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1.(2024·苏州工业园区期中)下列说法正确的是()
A.等弧所对的圆周角相等
B.平分弦的直径垂直于弦
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
A.等弧所对的圆周角相等
B.平分弦的直径垂直于弦
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
答案
A
解析
A. 根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，该选项正确。
B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，这里没有说明弦不是直径，所以该选项错误。
C. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，这里缺少前提条件，所以该选项错误。
D. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，对称轴是直线，不是直径，所以该选项错误。
B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，这里没有说明弦不是直径，所以该选项错误。
C. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，这里缺少前提条件，所以该选项错误。
D. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，对称轴是直线，不是直径，所以该选项错误。
2.(2023·凉山)如图，在$\odot O$中，$OA\perp BC$，$\angle ADB=30^{\circ}$，$BC=2\sqrt{3}$，则$OC$的长为()
A.1
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.4
A.1
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.4
答案
B
解析
连接OB，设OA与BC交于点E。
∵OA⊥BC，BC=2√3，
∴BE=CE=√3（垂径定理）。
∵∠ADB=30°，
∴∠AOB=2∠ADB=60°（同弧所对圆心角是圆周角的2倍）。
设OE=x，则OB=OA=OE+AE=x+AE。
在Rt△OBE中，∠OEB=90°，∠BOE=60°，
∴OB=2OE=2x（30°角所对直角边是斜边一半），BE=√3OE=√3x。
∵BE=√3，
∴√3x=√3，解得x=1。
∴OB=2x=2，
∵OC=OB（同圆半径相等），
∴OC=2。
∵OA⊥BC，BC=2√3，
∴BE=CE=√3（垂径定理）。
∵∠ADB=30°，
∴∠AOB=2∠ADB=60°（同弧所对圆心角是圆周角的2倍）。
设OE=x，则OB=OA=OE+AE=x+AE。
在Rt△OBE中，∠OEB=90°，∠BOE=60°，
∴OB=2OE=2x（30°角所对直角边是斜边一半），BE=√3OE=√3x。
∵BE=√3，
∴√3x=√3，解得x=1。
∴OB=2x=2，
∵OC=OB（同圆半径相等），
∴OC=2。
3. 如图，$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆，且$AB=AC$，$\angle BAC=36^{\circ}$，在$\overset{\frown}{AB}$上取点$D$(不与点$A$、$B$重合)，连接$BD$、$AD$，则$\angle BAD+\angle ABD$的度数为()
A.$60^{\circ}$
B.$62^{\circ}$
C.$72^{\circ}$
D.$73^{\circ}$
A.$60^{\circ}$
B.$62^{\circ}$
C.$72^{\circ}$
D.$73^{\circ}$
答案
C
解析
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)/2=72°。
∵∠ADB与∠ACB是同弧AB所对的圆周角，
∴∠ADB=∠ACB=72°。
在△ABD中，∠BAD+∠ABD=180°-∠ADB=180°-72°=72°。
4.(2024·滨州)如图，四边形$ABCD$内接于$\odot O$，若四边形$OABC$是菱形，则$\angle D$的度数为()
A.$45^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$75^{\circ}$
A.$45^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$75^{\circ}$
答案
C
解析
∵四边形OABC是菱形，∴OA=AB=BC=OC。
∵OA、OB、OC是⊙O的半径，∴OA=OB=OC。
∴OA=OB=AB，△OAB是等边三角形，∠AOB=60°；同理，OC=OB=BC，△OBC是等边三角形，∠BOC=60°。
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+60°=120°，即弧AC的度数为120°。
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D是圆周角，其所对的弧为弧ABC，弧ABC的度数=弧AB+弧BC=60°+60°=120°。
∴∠D=1/2×弧ABC的度数=1/2×120°=60°。
∵OA、OB、OC是⊙O的半径，∴OA=OB=OC。
∴OA=OB=AB，△OAB是等边三角形，∠AOB=60°；同理，OC=OB=BC，△OBC是等边三角形，∠BOC=60°。
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+60°=120°，即弧AC的度数为120°。
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D是圆周角，其所对的弧为弧ABC，弧ABC的度数=弧AB+弧BC=60°+60°=120°。
∴∠D=1/2×弧ABC的度数=1/2×120°=60°。
5.(2024·陕西)如图，$BC$是$\odot O$的弦，连接$OB$、$OC$，$\angle A$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，则$\angle A$与$\angle OBC$的度数和为.
