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1. [2026合肥四十五中月考] 下列运用等式的基本性质进行的变形中，正确的是 (
A.如果$a = b$，那么$a + c = b - c$
B.如果$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$，那么$a = b$
C.如果$a = b$，那么$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$
D.如果$a^2 = 5a$，那么$a = 5$
B
)A.如果$a = b$，那么$a + c = b - c$
B.如果$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$，那么$a = b$
C.如果$a = b$，那么$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$
D.如果$a^2 = 5a$，那么$a = 5$
答案
1 B 如果$a = b$,那么$a + c = b + c$,故A项不符合题意;已知$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$,等式两边都乘c,得$a = b$,故B项符合题意;当$c = 0$时,不能由$a = b$推出$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$,故C项不符合题意;当$a = 0$时,不能由$a^2 = 5a$推出$a = 5$,故D项不符合题意。
2. 下列等式变形正确的是 （
A.如果 $ s = \frac{b}{2} + a $，那么 $ b = \frac{s - a}{2} $
B.如果 $ \frac{1}{2}x = 6 $，那么 $ x = 3 $
C.如果 $ x - 3 = y - 3 $，那么 $ x - y = 0 $
D.如果 $ mx = my $，那么 $ x = y $
C
）A.如果 $ s = \frac{b}{2} + a $，那么 $ b = \frac{s - a}{2} $
B.如果 $ \frac{1}{2}x = 6 $，那么 $ x = 3 $
C.如果 $ x - 3 = y - 3 $，那么 $ x - y = 0 $
D.如果 $ mx = my $，那么 $ x = y $
答案
2 C A项,如果$s = \frac{b}{2} + a$,那么$b = 2(s - a)$,故A项错误;B项,如果$\frac{1}{2}x = 6$,那么$x = 12$,故B项错误;D项,如果$mx = my$,且$m = 0$,那么x与y不一定相等,故D项错误。
避坑指南
本题易忽略m可能为0,导致错选D。对等式的基本性质要理解并熟练掌握,尤其是在等式两边同时除以一个数或式子时,要保证除数不为0。
避坑指南
本题易忽略m可能为0,导致错选D。对等式的基本性质要理解并熟练掌握,尤其是在等式两边同时除以一个数或式子时,要保证除数不为0。
3. [2026 烟台期中]解方程:$2x - 1 = 5x - 3$。
答案
3 解:移项,得$2x - 5x = -3 + 1$,
合并同类项,得$-3x = -2$,
方程的两边都除以-3,得$x = \frac{2}{3}$。
避坑指南
错解:移项,得$2x + 5x = -3 - 1$,合并同类项,得$7x = -4$,方程的两边都除以7,得$x = -\frac{4}{7}$。
分析:移项时,出现了不变号的错误,产生错误的主要原因是对等式的性质理解不透彻。
合并同类项,得$-3x = -2$,
方程的两边都除以-3,得$x = \frac{2}{3}$。
避坑指南
错解:移项,得$2x + 5x = -3 - 1$,合并同类项,得$7x = -4$,方程的两边都除以7,得$x = -\frac{4}{7}$。
分析:移项时,出现了不变号的错误,产生错误的主要原因是对等式的性质理解不透彻。
4. [2026 深圳宝安区月考] 解方程: $2(x - 5) - 3(8 - 2x) = 14$。
答案
4 解:去括号,得$2x - 10 - 24 + 6x = 14$,
移项,得$2x + 6x = 14 + 24 + 10$,
合并同类项,得$8x = 48$,
方程的两边都除以8,得$x = 6$。
避坑指南
错解:去括号,得$2x - 5 - 24 - 6x = 14$,移项,得$2x - 6x = 14 + 5 + 24$,合并同类项,得$-4x = 43$,方程的两边都除以-4,得$x = -\frac{43}{4}$。
分析:去第一个括号时,-5漏乘2;去第二个括号时,括号前面是负号,-6x未变号。
移项,得$2x + 6x = 14 + 24 + 10$,
合并同类项,得$8x = 48$,
方程的两边都除以8,得$x = 6$。
避坑指南
错解:去括号,得$2x - 5 - 24 - 6x = 14$,移项,得$2x - 6x = 14 + 5 + 24$,合并同类项,得$-4x = 43$,方程的两边都除以-4,得$x = -\frac{43}{4}$。
分析:去第一个括号时,-5漏乘2;去第二个括号时,括号前面是负号,-6x未变号。
5. 解方程：$\frac{1}{2}x - 3 = -\frac{1}{3}x + 1$。
答案
5 解:移项,得$\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x = 3 + 1$,
合并同类项,得$\frac{5}{6}x = 4$,
方程的两边都除以$\frac{5}{6}$,得$x = \frac{24}{5}$。
避坑指南
错解:移项,得$\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x = 3 + 1$,合并同类项,得$\frac{5}{6}x = 4$,方程的两边都除以$\frac{6}{5}$,得$x = \frac{10}{3}$。
分析:在系数化为1时,方程的两边应都除以未知数的系数(或都乘未知数系数的倒数),即应都除以$\frac{5}{6}$(或都乘$\frac{6}{5}$),但这里却都除以$\frac{6}{5}$(或都乘$\frac{5}{6}$)。
合并同类项,得$\frac{5}{6}x = 4$,
方程的两边都除以$\frac{5}{6}$,得$x = \frac{24}{5}$。
