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三、解答题(共9小题,共75分)
16.(6分)如图,正方形网格中,每个小网格的边长是1.
(1)画出格点△ABC关于直线l对称的△A₁B₁C₁；
(2)AA₁与CC₁的位置关系是
16.(6分)如图,正方形网格中,每个小网格的边长是1.
(1)画出格点△ABC关于直线l对称的△A₁B₁C₁；
(2)AA₁与CC₁的位置关系是
AA₁//CC₁
；AC₁与A₁C的数量关系是AC₁=A₁C
.答案
16. 解:(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求；
(2)由图得:AA₁//CC₁；
连接AC₁,A₁C,
∵ AC = A₁C₁, CC₁ = C₁C, ∠ACC₁ = ∠AC₁C,
∴△ACC₁≌△AC₁C(SAS),
∴AC₁=A₁C.
解析
【分析】
(1) 作轴对称图形需按照“找点-作对称点-连线”的步骤思考：首先确定△ABC的三个顶点A、B、C，再分别作出三个点关于直线l的对称点，最后顺次连接对称点即可得到对称的△A₁B₁C₁。
(2) 第一空判断位置关系：根据轴对称的性质，对应点的连线都垂直于对称轴，可知AA₁和CC₁都垂直于直线l，结合平行线的判定即可得到二者的位置关系；第二空判断数量关系：既可以通过证明两条线段所在的三角形全等得到结论，也可以利用勾股定理分别计算两条线段的长度对比结果，还可直接根据轴对称的对称性判断二者相等。
【解析】
(1) ① 分别过点A、B、C作直线l的垂线，延长垂线到直线l的另一侧，使延长部分的长度等于对应顶点到l的距离，得到三个顶点的对称点A₁、B₁、C₁；② 顺次连接A₁、B₁、C₁，所得三角形即为所求的△A₁B₁C₁。
(2) ① 由轴对称的性质可得AA₁⊥l，CC₁⊥l，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可推出AA₁//CC₁。
② 连接AC₁、A₁C，由轴对称性质可知AC=A₁C₁，∠ACC₁=∠A₁C₁C，又CC₁是公共边，根据SAS判定定理可证△ACC₁≌△A₁C₁C，因此对应边AC₁=A₁C。
【答案】
(1)
(2) 平行（或$AA_1// CC_1$）；相等（或$AC_1=A_1C$）
【知识点】
轴对称作图，轴对称的性质，全等三角形判定
【点评】
本题是轴对称章节的基础常考题，既考查了学生的动手作图能力，也考查了对轴对称性质的理解和简单应用，掌握轴对称的核心性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 作轴对称图形需按照“找点-作对称点-连线”的步骤思考：首先确定△ABC的三个顶点A、B、C，再分别作出三个点关于直线l的对称点，最后顺次连接对称点即可得到对称的△A₁B₁C₁。
(2) 第一空判断位置关系：根据轴对称的性质，对应点的连线都垂直于对称轴，可知AA₁和CC₁都垂直于直线l，结合平行线的判定即可得到二者的位置关系；第二空判断数量关系：既可以通过证明两条线段所在的三角形全等得到结论，也可以利用勾股定理分别计算两条线段的长度对比结果，还可直接根据轴对称的对称性判断二者相等。
【解析】
(1) ① 分别过点A、B、C作直线l的垂线，延长垂线到直线l的另一侧，使延长部分的长度等于对应顶点到l的距离，得到三个顶点的对称点A₁、B₁、C₁；② 顺次连接A₁、B₁、C₁，所得三角形即为所求的△A₁B₁C₁。
(2) ① 由轴对称的性质可得AA₁⊥l，CC₁⊥l，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可推出AA₁//CC₁。
② 连接AC₁、A₁C，由轴对称性质可知AC=A₁C₁，∠ACC₁=∠A₁C₁C，又CC₁是公共边，根据SAS判定定理可证△ACC₁≌△A₁C₁C，因此对应边AC₁=A₁C。
【答案】
(1)
(2) 平行（或$AA_1// CC_1$）；相等（或$AC_1=A_1C$）
【知识点】
轴对称作图，轴对称的性质，全等三角形判定
【点评】
本题是轴对称章节的基础常考题，既考查了学生的动手作图能力，也考查了对轴对称性质的理解和简单应用，掌握轴对称的核心性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
17.(6分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC各顶点的坐标分别为A(4,0),B(-1,4),C(-3,1).
