6. 新趋势 跨学科融合 (2024·松原期中)《念奴娇·赤壁怀古》,在苏轼笔下,周瑜年少有为,文采风流,雄姿英发,谈笑间,樯橹灰飞烟灭,然天妒英才,英年早逝,欣赏下面改编的诗歌:“大江东去浪淘尽,千古风流数人物.而立之年督东吴,早逝英年两位数.十位恰小个位三,个位平方与寿符.”请你求周瑜去世的年龄.(注:“而立之年”指30岁)

解：设周瑜去世的年龄十位数字为$x，$
则个位数字为$x + 3，$ 则根据题意$10x+(x + 3)=(x + 3)^2，$ 展开得$10x+x + 3=x^2 + 6x + 9，$ 移项得$x^2 + 6x + 9-10x - x - 3 = 0，$ 合并同类项得$x^2 - 5x + 6 = 0，$ 因式分解得$(x - 2)(x - 3)=0，$ 则$x - 2 = 0$或$x - 3 = 0，$ 解得$x_1 = 2，$$x_2 = 3，$​$ $​由题意可知周瑜去世的年龄大于​$30$​岁，则$x = 2$舍去， 所以周瑜去世的年龄为$10×3+(3 + 3)=36$岁。

7. 新趋势 数学文化 直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系，在中国称为“商高定理”，在国外又称为“毕达哥拉斯定理”.由此发现三个连续正整数 3、4、5 满足 $3^{2}+4^{2}=5^{2}$，即前两个数的平方和等于第三个数的平方.请你探究:是否存在五个连续的正整数，满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和？若存在，请求出这五个正整数；若不存在，请说明理由.

解：假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为​$a，$​则连续的其他四个数为​$(a + 1)、$​​$(a + 2)、$​​$(a + 3)、$​​$(a + 4)，$​​$ $​可得​$a^2+(a + 1)^2+(a + 2)^2=(a + 3)^2+(a + 4)^2，$​​$ $​展开得​$a^2+a^2 + 2a + 1+a^2 + 4a + 4$​​$=a^2 + 6a + 9+a^2 + 8a + 16，$​​$ $​移项得​$a^2+a^2 + 2a + 1+a^2 + 4a + 4-(a^2 + 6a + 9)$​​$-(a^2 + 8a + 16)=0，$​​$ $​合并同类项得​$a^2 - 8a - 20 = 0，$​​$ $​因式分解得​$(a - 10)(a + 2)=0，$​​$ $​则​$a - 10 = 0$​或​$a + 2 = 0，$​​$ $​解得​$a = 10$​或​$a = - 2，$​ 因为这五个数为正整数，所以​$a = 10，$​​$ a + 1 = 11，$​​$a + 2 = 12，$​​$a + 3 = 13，$​​$a + 4 = 14，$​ 所以存在五个连续的正整数满足题意，它们分别为​$10、$​​$11、$​​$12、$​​$13、$​​$14。$​

8. (2025·双鸭山期末)如图所示的是2025年1月的月历表,用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数,请解答下列问题.
(1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180,求最小数.
(2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗?若能,请求出最小数;若不能,请说明理由.

解：​$ (1)$​设最小数为​$x，$​则最大数为​$x + 8，$​由题意得​$(x + 8)x = 180，$​​$ $​整理得​$x^2 + 8x - 180 = 0，$​​$ $​因式分解得​$(x - 10)(x + 18)=0，$​​$ $​则​$x - 10 = 0$​或​$x + 18 = 0，$​​$ $​解得​$x_{1} = 10，$​​$x_{2} = - 18($​不符合题意，舍去），​$ $​从月历表中可以看出​$10$​是第二行第​$6$​个数，符合要求，故最小数为​$10。$​​$ (2)$​设最小数为​$y，$​则另外三个数分别是​$y + 1，$​​$y + 7，$​​$y + 8，$​​$ $​由题意得​$y(y + 8)+y+(y + 1)+(y + 7)+(y + 8)=80，$​​$ $​展开得​$y^2 + 8y+y+y + 1+y + 7+y + 8 = 80，$​​$ $​整理得​$y^2 + 12y - 64 = 0，$​​$ $​因式分解得​$(y - 4)(y + 16)=0，$​​$ $​则​$y - 4 = 0$​或​$y + 16 = 0，$​​$ $​解得​$y_{1} = 4，$​​$y_{2} = - 16($​不符合题意，舍去），​$ $​因为​$4$​在最后一列，所以假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为​$80。$​