避坑指南
错解:移项,得$\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x = 3 + 1$,合并同类项,得$\frac{5}{6}x = 4$,方程的两边都除以$\frac{6}{5}$,得$x = \frac{10}{3}$。
分析:在系数化为1时,方程的两边应都除以未知数的系数(或都乘未知数系数的倒数),即应都除以$\frac{5}{6}$(或都乘$\frac{6}{5}$),但这里却都除以$\frac{6}{5}$(或都乘$\frac{5}{6}$)。
6. [2026 泉州洛江区期中]方程$\frac{3x - 1}{3}=1-\frac{4x - 1}{6}$去分母后，正确的是（
A.$2(3x - 1)=1-(4x - 1)$
B.$2(3x - 1)=6 - 4x - 1$
C.$2(3x - 1)=6-(4x - 1)$
D.$3x - 1=1 - 4x + 1$
C
）A.$2(3x - 1)=1-(4x - 1)$
B.$2(3x - 1)=6 - 4x - 1$
C.$2(3x - 1)=6-(4x - 1)$
D.$3x - 1=1 - 4x + 1$
答案
6 C
7. [2026 绵阳期末] 解方程：$\frac{3(x-2)}{2} - \frac{x+2}{5} = \frac{1-2x}{10} + 1$。
答案
7 解:去分母,得$15(x - 2) - 2(x + 2) = 1 - 2x + 10$,
去括号,得$15x - 30 - 2x - 4 = 1 - 2x + 10$,
移项,得$15x - 2x + 2x = 1 + 10 + 30 + 4$,
合并同类项,得$15x = 45$,
方程的两边都除以15,得$x = 3$。
避坑指南
错解:去分母,得$15x - 30 - 2x + 4 = 1 - 2x + 10$,移项、合并同类项,得$15x = 37$,方程的两边都除以15,得$x = \frac{37}{15}$。
分析:分数线除了表示除法,还有括号的作用,实际上$x + 2$是一个整体,去分母后应加上括号。
去括号,得$15x - 30 - 2x - 4 = 1 - 2x + 10$,
移项,得$15x - 2x + 2x = 1 + 10 + 30 + 4$,
合并同类项,得$15x = 45$,
方程的两边都除以15,得$x = 3$。
避坑指南
错解:去分母,得$15x - 30 - 2x + 4 = 1 - 2x + 10$,移项、合并同类项,得$15x = 37$,方程的两边都除以15,得$x = \frac{37}{15}$。
分析:分数线除了表示除法,还有括号的作用,实际上$x + 2$是一个整体,去分母后应加上括号。
8. 一题多解 解方程：$\frac{x-2}{0.2} - \frac{x+1}{0.5} = 3$。
答案
8 解:[图1]通解 将分母中的小数化为整数,
得$\frac{10(x - 2)}{2} - \frac{10(x + 1)}{5} = 3$,
去分母,得$5(x - 2) - 2(x + 1) = 3$,
去括号,得$5x - 10 - 2x - 2 = 3$,
移项,得$5x - 2x = 3 + 10 + 2$,
合并同类项,得$3x = 15$,
方程的两边都除以3,得$x = 5$。
[图2]另解 把0.2,0.5化成分数形式,得$\frac{x - 2}{\frac{1}{5}} - \frac{x + 1}{\frac{1}{2}} = 3$,
所以$5(x - 2) - 2(x + 1) = 3$,
去括号,得$5x - 10 - 2x - 2 = 3$,
移项,得$5x - 2x = 3 + 10 + 2$,
合并同类项,得$3x = 15$,
方程的两边都除以3,得$x = 5$。
避坑指南
错解:将分母中的小数化为整数,得$\frac{x - 2}{2} - \frac{x + 1}{5} = 30$,去分母,得$5(x - 2) - 2(x + 1) = 30$,去括号,得$5x - 10 - 2x - 2 = 30$,移项,得$5x - 2x = 30 + 10 + 2$,合并同类项,得$3x = 42$,方程的两边都除以3,得$x = 14$。
分析:(1)利用分数的基本性质把分母中的小数化为整数,是单一的一个分数的分子、分母都乘或除以同一个不为0的数,而不是整个方程的左、右两边都乘或除以同一个不为0的数;(2)去分母是根据等式的基本性质2,方程的左、右两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),而不是一个单一分数的分子、分母都乘或除以同一个不为0的数。
得$\frac{10(x - 2)}{2} - \frac{10(x + 1)}{5} = 3$,
去分母,得$5(x - 2) - 2(x + 1) = 3$,
去括号,得$5x - 10 - 2x - 2 = 3$,
移项,得$5x - 2x = 3 + 10 + 2$,
合并同类项,得$3x = 15$,
方程的两边都除以3,得$x = 5$。
[图2]另解 把0.2,0.5化成分数形式,得$\frac{x - 2}{\frac{1}{5}} - \frac{x + 1}{\frac{1}{2}} = 3$,
所以$5(x - 2) - 2(x + 1) = 3$,
去括号,得$5x - 10 - 2x - 2 = 3$,
移项,得$5x - 2x = 3 + 10 + 2$,
合并同类项,得$3x = 15$,
方程的两边都除以3,得$x = 5$。
避坑指南
错解:将分母中的小数化为整数,得$\frac{x - 2}{2} - \frac{x + 1}{5} = 30$,去分母,得$5(x - 2) - 2(x + 1) = 30$,去括号,得$5x - 10 - 2x - 2 = 30$,移项,得$5x - 2x = 30 + 10 + 2$,合并同类项,得$3x = 42$,方程的两边都除以3,得$x = 14$。
分析:(1)利用分数的基本性质把分母中的小数化为整数,是单一的一个分数的分子、分母都乘或除以同一个不为0的数,而不是整个方程的左、右两边都乘或除以同一个不为0的数;(2)去分母是根据等式的基本性质2,方程的左、右两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),而不是一个单一分数的分子、分母都乘或除以同一个不为0的数。