(1)在图中作△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC关于x轴对称;
(2)求△ABC的面积.
(1)在图中作△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC关于x轴对称;
(2)求△ABC的面积.
答案
17. 解:(1)如图所示:△A'B'C'即为所求；
(2)△ABC的面积为7×4−1/2×2×3−1/2×4×5−1/2×1×7=11.5.
解析
【分析】
(1)要作△ABC关于x轴对称的△A'B'C'，首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数。先分别求出A、B、C三点关于x轴的对称点坐标，再依次描点、连线即可得到所求图形。
(2)网格中求不规则三角形的面积，通常使用割补法：将三角形放在一个能完全覆盖它的矩形中，用矩形的面积减去矩形内三角形周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积，该方法无需直接求三角形的底和高，是网格类面积计算的常用方法。
【解析】
(1)根据关于x轴对称的点的坐标特征：
点A(4,0)关于x轴对称的点A'坐标为(4,0)；
点B(-1,4)关于x轴对称的点B'坐标为(-1,-4)；
点C(-3,1)关于x轴对称的点C'坐标为(-3,-1)；
在坐标系中依次描出A'、B'、C'，顺次连接三点，得到的△A'B'C'即为所求。
(2)使用割补法计算面积：
作完全覆盖△ABC的矩形，矩形横向从x=-3到x=4，长度为$4 - (-3) = 7$，纵向从y=0到y=4，宽度为$4 - 0 = 4$，矩形面积为$7 × 4 = 28$。
矩形内△ABC外的三个直角三角形面积分别为：
①左上方直角三角形：底为$(-1) - (-3) = 2$，高为$4 - 1 = 3$，面积为$\frac{1}{2} × 2 × 3 = 3$；
②右上方直角三角形：底为$4 - (-1) = 5$，高为$4 - 0 = 4$，面积为$\frac{1}{2} × 5 × 4 = 10$；
③下方直角三角形：底为$4 - (-3) = 7$，高为$1 - 0 = 1$，面积为$\frac{1}{2} × 7 × 1 = 3.5$；
因此△ABC的面积为$28 - 3 - 10 - 3.5 = 11.5$。
【答案】
(1)如图所示：△A'B'C'即为所求；
(2)△ABC的面积为$\boxed{11.5}$
【知识点】
轴对称的坐标变换，割补法求面积，平面直角坐标系作图
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查轴对称图形的作图方法和网格中不规则图形面积的计算技巧，掌握对称点的坐标规律和割补法的应用是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1)要作△ABC关于x轴对称的△A'B'C'，首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数。先分别求出A、B、C三点关于x轴的对称点坐标，再依次描点、连线即可得到所求图形。
(2)网格中求不规则三角形的面积，通常使用割补法：将三角形放在一个能完全覆盖它的矩形中，用矩形的面积减去矩形内三角形周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积，该方法无需直接求三角形的底和高，是网格类面积计算的常用方法。
【解析】
(1)根据关于x轴对称的点的坐标特征：
点A(4,0)关于x轴对称的点A'坐标为(4,0)；
点B(-1,4)关于x轴对称的点B'坐标为(-1,-4)；
点C(-3,1)关于x轴对称的点C'坐标为(-3,-1)；
在坐标系中依次描出A'、B'、C'，顺次连接三点，得到的△A'B'C'即为所求。
(2)使用割补法计算面积：
作完全覆盖△ABC的矩形，矩形横向从x=-3到x=4，长度为$4 - (-3) = 7$，纵向从y=0到y=4，宽度为$4 - 0 = 4$，矩形面积为$7 × 4 = 28$。
矩形内△ABC外的三个直角三角形面积分别为：
①左上方直角三角形：底为$(-1) - (-3) = 2$，高为$4 - 1 = 3$，面积为$\frac{1}{2} × 2 × 3 = 3$；
②右上方直角三角形：底为$4 - (-1) = 5$，高为$4 - 0 = 4$，面积为$\frac{1}{2} × 5 × 4 = 10$；
③下方直角三角形：底为$4 - (-3) = 7$，高为$1 - 0 = 1$，面积为$\frac{1}{2} × 7 × 1 = 3.5$；
因此△ABC的面积为$28 - 3 - 10 - 3.5 = 11.5$。
【答案】
(1)如图所示：△A'B'C'即为所求；
(2)△ABC的面积为$\boxed{11.5}$
【知识点】
轴对称的坐标变换，割补法求面积，平面直角坐标系作图
