$2:4:2\sqrt{5}=1:2:\sqrt{5}$。
2. 计算“兵”“炮”的距离：兵和炮在同一列，纵向间隔2个小正方形，距离为2。
3. 逐一验证候选位置：
若马在①处：三边长为1、1、2，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，排除；
若马在②处：炮到②的距离为1，兵到②的距离为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，三边为$1、2、\sqrt{5}$，比值为$1:2:\sqrt{5}$，和“帅”“车”“相”构成的三角形三边对应成比例，两三角形相似，且符合“马走日”的移动规则，符合要求；
若马在③、④处：要么不符合“马走日”的规则，要么构成的三角形三边比不满足相似要求，均排除。
【答案】
②
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题以中国象棋为文化背景，将传统棋类规则和数学知识结合，既考查了网格中线段长度的计算方法，也考查了相似三角形的判定定理，题目设计新颖，能引导学生关注生活中的数学应用。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可按以下思路推导：首先设每个小正方形边长为1，利用勾股定理先算出“帅”“车”“相”构成的三角形的三边长，得到三边的比值；再分别计算“兵”“炮”和4个候选位置构成的三角形的三边长，找到三边比值和前者相等的位置，同时结合“马走日”的规则验证，即可得到正确答案。
【解析】
设棋盘上每个小正方形的边长为1。
1. 计算“帅”“车”“相”构成的三角形的三边长：
车与相在同一列，纵向间隔2个小正方形，距离为2；
帅与车在同一行，横向间隔4个小正方形，距离为4；
帅到相的距离由勾股定理得：$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
因此该三角形三边的比为$2:4:2\sqrt{5}=1:2:\sqrt{5}$。
2. 计算“兵”“炮”的距离：兵和炮在同一列，纵向间隔2个小正方形，距离为2。
3. 逐一验证候选位置：
若马在①处：三边长为1、1、2，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，排除；
若马在②处：炮到②的距离为1，兵到②的距离为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，三边为$1、2、\sqrt{5}$，比值为$1:2:\sqrt{5}$，和“帅”“车”“相”构成的三角形三边对应成比例，两三角形相似，且符合“马走日”的移动规则，符合要求；
若马在③、④处：要么不符合“马走日”的规则，要么构成的三角形三边比不满足相似要求，均排除。
【答案】
②
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题以中国象棋为文化背景，将传统棋类规则和数学知识结合，既考查了网格中线段长度的计算方法，也考查了相似三角形的判定定理，题目设计新颖，能引导学生关注生活中的数学应用。
【难度系数】
0.7
6. 已知$△ ABC$和$△ A_1B_1C_1$，给出下列条件：①$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}$，②$\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$，③$∠ A=∠ A_1$，④$∠ B=∠ B_1$，⑤$∠ C=∠ C_1$。从上述条件中选两个组成一组，能判定$△ ABC ∽ △ A_1B_1C_1$的有________组。
答案
6.6
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆三角形相似的判定定理：1.两角分别相等的两个三角形相似；2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；3.三边成比例的两个三角形相似。我们将可选的两个条件分为三类逐一判断：第一类是两个角的组合，第二类是两个边比例的组合，第三类是一个边比例加一个角的组合，筛选出符合判定定理的组合即可。
【解析】
我们分类讨论所有符合要求的组合：
1. 选两个角的条件：从③$∠ A=∠ A_1$、④$∠ B=∠ B_1$、⑤$∠ C=∠ C_1$中任选两个，都满足“两角分别相等的两个三角形相似”，有效组合为：③④、③⑤、④⑤，共3组；
2. 选两个边比例的条件：选①$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}$和②$\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$，可得$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$，满足“三边成比例的两个三角形相似”，有效组合为：①②，共1组；
3. 选一个边比例+一个角的条件：
选①和④：$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}$，且两边AB、BC的夹角$∠ B=∠ B_1$，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，是有效组合；
选②和⑤：$\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$，且两边BC、AC的夹角$∠ C=∠ C_1$，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，是有效组合；
其余边+角的组合都不满足“夹角相等”的要求，无效，此类共2组有效。
综上，总有效组合数为$3+1+2=6$组。
【答案】
6
【知识点】
三角形相似的判定、分类讨论思想
【点评】
本题需要熟练掌握相似三角形的判定定理，分类讨论时要注意两边成比例时必须对应夹角相等才能判定相似，避免漏解或错判。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先回忆三角形相似的判定定理：1.两角分别相等的两个三角形相似；2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；3.三边成比例的两个三角形相似。我们将可选的两个条件分为三类逐一判断：第一类是两个角的组合，第二类是两个边比例的组合，第三类是一个边比例加一个角的组合，筛选出符合判定定理的组合即可。
【解析】
我们分类讨论所有符合要求的组合：
1. 选两个角的条件：从③$∠ A=∠ A_1$、④$∠ B=∠ B_1$、⑤$∠ C=∠ C_1$中任选两个，都满足“两角分别相等的两个三角形相似”，有效组合为：③④、③⑤、④⑤，共3组；
2. 选两个边比例的条件：选①$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}$和②$\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$，可得$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$，满足“三边成比例的两个三角形相似”，有效组合为：①②，共1组；
