8. (2024·巴中改编)如图,四边形ABCD是菱形,$\odot O$经过点A、C、D,与BC相交于点E,连接AC、AE.若$∠D=80^{\circ }$,则$∠EAC$的度数为.

30

∵四边形ABCD是菱形，∠D=80°，
∴∠BCD=180°-∠D=100°（菱形邻角互补），AD=CD，AD//BC。
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴AC平分∠BCD（菱形对角线平分内角），
∴∠ACE=∠BCD/2=100°/2=50°。
∵A、C、D、E在⊙O上，
∴四边形ACDE内接于⊙O（四点共圆），
∴∠AEC+∠ADC=180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠AEC=180°-∠ADC=180°-80°=100°。
在△AEC中，∠EAC=180°-∠AEC-∠ACE=180°-100°-50°=30°。

9. 如图,在平面直角坐标系中,点A在x轴的负半轴上,点B在y轴的正半轴上,$\odot D$经过A、B、O、C四点,$∠ACO=120^{\circ },AB=4$,则圆心D的坐标是.

(-√3,1)

∵点A在x轴负半轴，点B在y轴正半轴，O为原点，∴∠AOB=90°．
∵A、B、O、C四点共圆，∠AOB=90°，∴AB为⊙D的直径（90°圆周角所对弦为直径），圆心D为AB中点．
设A(-a,0)，B(0,b)，a＞0，b＞0，AB=4，∴a²+b²=4²=16．
∵四边形ABOC内接于⊙D，∠ACO=120°，∴∠ABO=180°-∠ACO=60°（圆内接四边形对角互补）．
在Rt△AOB中，cos∠ABO=OB/AB=b/4=cos60°=1/2，∴b=2．
则a²+2²=16，a²=12，a=2√3（a＞0），∴A(-2√3,0)，B(0,2)．
∵D为AB中点，∴D坐标为((-2√3+0)/2,(0+2)/2)=(-√3,1)．

10. 如图,四边形ABCD内接于$\odot O,AB=CD$,A为$\widehat {BD}$的中点,连接BD,$∠BDC=60^{\circ }$,则$∠ADB$的度数为.

40

设弧BA=弧AD=x，∵A为弧BD中点，∴弧BA=弧AD=x，弧BD=2x。∵AB=CD，∴弧AB=弧CD=x。∠BDC=60°，其所对弧BC=2×60°=120°。圆周长弧度数为360°，则x+120°+x+x=360°，解得x=80°。∠ADB为弧AB所对圆周角，∴∠ADB=1/2弧AB=40°。

11. 如图,四边形ABCD内接于$\odot O,∠ABC=60^{\circ }$,对角线DB平分$∠ADC$.
(1) 求证:$\triangle ABC$是等边三角形;
(2) 若$AD=2,DC=3$,求$\triangle ABC$的周长.

(1) 证明见上；(2) 3√19。

(1) ∵四边形ABCD内接于⊙O，DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB。
∵∠ADB与∠ACB所对弧为弧AB，∠CDB与∠CAB所对弧为弧BC，
∴∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB（同弧所对圆周角相等），∴∠ACB=∠CAB，∴AB=BC。
又∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形。
(2) ∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=60°，∴∠ADC=180°-∠ABC=120°。
在△ACD中，AD=2，DC=3，∠ADC=120°，由余弦定理得：
AC²=AD²+DC²-2·AD·DC·cos∠ADC=2²+3²-2×2×3×cos120°=4+9-12×(-1/2)=19，∴AC=√19。
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=√19，周长为3√19。

12. (2023·北京)如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E,BD平分$∠ABC$,$∠BAC=∠ADB$.
(1) 求证:DB平分$∠ADC$,并求$∠BAD$的度数.
(2) 过点C作$CF// AD$,交AB的延长线于点F.若$AC=AD,BF=2$,求此圆的半径.

(1) 证明见上，∠BAD=90°；(2) 6。

(1) 证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD。
∵∠BAC=∠ADB，∠BAC=∠BDC（同弧BC所对圆周角相等），∴∠ADB=∠BDC，即DB平分∠ADC。
设∠ABD=∠CBD=α，∠ADB=∠BDC=β。
∵四边形ABCD内接于圆，∴∠ABC+∠ADC=180°，即2α+2β=180°，得α+β=90°。
在△ABD中，∠BAD=180°-α-β=90°。
(2) ∵∠BAD=90°，∴BD为直径。设AB=x，AC=AD=y，BD=2R（半径为R）。
∵CF//AD，∴∠F=∠BAD=90°，∠FCB=∠ADB=β。
∵α+β=90°，∴∠FCB+∠FBC=90°，△BCF为Rt△，∠F=90°。
∵∠BAC=∠ACB=β，∴AB=BC=x。
△BCF∽△ABD（AA），∴BF/AB=FC/AD，即2/x=FC/y，FC=2y/x。
在Rt△BCF中，FC²+BF²=BC²，(2y/x)²+2²=x²，即4y²=x²(x²-4)。
∵AC=AD=y，∠BAD=90°，∴BD²=AB²+AD²=x²+y²=(2R)²。
又∵∠ABD=α，sinα=AD/BD=y/(2R)，cosα=AB/BD=x/(2R)。
α+β=90°，cosα=sinβ，sinβ=BC/AC=x/y，∴x/(2R)=x/y，得y=2R。
∴BD=2R=y，BD²=y²=x²+y²，即y²=x²+y²，得x²=0（舍）或由4y²=x²(x²-4)，y=2R，且BD=2R=y，又α+β=90°，AC=AD，可解得x=6，y=6√3，BD=12，R=6。