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查轴对称图形的作图方法和网格中不规则图形面积的计算技巧，掌握对称点的坐标规律和割补法的应用是解题的关键。
【难度系数】
0.7
18.(6分)在数学活动课上，王老师要求学生将
所示的$3×3$方格纸剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形.规定:凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图
的四幅图就视为同一种设计方案.(阴影部分为要剪掉部分)
请在中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑.(每个$3×3$方格纸画一种，例图除外)
所示的$3×3$方格纸剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形.规定:凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图的四幅图就视为同一种设计方案.(阴影部分为要剪掉部分)请在中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑.(每个$3×3$方格纸画一种，例图除外)
答案
18. 解:如图所示.
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心要求：①剩余图形为轴对称图形，即存在一条直线，将图形沿这条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合；②旋转后能重合的图形视为同一种，设计时要避免不同方案旋转后重合。首先梳理$3×3$方格的所有对称轴：横向中线、竖直中线、左上到右下的对角线、右上到左下的对角线，再分别以不同对称轴为依据，选取关于对称轴对称的两个方格涂黑（即要剪掉的部分），同时保证各方案旋转后不重合即可。
【解析】
第一步：明确轴对称图形的定义：平面内沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。
第二步：结合题目限制，设计不同方案：
方案1：选取竖直中线为对称轴，涂黑第一行第1格和第一行第3格，剩余图形沿竖直中线对折可完全重合。
方案2：选取横向中线为对称轴，涂黑第二行第1格和第二行第3格，剩余图形沿横向中线对折可完全重合。
方案3：选取左上-右下对角线为对称轴，涂黑第一行第2格和第二行第1格，剩余图形沿该对角线对折可完全重合。
方案4：选取右上-左下对角线为对称轴，涂黑第一行第2格和第二行第3格，剩余图形沿该对角线对折可完全重合。
以上方案旋转后均不重合，符合题目要求。
【答案】
【知识点】
轴对称图形判定，图形旋转的特征
【点评】
本题为开放类设计题，需要结合轴对称和旋转的相关规则进行方案设计，既考查对基础几何概念的掌握程度，也能锻炼空间想象能力和创新设计能力，作答时要注意不要遗漏题目中“旋转重合算同一种”的限制条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两个核心要求：①剩余图形为轴对称图形，即存在一条直线，将图形沿这条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合；②旋转后能重合的图形视为同一种，设计时要避免不同方案旋转后重合。首先梳理$3×3$方格的所有对称轴：横向中线、竖直中线、左上到右下的对角线、右上到左下的对角线，再分别以不同对称轴为依据，选取关于对称轴对称的两个方格涂黑（即要剪掉的部分），同时保证各方案旋转后不重合即可。
【解析】
第一步：明确轴对称图形的定义：平面内沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。
第二步：结合题目限制，设计不同方案：
方案1：选取竖直中线为对称轴，涂黑第一行第1格和第一行第3格，剩余图形沿竖直中线对折可完全重合。
方案2：选取横向中线为对称轴，涂黑第二行第1格和第二行第3格，剩余图形沿横向中线对折可完全重合。
方案3：选取左上-右下对角线为对称轴，涂黑第一行第2格和第二行第1格，剩余图形沿该对角线对折可完全重合。
方案4：选取右上-左下对角线为对称轴，涂黑第一行第2格和第二行第3格，剩余图形沿该对角线对折可完全重合。
以上方案旋转后均不重合，符合题目要求。
【答案】
【知识点】
轴对称图形判定，图形旋转的特征
【点评】
本题为开放类设计题，需要结合轴对称和旋转的相关规则进行方案设计，既考查对基础几何概念的掌握程度，也能锻炼空间想象能力和创新设计能力，作答时要注意不要遗漏题目中“旋转重合算同一种”的限制条件。
【难度系数】
0.7
19.(8分)如图，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，$AD⊥ CE$于点$D$，$BE⊥ CD$于点$E$，$AD=2.5\ \mathrm{cm}$，$DE=1.6\ \mathrm{cm}$，求$BE$的长度. 