3. 选一个边比例+一个角的条件：
选①和④：$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}$，且两边AB、BC的夹角$∠ B=∠ B_1$，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，是有效组合；
选②和⑤：$\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$，且两边BC、AC的夹角$∠ C=∠ C_1$，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，是有效组合；
其余边+角的组合都不满足“夹角相等”的要求，无效，此类共2组有效。
综上，总有效组合数为$3+1+2=6$组。
【答案】
6
【知识点】
三角形相似的判定、分类讨论思想
【点评】
本题需要熟练掌握相似三角形的判定定理，分类讨论时要注意两边成比例时必须对应夹角相等才能判定相似，避免漏解或错判。
【难度系数】
0.6
7. 如图，在正方形网格中有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①$△ ABC$，②$△ ADE$，③$△ AEF$，④$△ AFH$，⑤$△ AHG$。在②至⑤中，与①相似的三角形有
②④
。（填序号）答案
7.②④
解析
【分析】
要判断格点三角形是否相似，我们可以先设每个小正方形的边长为1，将三角形相似的判定转化为边长比例的判定：首先利用勾股定理求出①$△ ABC$的三边长，得到其三边的比值，再依次计算②~⑤每个三角形的三边长，得到各自的三边比值，若与①的三边比值完全相同，则两个三角形相似。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算各三角形的边长：
1. 计算①$△ ABC$的三边长：
$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=2$，$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
三边之比为$AB:BC:AC=\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
2. 计算②$△ ADE$的三边长：
$AD=1$，$DE=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AE=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
三边之比为$AD:DE:AE=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与$△ ABC$的三边比相等，故$△ ADE$与$△ ABC$相似。
3. 计算③$△ AEF$的三边长：
$EF=1$，$AE=\sqrt{5}$，$AF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
三边之比为$1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，与$△ ABC$的三边比不相等，故不相似。
4. 计算④$△ AFH$的三边长：
$FH=2$，$AF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AH=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
三边之比为$FH:AF:AH=2:2\sqrt{2}:2\sqrt{5}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与$△ ABC$的三边比相等，故$△ AFH$与$△ ABC$相似。
5. 计算⑤$△ AHG$的三边长：
$HG=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AH=2\sqrt{5}$，$AG=5$，
三边之比为$\sqrt{5}:2\sqrt{5}:5=1:2:\sqrt{5}$，与$△ ABC$的三边比不相等，故不相似。
综上，与①相似的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是格点三角形相似判定的典型题型，解题关键是通过设单位长度用勾股定理求出各边长度，再利用三边成比例判断三角形相似，能很好地考查学生对相似三角形判定的掌握和计算能力。
【难度系数】
0.7
要判断格点三角形是否相似，我们可以先设每个小正方形的边长为1，将三角形相似的判定转化为边长比例的判定：首先利用勾股定理求出①$△ ABC$的三边长，得到其三边的比值，再依次计算②~⑤每个三角形的三边长，得到各自的三边比值，若与①的三边比值完全相同，则两个三角形相似。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算各三角形的边长：
1. 计算①$△ ABC$的三边长：
$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=2$，$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
三边之比为$AB:BC:AC=\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
2. 计算②$△ ADE$的三边长：
$AD=1$，$DE=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AE=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
三边之比为$AD:DE:AE=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与$△ ABC$的三边比相等，故$△ ADE$与$△ ABC$相似。
3. 计算③$△ AEF$的三边长：
$EF=1$，$AE=\sqrt{5}$，$AF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
三边之比为$1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，与$△ ABC$的三边比不相等，故不相似。
4. 计算④$△ AFH$的三边长：
$FH=2$，$AF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AH=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
三边之比为$FH:AF:AH=2:2\sqrt{2}:2\sqrt{5}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与$△ ABC$的三边比相等，故$△ AFH$与$△ ABC$相似。
5. 计算⑤$△ AHG$的三边长：
$HG=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AH=2\sqrt{5}$，$AG=5$，
