16. 如图,图①、图②、图③、…、图ⓝ分别是$\odot O$的内接正三角形$ABC$、正四边形$ABCD$、正五边形$ABCDE$、…、正$n$边形$ABCD···$,点$M$、$N$分别从点$B$、$C$开始以相同的速度在$\odot O$上逆时针运动.
(1)求图①中$∠ APN$的度数.
(2)图②中$∠ APN$的度数是______,图③中$∠ APN$的度数是______.
(3)根据前面的探索,你能否将本题推广到一般的正$n$边形情况?若能,写出结论;若不能,请说明理由.

$90^{\circ}$ ; $108^{\circ}$ ; 解​$：(1)$​∵点​$M、$​​$N$​分别丛点​$B、$​​$C$​开始以相同的速度在​$OO$​上逆时针运​$ $​动​$，$​∴​$∠BAM=∠CBN，$​∴​$∠APN=∠ABN+∠BAM$​​$=∠ABN+∠CBN$​​$=∠ABC$​​$=60°.$​​$(3)$​能​$.∠APN=\frac {(n - 2)·180°}{n}$​

17. (无锡中考改编)如图所示的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF,其中C、D的坐标分别为(1,0)和(2,0).若在无滑动的情况下,将这个六边形沿着x轴向右滚动,则在滚动过程中,这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中,会过点(45,2)的是点______.

B

18. 新趋势 项目式学习 (1)如图①,已知$△ ABC$是$\odot O$的内接正三角形,点$P$为$\overset{\frown}{BC}$上一动点,求证:$PA=PB+PC$;
(2)如图②,四边形$ABCD$是$\odot O$的内接正方形,点$P$为$\overset{\frown}{BC}$上一动点,求证:$PA=PC+\sqrt{2}PB$;
(3)如图③,六边形$ABCDEF$是$\odot O$的内接正六边形,点$P$为$\overset{\frown}{BC}$上一动点,请探究$PA$、$PB$、$PC$三者之间有何数量关系,并给予证明.

解​$： (1) $​如图​$①，$​延长​$BP{至点}E，$​使​$PE = PC，$​连接​$CE。$​ ∵​$A、$​​$B、$​​$P、$​​$C$​四点共圆，∴​$∠BAC+∠BPC = 180°。$​ ∵​$∠BPC+∠EPC = 180°，$​​$\triangle ABC$​是等边三角形， ∴​$∠EPC=∠BAC = 60°。$​​$ $​又​$PE = PC，$​∴​$\triangle PCE$​是正三角形， ∴​$CE = CP，$​​$∠E=∠PCE = 60°。$​又​$∠BCE = 60°+∠BCP，$​​$∠ACP = 60°+∠BCP，$​∴​$∠BCE=∠ACP。$​ ∵​$\triangle ABC、$​​$\triangle PCE$​为正三角形，∴​$CE = CP，$​​$BC = AC，$​ ∴​$\triangle BEC\cong \triangle APC(\mathrm {SAS})，$​∴​$PA = BE = PB + PE = PB + PC。$​​$ (2) $​如图​$②，$​连接​$OA、$​​$OB，$​过点​$B$​作​$BE\perp PB$​交​$PA$​于点​$E。$​ ∵​$∠1+∠2=∠2+∠3 = 90°，$​∴​$∠1=∠3。$​ ∵​$∠APB=\frac {1}{2}∠AOB = 45°，$​∴​$BP = BE，$​∴​$PE=\sqrt {2}PB。$​​$ $​又​$AB = CB，$​∴​$\triangle ABE\cong \triangle CBP，$​∴​$PC = AE，$​ ∴​$PA = AE + PE = PC+\sqrt {2}PB。$​​$ (3)PA = PC+\sqrt {3}PB.$​证明：如图③，过点​$B$​作​$BM\perp AP $​于点​$M，$​在​$AP_{上截取}AQ = PC，$​连接​$BQ。$​ ∵​$∠BAP=∠BCP，$​​$AB = BC，$​​$AQ = CP，$​ ∴​$\triangle ABQ\cong \triangle CBP，$​∴​$BQ = BP，$​∴​$MP = QM。$​ 又∵六边形​$ABCDEF $​是​$\odot O$​的内接正六边形， ∴​$∠APB = 30°，$​∴​$PM=\frac {\sqrt {3}}{2}PB，$​∴​$PQ=\sqrt {3}PB，$​ ∴​$PA = AQ + PQ = PC+\sqrt {3}PB。$
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