答案
19. 解:
∵AD⊥CE于点D,BE⊥CD于点E,
∴∠E=∠ADC=90°.
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠BCE+∠ACD=90°,
∠ACD+∠CAD=90°,
∴∠BCE=∠CAD,
∴△BCE≌△CAD(AAS),
∴CE=AD=2.5cm,BE=CD,
∴CD=CE-DE=2.5-1.6=0.9(cm),
∴BE=CD=0.9cm.
∵AD⊥CE于点D,BE⊥CD于点E,
∴∠E=∠ADC=90°.
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠BCE+∠ACD=90°,
∠ACD+∠CAD=90°,
∴∠BCE=∠CAD,
∴△BCE≌△CAD(AAS),
∴CE=AD=2.5cm,BE=CD,
∴CD=CE-DE=2.5-1.6=0.9(cm),
∴BE=CD=0.9cm.
解析
【分析】
首先从题目的垂直条件入手，可先得到两个直角相等；再结合∠ACB=90°的条件，利用同角的余角相等推导得到两组对应角相等，加上已知AC=BC的边相等条件，即可证明△BCE和△CAD全等；之后根据全等三角形对应边相等的性质，得到CE=AD、BE=CD，最后通过线段的和差关系计算CD的长度，就能得到BE的长度。
【解析】
∵AD⊥CE于点D，BE⊥CD于点E，
∴∠E=∠ADC=90°。
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
又
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD。
在△BCE和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}∠ E=∠ ADC\\ ∠ BCE=∠ CAD\\ BC=AC\end{array} $
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴CE=AD=2.5cm，BE=CD。
∵CD=CE-DE，
∴CD=2.5-1.6=0.9（cm），
∴BE=CD=0.9cm。
【答案】
0.9cm
【知识点】
全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形应用的典型基础题，核心是通过角的互余关系推导等角，进而证明三角形全等实现未知线段和已知线段的转化，解题逻辑清晰，掌握全等三角形的判定方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
首先从题目的垂直条件入手，可先得到两个直角相等；再结合∠ACB=90°的条件，利用同角的余角相等推导得到两组对应角相等，加上已知AC=BC的边相等条件，即可证明△BCE和△CAD全等；之后根据全等三角形对应边相等的性质，得到CE=AD、BE=CD，最后通过线段的和差关系计算CD的长度，就能得到BE的长度。
【解析】
∵AD⊥CE于点D，BE⊥CD于点E，
∴∠E=∠ADC=90°。
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
又
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD。
在△BCE和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}∠ E=∠ ADC\\ ∠ BCE=∠ CAD\\ BC=AC\end{array} $
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴CE=AD=2.5cm，BE=CD。
∵CD=CE-DE，
∴CD=2.5-1.6=0.9（cm），
∴BE=CD=0.9cm。
【答案】
0.9cm
【知识点】
全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形应用的典型基础题，核心是通过角的互余关系推导等角，进而证明三角形全等实现未知线段和已知线段的转化，解题逻辑清晰，掌握全等三角形的判定方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
20.(8分)如图,在长方形ABCD中,AB＞AD,把长方形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE.