答案
$90°$
解析
令 $\angle A = \alpha$，$\angle OBC = \beta$，则 $\angle OCB = \beta$（由于 $OB = OC$，三角形 $OBC$ 为等腰三角形）。
根据圆周角定理，$\angle A$ 所对的弧 $BC$ 的圆周角为 $\alpha$，而圆心角 $\angle BOC = 2\alpha$。
在三角形 $OBC$ 中，内角和为 $180°$，即：
$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180°$
$2\alpha + \beta + \beta = 180°$
$2\alpha + 2\beta = 180°$
$\alpha + \beta = 90°$
因此，$\angle A$ 与 $\angle OBC$ 的度数和为 $90°$。
根据圆周角定理，$\angle A$ 所对的弧 $BC$ 的圆周角为 $\alpha$，而圆心角 $\angle BOC = 2\alpha$。
在三角形 $OBC$ 中，内角和为 $180°$，即：
$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180°$
$2\alpha + \beta + \beta = 180°$
$2\alpha + 2\beta = 180°$
$\alpha + \beta = 90°$
因此，$\angle A$ 与 $\angle OBC$ 的度数和为 $90°$。
6.(方程思想)(2024·苏州期末)《九章算术》中有这样一道题：如图，今有一圆柱形木材埋在墙壁中，不知其大小.设其横截面为$\odot O$，用锯子去锯这个木材，锯口深$AB$为1寸，锯道长$CD$为1尺.由此可得这个圆柱形木材横截面的直径是尺(注：1尺=10寸).
答案
2.6
解析
设圆柱形木材的横截面$\odot O$的半径为$r$寸。
根据题意，锯口深$AB = 1$寸，锯道长$CD = 1$尺$= 10$寸。
由于$OA = OD = r$，且$AB \perp CD$，
所以$BD = \frac{CD}{2} = 5$寸（垂径定理）。
在直角三角形$OBD$中，根据勾股定理，有：
$OD^2 = OB^2 + BD^2$，
$r^2 = (r - 1)^2 + 5^2$，
$r^2 = r^2 - 2r + 1 + 25$，
$2r = 26$，
$r = 13$。
因此，圆柱形木材横截面的直径为$2r = 26$寸$= 2.6$尺。
根据题意，锯口深$AB = 1$寸，锯道长$CD = 1$尺$= 10$寸。
由于$OA = OD = r$，且$AB \perp CD$，
所以$BD = \frac{CD}{2} = 5$寸（垂径定理）。
在直角三角形$OBD$中，根据勾股定理，有：
$OD^2 = OB^2 + BD^2$，
$r^2 = (r - 1)^2 + 5^2$，
$r^2 = r^2 - 2r + 1 + 25$，
$2r = 26$，
$r = 13$。
因此，圆柱形木材横截面的直径为$2r = 26$寸$= 2.6$尺。
7.(2023·郴州)如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点$P$处安装了一台监视器，它的监控角度是$55^{\circ}$，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上安装这样的监视器台.
答案
4
解析
监视器的监控角度为圆周角55°，根据圆周角定理，其对应的弧度数为2×55°=110°（即能覆盖110°的圆心角范围）。要覆盖整个圆周（360°），需计算360°÷110°≈3.27，向上取整得4。故最少需要安装4台。
8.(2023·泰安)如图，$AB$是$\odot O$的直径，$D$、$C$是$\odot O$上的点，$\angle ADC=115^{\circ}$，则$\angle BAC$的度数为.
答案
25
解析
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=115°，∴∠ABC=180°-∠ADC=65°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.
在Rt△ABC中，∠BAC+∠ABC=90°，∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-65°=25°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.
在Rt△ABC中，∠BAC+∠ABC=90°，∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-65°=25°.
9. 如图，$\odot O$的半径是2，直线$l$与$\odot O$相交于$A$、$B$两点，$M$、$N$是$\odot O$上的两个动点，且在直线$l$的异侧.若$\angle AMB=45^{\circ}$，则四边形$MANB$面积的最大值是.
答案
4√2
解析
连接OA、OB，∵∠AMB=45°，∠AMB是圆周角，∴∠AOB=2∠AMB=90°（同弧所对圆心角是圆周角2倍）。
∵OA=OB=2（半径），∴△AOB是等腰直角三角形，AB=√(OA²+OB²)=√(2²+2²)=2√2。
四边形MANB面积S=S△MAB+S△NAB=(1/2)AB·h₁+(1/2)AB·h₂=(1/2)AB(h₁+h₂)，其中h₁、h₂分别为M、N到AB的距离。
M、N在直线l异侧，h₁+h₂最大值为圆直径（M、N分别为过圆心垂直AB的直线与圆的交点），即h₁+h₂=2×2=4。
∴S_max=(1/2)×2√2×4=4√2。
∵OA=OB=2（半径），∴△AOB是等腰直角三角形，AB=√(OA²+OB²)=√(2²+2²)=2√2。
四边形MANB面积S=S△MAB+S△NAB=(1/2)AB·h₁+(1/2)AB·h₂=(1/2)AB(h₁+h₂)，其中h₁、h₂分别为M、N到AB的距离。
M、N在直线l异侧，h₁+h₂最大值为圆直径（M、N分别为过圆心垂直AB的直线与圆的交点），即h₁+h₂=2×2=4。
∴S_max=(1/2)×2√2×4=4√2。
