已知关于$x$的方程$\frac{3x - m}{2} - \frac{x + m}{3} = \frac{5}{6}$。
(1)若$m = -1$，求该方程的解；
(2)若$x = 5$是方程的解，求$\frac{1}{2}m^2 + 2m$的值；
(3)若该方程的解与方程$\frac{x + 1}{2} = 3 + \frac{x - 6}{4}$的解相同，求$m$的值；
(4)某同学在解该方程时，误将“$\frac{5}{6}$”看成了“$\frac{6}{5}$”，得到方程的解为$x = 1$，求$m$的值；
(5)若该方程有正整数解，求整数$m$的最小值。

(1) 当$m = -1$时，原方程为$\frac{3x + 1}{2} - \frac{x - 1}{3} = \frac{5}{6}$，
去分母，得$3(3x + 1) - 2(x - 1) = 5$，
去括号，得$9x + 3 - 2x + 2 = 5$，
移项、合并同类项，得$7x = 0$，
方程的两边都除以7，得$x = 0$。
(2) 把$x = 5$代入方程，得$\frac{15 - m}{2} - \frac{5 + m}{3} = \frac{5}{6}$，
去分母，得$3(15 - m) - 2(5 + m) = 5$，
去括号，得$45 - 3m - 10 - 2m = 5$，
移项、合并同类项，得$-5m = -30$，
方程的两边都除以$-5$，得$m = 6$，
所以$\frac{1}{2}m^2 + 2m = \frac{1}{2} × 6^2 + 2 × 6 = 30$。
(3) 解方程$\frac{x + 1}{2} = 3 + \frac{x - 6}{4}$，得$x = 4$，
所以$x = 4$是方程$\frac{3x - m}{2} - \frac{x + m}{3} = \frac{5}{6}$的解。
把$x = 4$代入，得$\frac{12 - m}{2} - \frac{4 + m}{3} = \frac{5}{6}$，
解得$m = \frac{23}{5}$。
(4) 由题意，得$x = 1$是方程$\frac{3x - m}{2} - \frac{x + m}{3} = \frac{6}{5}$的解，
所以$\frac{3 - m}{2} - \frac{1 + m}{3} = \frac{6}{5}$，
解得$m = -\frac{1}{25}$。
(5) 去分母，得$3(3x - m) - 2(x + m) = 5$，
去括号，得$9x - 3m - 2x - 2m = 5$，移项、合并同类项，得$7x = 5m + 5$，方程的两边都除以7，得$x = \frac{5(m + 1)}{7}$。
因为该方程有正整数解，
所以$m + 1$必须能被7整除，
又因为$m$为整数，所以$m + 1$的最小值为7，
所以$m$的最小值为6。

1. [2026 昆明月考]方程$2(x-1)+\frac{1}{2}=0$的解是（）

A.$x=-\frac{3}{4}$
B.$x=\frac{3}{2}$
C.$x=-\frac{3}{2}$
D.$x=\frac{3}{4}$

移项,得$2(x-1) = -\frac{1}{2}$,方程的两边同除以2,得$x -1 = -\frac{1}{4}$,移项、合并同类项,得$x = \frac{3}{4}$。

2. [2026锦州期末]若$x=-1$是关于$x$的一元一次方程$5x - 1 = 2x + k$的解，则关于$y$的一元一次方程$5(y + 1) - 1 = 2y + 2 + k$的解为。

$5(y + 1) - 1 = 2y + 2 + k$可化为$5(y + 1) - 1 = 2(y + 1) + k$,因为$x = - 1$是关于x的一元一次方程$5x - 1 = 2x + k$的解,所以$y + 1 = - 1$,所以$y = - 2$,即关于y的一元一次方程$5(y + 1) - 1 = 2y + 2 + k$的解为$y = -2$。

变式 [2026 南京师大附中树人学校月考] 若关于$x$的方程$\frac{x}{2024} - m = \frac{x}{2025} + n$的解为$x=2$，则关于$y$的方程$\frac{y+1}{2024} + m = \frac{y+1}{2025} - n$的解为$y=$。

$\frac{y + 1}{2\ 024} + m = \frac{y + 1}{2\ 025} - n$可化为$\frac{-(y + 1)}{2\ 024} - m = \frac{-(y + 1)}{2\ 025} + n$,根据题意,得$-(y + 1) = 2$,解得$y = - 3$。

3. [2026 商丘月考]数学小组学完“一元一次方程”后，对一种新的求解方法进行了交流，请你仔细阅读。
小明:对于$3(x+1)+\frac{1}{3}(x-1)=\frac{1}{2}(x-1)+2(x+1)$，我采取去括号、移项的方法，计算比较烦琐。
小亮:我有一种方法——整体求解法。可先将$(x+1),(x-1)$分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程$x+1=\frac{1}{6}(x-1)$，再求解。
(1)请你继续进行小亮的求解。
(2)请利用小亮的方法解方程:$7(x+3)+4=24-3(x+3)$。

(1)方程的两边都乘6,得$6x + 6 = x - 1$,
移项,得$6x - x = - 1 - 6$,
合并同类项,得$5x = - 7$,
方程的两边都除以5,得$x = -\frac{7}{5}$。
(2)移项,得$7(x + 3) + 3(x + 3) = 24 - 4$,
合并同类项,得$10(x + 3) = 20$,
去括号,得$10x + 30 = 20$,
移项、合并同类项,得$10x = - 10$,
方程的两边都除以10,得$x = - 1$。