三边之比为$\sqrt{5}:2\sqrt{5}:5=1:2:\sqrt{5}$，与$△ ABC$的三边比不相等，故不相似。
综上，与①相似的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是格点三角形相似判定的典型题型，解题关键是通过设单位长度用勾股定理求出各边长度，再利用三边成比例判断三角形相似，能很好地考查学生对相似三角形判定的掌握和计算能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点F,点E在BD上,且$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$。
求证:(1)$∠1=∠2$；
(2)$△ ADF ∽ △ BCF$。
求证:(1)$∠1=∠2$；
(2)$△ ADF ∽ △ BCF$。
答案
8.证明:(1) $\because \frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD},$
$\therefore △ ABC ∽ △ AED,$
$\therefore ∠ BAC=∠ EAD,$
$\therefore ∠ BAC-∠ EAF=∠ EAD-∠ EAF,$
$\therefore ∠ 1=∠ 2$。
(2) $\because △ ABC ∽ △ AED,$
$\therefore ∠ ADE=∠ ACB$。
$\because ∠ AFD=∠ BFC,$
$\therefore △ ADF ∽ △ BCF$。
$\therefore △ ABC ∽ △ AED,$
$\therefore ∠ BAC=∠ EAD,$
$\therefore ∠ BAC-∠ EAF=∠ EAD-∠ EAF,$
$\therefore ∠ 1=∠ 2$。
(2) $\because △ ABC ∽ △ AED,$
$\therefore ∠ ADE=∠ ACB$。
$\because ∠ AFD=∠ BFC,$
$\therefore △ ADF ∽ △ BCF$。
解析
【分析】
(1) 要证明∠1=∠2，首先观察已知给出了三组对应边成比例，可先利用“三边成比例的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED，得到对应角∠BAC=∠EAD，再将这两个等角同时减去公共角∠EAF，即可推出∠1=∠2。
(2) 要证明△ADF∽△BCF，可先由(1)中已证的△ABC∽△AED，得到对应角∠ADE=∠ACB，再结合对顶角∠AFD=∠BFC，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可完成证明。
【解析】
(1) 已知$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$，根据三边成比例的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ AED$。
根据相似三角形对应角相等，得$∠ BAC=∠ EAD$。
等式两边同时减去公共角$∠ EAF$，可得$∠ BAC-∠ EAF=∠ EAD-∠ EAF$，即$∠1=∠2$。
(2) 由$△ ABC ∽ △ AED$，根据相似三角形对应角相等，得$∠ ADE=∠ ACB$，即$∠ ADF=∠ BCF$。
又$∠ AFD$和$∠ BFC$是对顶角，故$∠ AFD=∠ BFC$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ADF ∽ △ BCF$。
【答案】
(1) $\because \frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD},$
$\therefore △ ABC ∽ △ AED,$
$\therefore ∠ BAC=∠ EAD,$
$\therefore ∠ BAC-∠ EAF=∠ EAD-∠ EAF,$
$\therefore ∠ 1=∠ 2$。
(2) $\because △ ABC ∽ △ AED,$
$\therefore ∠ ADE=∠ ACB$。
$\because ∠ AFD=∠ BFC,$
$\therefore △ ADF ∽ △ BCF$。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题主要考查相似三角形判定与性质的综合应用，解题的关键是先由已知的三边成比例推出第一组三角形相似，再借助相似得到的等角条件结合对顶角相等，完成第二组相似的证明，逻辑连贯性较强，需要熟练掌握相似的相关定理。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠1=∠2，首先观察已知给出了三组对应边成比例，可先利用“三边成比例的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED，得到对应角∠BAC=∠EAD，再将这两个等角同时减去公共角∠EAF，即可推出∠1=∠2。
(2) 要证明△ADF∽△BCF，可先由(1)中已证的△ABC∽△AED，得到对应角∠ADE=∠ACB，再结合对顶角∠AFD=∠BFC，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可完成证明。
【解析】
(1) 已知$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$，根据三边成比例的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ AED$。
根据相似三角形对应角相等，得$∠ BAC=∠ EAD$。
等式两边同时减去公共角$∠ EAF$，可得$∠ BAC-∠ EAF=∠ EAD-∠ EAF$，即$∠1=∠2$。
(2) 由$△ ABC ∽ △ AED$，根据相似三角形对应角相等，得$∠ ADE=∠ ACB$，即$∠ ADF=∠ BCF$。
又$∠ AFD$和$∠ BFC$是对顶角，故$∠ AFD=∠ BFC$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ADF ∽ △ BCF$。
【答案】
(1) $\because \frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD},$
$\therefore △ ABC ∽ △ AED,$
$\therefore ∠ BAC=∠ EAD,$
$\therefore ∠ BAC-∠ EAF=∠ EAD-∠ EAF,$
$\therefore ∠ 1=∠ 2$。
(2) $\because △ ABC ∽ △ AED,$
$\therefore ∠ ADE=∠ ACB$。
$\because ∠ AFD=∠ BFC,$
$\therefore △ ADF ∽ △ BCF$。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题主要考查相似三角形判定与性质的综合应用，解题的关键是先由已知的三边成比例推出第一组三角形相似，再借助相似得到的等角条件结合对顶角相等，完成第二组相似的证明，逻辑连贯性较强，需要熟练掌握相似的相关定理。
【难度系数】
0.7
