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1. 有下列命题:①圆内接平行四边形是矩形;②圆内接矩形是正方形;③圆内接菱形是正方形.其中,真命题是 ()
A.①②
B.①②③
C.②③
D.①③
A.①②
B.①②③
C.②③
D.①③
答案
D
解析
①圆内接平行四边形对角互补，平行四边形对角相等，故四角均为90°，是矩形，真命题；②圆内接矩形只需满足四个角为直角，邻边不一定相等，不一定是正方形，假命题；③圆内接菱形对角互补，菱形对角相等，故四角均为90°，是正方形，真命题。综上，真命题是①③。
2. (2024·吉林)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,过点B作$BE// AD$,交CD于点E.若$∠BEC=50^{\circ }$,则$∠ABC$的度数是 ()
A.$50^{\circ }$
B.$100^{\circ }$
C.$130^{\circ }$
D.$150^{\circ }$
A.$50^{\circ }$
B.$100^{\circ }$
C.$130^{\circ }$
D.$150^{\circ }$
答案
C
解析
∵BE//AD，
∴∠D=∠BEC=50°（两直线平行，同位角相等）。
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠D=180°（圆内接四边形对角互补）。
∴∠ABC=180°-∠D=180°-50°=130°。
3. 如图,四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形,$∠C=∠D$,则AB与CD之间的位置关系是.
答案
AB//CD
解析
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。∵∠C=∠D，∴∠A=∠B。∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴2∠A+2∠C=360°，即∠A+∠C=180°。又∵∠A=∠B，∴∠B+∠C=180°，∴AB//CD。
4. 如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,AD与BC的延长线交于点E,BA与CD的延长线交于点F,$∠DCE=80^{\circ },∠F=25^{\circ }$,则$∠E$的度数为.
答案
45
解析
∵∠DCE=80°，∠DCE+∠BCD=180°，∴∠BCD=100°。
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BAD=180°-100°=80°。
∵∠F=25°，∠FAD=180°-∠BAD=100°，在△FAD中，∠FDA=180°-∠F-∠FAD=180°-25°-100°=55°。
∵∠CDE=∠FDA=55°（对顶角相等），在△DCE中，∠E=180°-∠DCE-∠CDE=180°-80°-55°=45°。
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BAD=180°-100°=80°。
∵∠F=25°，∠FAD=180°-∠BAD=100°，在△FAD中，∠FDA=180°-∠F-∠FAD=180°-25°-100°=55°。
∵∠CDE=∠FDA=55°（对顶角相等），在△DCE中，∠E=180°-∠DCE-∠CDE=180°-80°-55°=45°。
5. 如图,$\odot O_{1}$和$\odot O_{2}$都经过A、B两点.经过点A的直线CD交$\odot O_{1}$于点C,交$\odot O_{2}$于点D;经过点B的直线EF交$\odot O_{1}$于点E,交$\odot O_{2}$于点F.试判断CE与DF是否平行,并说明理由.
答案
连接AB。
∵四边形CEAB内接于⊙O₁，
∴∠CEB + ∠CAB = 180°（圆内接四边形对角互补）。
∵四边形DFBA内接于⊙O₂，
∴∠DFB + ∠DAB = 180°（圆内接四边形对角互补）。
∵C、A、D共线，
∴∠CAB = ∠DAB，
∴∠CEB = ∠DFB。
∵E、B、F共线，
∴∠CEB = ∠CEF，∠DFB = ∠DFE，
∴∠CEF = ∠DFE。
∴CE//DF（内错角相等，两直线平行）。
结论：CE与DF平行。
∵四边形CEAB内接于⊙O₁，
∴∠CEB + ∠CAB = 180°（圆内接四边形对角互补）。
∵四边形DFBA内接于⊙O₂，
∴∠DFB + ∠DAB = 180°（圆内接四边形对角互补）。
∵C、A、D共线，
∴∠CAB = ∠DAB，
∴∠CEB = ∠DFB。
∵E、B、F共线，
∴∠CEB = ∠CEF，∠DFB = ∠DFE，
∴∠CEF = ∠DFE。
∴CE//DF（内错角相等，两直线平行）。
结论：CE与DF平行。
6. 如图,点C、D在以AB为直径的半圆O上,且$∠ADC=120^{\circ }$,E是$\widehat {AD}$上任意一点,连接BC、BE、CE,则$∠BEC$的度数为 ()
A.$20^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$40^{\circ }$
D.$60^{\circ }$
A.$20^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$40^{\circ }$
D.$60^{\circ }$
答案
B
解析
连接$AC$，$\because AB$为直径，$\therefore \angle ACB=90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
$\because$四边形$ADCB$为圆的内接四边形，$\therefore \angle ADC+\angle B=180^{\circ}$，$\angle ADC=120^{\circ}$，$\therefore \angle B=60^{\circ}$。
$\therefore \angle BAC=180^{\circ}-\angle ACB-\angle B=180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
$\because \angle BEC=\angle BAC$（同弧所对的圆周角相等），$\therefore \angle BEC=30^{\circ}$。
$\because$四边形$ADCB$为圆的内接四边形，$\therefore \angle ADC+\angle B=180^{\circ}$，$\angle ADC=120^{\circ}$，$\therefore \angle B=60^{\circ}$。
$\therefore \angle BAC=180^{\circ}-\angle ACB-\angle B=180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
$\because \angle BEC=\angle BAC$（同弧所对的圆周角相等），$\therefore \angle BEC=30^{\circ}$。
7. (2023·淮安)如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,BC是$\odot O$的直径,$BC=2CD$,则$∠BAD$的度数为.
答案
120°
解析
连接OD，设⊙O半径为r，∵BC是直径，∴BC=2r，OC=OD=r。∵BC=2CD，∴CD=r，∴OC=OD=CD=r，△OCD为等边三角形，∠COD=60°。
∵BC是直径，∴∠BDC=90°（直径所对圆周角是直角）。在Rt△BDC中，CD=BC/2，∴∠BCD=60°（30°所对直角边是斜边一半的逆用）。
∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形对角互补），∴∠BAD=180°-60°=120°。
∵BC是直径，∴∠BDC=90°（直径所对圆周角是直角）。在Rt△BDC中，CD=BC/2，∴∠BCD=60°（30°所对直角边是斜边一半的逆用）。
∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形对角互补），∴∠BAD=180°-60°=120°。
