1. (2024·哈尔滨)二次函数$y=2(x+1)^2+3$的最小值是 （ ）
A. $-1$
B. $1$
C. $2$
D. $3$

D

2. (2024·海门期中)要得到抛物线$y=2(x-4)^2-1$，可以将抛物线$y=2x^2$ （ ）
A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
D. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度

C

3. 抛物线$y=2(x-a)^2+a+1$的顶点一定不在 （ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

D

4. 点$ A(m-1,y_1) $，$ B(m,y_2) $都在二次函数$ y=(x-1)^2 + n $的图象上. 若$ y_1 ＜ y_2 $，则$ m $的取值范围是（ ）
A. $ m＞2 $
B. $ m＞\dfrac{3}{2} $
C. $ m＜1 $
D. $ \dfrac{3}{2}＜m＜2 $

B

5. (教材 P37 练习变式)填空.
(1) $y=3(x+4)^2 - 1$. 开口方向: ______;对称轴: ______;顶点坐标为 ______.
(2) $y=-\dfrac{1}{3}(x-5)^2 + 2$. 开口方向: ______;对称轴: ______;顶点坐标为 ______.
(3) $y=-2(x+1)^2 + 6$. 开口方向: ______;对称轴: ______;顶点坐标为 ______.

向上
; 直线$x = -4$ ; $(-4,-1)$ ; 向下
; 直线$x = 5$ ; $(5,2)$ ; 向下
; 直线$x = -1$ ; $(-1,6)$

6. 二次函数$y=a(x+1)^2 - k$的部分图象如图所示，则$a - k=$______．

4

7. 在平面直角坐标系内,设二次函数$y=(x-a)^2+a-1$($a$为常数).
（1）若该二次函数的图象经过点$(1,2)$,求该二次函数的解析式；
（2）若二次函数$y=(x-a)^2+a-1$在$1≤ x≤ 4$时,$y$有最小值$2$,求$a$的值.

解: （1）把$(1,2)$代入$y=(x - a)^2 + a - 1，$得$2=(1 - a)^2 + a - 1，$ 展开式子：$2 = 1 - 2a + a^2 + a - 1，$ 整理得：$a^2 - a - 2 = 0，$ 因式分解得：$(a - 2)(a + 1)=0，$ 解得$a = 2$或$a = -1。$ 所以该二次函数的解析式为$y=(x - 2)^2 + 1$或$y=(x + 1)^2 - 2。$ （2）抛物线$y=(x - a)^2 + a - 1$的开口向上，对称轴是直线$x = a。$ 若$a\lt1，$则当$x = 1$时，$y$取最小值$2，$所以$(1 - a)^2 + a - 1 = 2，$ 展开式子：$1 - 2a + a^2 + a - 1 = 2，$ 整理得：$a^2 - a - 2 = 0，$ 因式分解得：$(a - 2)(a + 1)=0，$ 解得$a = 2$（舍去）或$a = -1。$ 若$1\leqslant a\leqslant4，$则当$x = a$时，$y$取最小值$2，$所以$a - 1 = 2，$解得$a = 3。$ 若$a\gt4，$则当$x = 4$时，$y$取最小值$2，$所以$(4 - a)^2 + a - 1 = 2，$ 展开式子：$16 - 8a + a^2 + a - 1 = 2，$ 整理得：$a^2 - 7a + 13 = 0，$ $\Delta=(-7)^2 - 4\times13 = 49 - 52 = -3\lt0，$方程无实数解。 综上所述，$a$的值为$-1$或$3。$ ;

8. 如图,二次函数$y=a(x+2)^2+k$的图象与$x$轴交于$A,B(-1,0)$两点,则下列说法正确的是 （ ）
A. $a＜0$
B. 点$A$的坐标为$(-4,0)$
C. 当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而减小
D. 图象的对称轴为直线$x=-2$

D