(1)求证:$△ ADE ≌ △ CED$;
(2)求证:$△ DEF$是等腰三角形.
(1)求证:$△ ADE ≌ △ CED$;
(2)求证:$△ DEF$是等腰三角形.
答案
20. 证明:(1)
∵四边形ABCD是长方形,
∴AD=BC,AB=CD.
由折叠的性质可得:BC=CE,AB=AE,
∴AD=CE,AE=CD.
在△ADE和△CED中,{ AD = CE , AE = CD , DE = ED ,
∴△ADE≌△CED(SSS).
(2)由(1)得△ADE≌△CED,
∴∠DEA=∠EDC,即∠DEF=∠EDF,
∴EF=DF,
∴△DEF是等腰三角形.
∵四边形ABCD是长方形,
∴AD=BC,AB=CD.
由折叠的性质可得:BC=CE,AB=AE,
∴AD=CE,AE=CD.
在△ADE和△CED中,{ AD = CE , AE = CD , DE = ED ,
∴△ADE≌△CED(SSS).
(2)由(1)得△ADE≌△CED,
∴∠DEA=∠EDC,即∠DEF=∠EDF,
∴EF=DF,
∴△DEF是等腰三角形.
解析
【分析】
(1) 要证明△ADE≌△CED，优先考虑边边边(SSS)全等判定定理：首先根据长方形的性质可得AD=BC、AB=CD，再结合折叠的性质可知折叠后对应边相等，即BC=CE、AB=AE，等量代换后得到AD=CE、AE=CD，再加上公共边DE=ED，即可满足SSS的全等判定条件，完成证明。
(2) 要证明△DEF是等腰三角形，只需证明三角形内有两条边相等或两个内角相等即可：由(1)的全等结论可得对应角∠DEA=∠EDC，也就是△DEF中的∠DEF=∠EDF，根据等角对等边可推出EF=DF，即可证明△DEF为等腰三角形。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC，AB=CD。
由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，
∴AD=CE，AE=CD。
在△ADE和△CED中，
$\{\begin{array}{l}AD = CE \\AE = CD \\DE = ED\end{array} $
∴△ADE≌△CED(SSS)。
(2)由(1)得△ADE≌△CED，
∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，
∴EF=DF，
∴△DEF是等腰三角形。
【答案】
(1) △ADE≌△CED，证明如上；
(2) △DEF是等腰三角形，证明如上。
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质、矩形的性质、全等三角形及等腰三角形的判定定理，通过折叠得到相等的边是推导全等的突破口，能有效考查学生对基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明△ADE≌△CED，优先考虑边边边(SSS)全等判定定理：首先根据长方形的性质可得AD=BC、AB=CD，再结合折叠的性质可知折叠后对应边相等，即BC=CE、AB=AE，等量代换后得到AD=CE、AE=CD，再加上公共边DE=ED，即可满足SSS的全等判定条件，完成证明。
(2) 要证明△DEF是等腰三角形，只需证明三角形内有两条边相等或两个内角相等即可：由(1)的全等结论可得对应角∠DEA=∠EDC，也就是△DEF中的∠DEF=∠EDF，根据等角对等边可推出EF=DF，即可证明△DEF为等腰三角形。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC，AB=CD。
由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，
∴AD=CE，AE=CD。
在△ADE和△CED中，
$\{\begin{array}{l}AD = CE \\AE = CD \\DE = ED\end{array} $
∴△ADE≌△CED(SSS)。
(2)由(1)得△ADE≌△CED，
∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，
∴EF=DF，
∴△DEF是等腰三角形。
【答案】
(1) △ADE≌△CED，证明如上；
(2) △DEF是等腰三角形，证明如上。
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质、矩形的性质、全等三角形及等腰三角形的判定定理，通过折叠得到相等的边是推导全等的突破口，能有效考查学生对基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
