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21.(8分)如图,在△ABC中,∠A=60°,P为AB上一点,Q为BC延长线上一点,且PA=CQ,连接PQ交AC于点D,PD=DQ.求证:△ABC为等边三角形. 
答案
21. 证明:如图,过点P作PE//BQ交AC于点E，
∴∠EPD=∠Q,
在△EPD和△CQD中,{∠EPD=∠Q, PD=QD, ∠PDE=∠QDC,
∴△EPD≌△CQD(ASA),
∴PE=CQ,
∵PA=CQ,
∴PE=PA,
∴∠PEA=∠A=60°.
∵PE//BQ,
∴∠PEA=∠ACB=60°,
∴∠A=∠ACB=∠B=60°,
∴△ABC为等边三角形.
解析
【分析】
要证明△ABC为等边三角形，已知∠A=60°，只需证明△ABC另有一个内角为60°即可。题目给出PD=DQ，存在相等线段和对顶角，可通过作平行线构造全等三角形转化线段关系：过点P作PE//BQ交AC于E，先证△EPD≌△CQD得到PE=CQ，结合已知PA=CQ等量代换得PE=PA，再利用等腰三角形性质、平行线的性质推导∠ACB的度数，最终判定△ABC为等边三角形。
【解析】
证明：如图，过点P作PE//BQ交AC于点E，
∴∠EPD=∠Q，
在△EPD和△CQD中，
$\{\begin{array}{l}∠ EPD=∠ Q\\ PD=QD\\ ∠ PDE=∠ QDC\end{array} $
∴△EPD≌△CQD(ASA)，
∴PE=CQ，
∵PA=CQ，
∴PE=PA，
∴∠PEA=∠A=60°。
∵PE//BQ，
∴∠PEA=∠ACB=60°，
∴∠A=∠ACB=∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形。
【答案】
证明:如图,过点P作PE//BQ交AC于点E，
∴∠EPD=∠Q,
在△EPD和△CQD中,{∠EPD=∠Q, PD=QD, ∠PDE=∠QDC,
∴△EPD≌△CQD(ASA),
∴PE=CQ,
∵PA=CQ,
∴PE=PA,
∴∠PEA=∠A=60°.
∵PE//BQ,
∴∠PEA=∠ACB=60°,
∴∠A=∠ACB=∠B=60°,
∴△ABC为等边三角形.
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的性质
3. 等边三角形的判定
【点评】
本题核心考查几何辅助线的构造、全等三角形与特殊三角形的性质判定，作平行线构造全等三角形是解题的突破口，能有效锻炼学生的逻辑推理能力和几何图形分析能力。
【难度系数】
0.6
要证明△ABC为等边三角形，已知∠A=60°，只需证明△ABC另有一个内角为60°即可。题目给出PD=DQ，存在相等线段和对顶角，可通过作平行线构造全等三角形转化线段关系：过点P作PE//BQ交AC于E，先证△EPD≌△CQD得到PE=CQ，结合已知PA=CQ等量代换得PE=PA，再利用等腰三角形性质、平行线的性质推导∠ACB的度数，最终判定△ABC为等边三角形。
【解析】
证明：如图，过点P作PE//BQ交AC于点E，
∴∠EPD=∠Q，
在△EPD和△CQD中，
$\{\begin{array}{l}∠ EPD=∠ Q\\ PD=QD\\ ∠ PDE=∠ QDC\end{array} $
∴△EPD≌△CQD(ASA)，
∴PE=CQ，
∵PA=CQ，
∴PE=PA，
∴∠PEA=∠A=60°。
∵PE//BQ，
∴∠PEA=∠ACB=60°，
∴∠A=∠ACB=∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形。
【答案】
证明:如图,过点P作PE//BQ交AC于点E，
∴∠EPD=∠Q,
在△EPD和△CQD中,{∠EPD=∠Q, PD=QD, ∠PDE=∠QDC,
∴△EPD≌△CQD(ASA),
∴PE=CQ,
∵PA=CQ,
∴PE=PA,
∴∠PEA=∠A=60°.
∵PE//BQ,
∴∠PEA=∠ACB=60°,
∴∠A=∠ACB=∠B=60°,
∴△ABC为等边三角形.
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的性质
3. 等边三角形的判定
【点评】
本题核心考查几何辅助线的构造、全等三角形与特殊三角形的性质判定，作平行线构造全等三角形是解题的突破口，能有效锻炼学生的逻辑推理能力和几何图形分析能力。
【难度系数】
0.6
22. (10分)如图，已知$BD// AC$，$∠ C=60°$，$DA$平分$∠ BDC$. 求证：$△ ACD$是等边三角形. 
答案
22. 证明:
∵BD//AC,
∴∠BDA=∠CAD,
∵DA平分∠BDC,
∴∠BDA=∠CDA,
∴∠CAD=∠CDA,
∵∠CAD+∠CDA=180°-∠C=120°,
∴∠CAD=∠CDA=60°,
∴△ACD是等边三角形.
∵BD//AC,
∴∠BDA=∠CAD,
∵DA平分∠BDC,
∴∠BDA=∠CDA,
∴∠CAD=∠CDA,
∵∠CAD+∠CDA=180°-∠C=120°,
∴∠CAD=∠CDA=60°,
∴△ACD是等边三角形.
解析
【分析】
要证明△ACD是等边三角形，可结合等边三角形的判定方法推导：首先利用已知的BD//AC，根据平行线的内错角相等得到∠BDA=∠CAD；再结合DA平分∠BDC的条件，通过角平分线定义得到∠BDA=∠CDA，等量代换后可得△ACD中∠CAD=∠CDA，即△ACD为等腰三角形；最后结合已知∠C=60°，利用三角形内角和计算剩余两个角的度数，即可判定其为等边三角形。
【解析】
证明：
∵BD//AC，
∴∠BDA=∠CAD，
∵DA平分∠BDC，
∴∠BDA=∠CDA，
∴∠CAD=∠CDA，
∵∠CAD+∠CDA=180°-∠C=120°，
∴∠CAD=∠CDA=60°，
∴△ACD是等边三角形。
【答案】
证明:
∵BD//AC,
∴∠BDA=∠CAD,
∵DA平分∠BDC,
∴∠BDA=∠CDA,
∴∠CAD=∠CDA,
∵∠CAD+∠CDA=180°-∠C=120°,
∴∠CAD=∠CDA=60°,
∴△ACD是等边三角形.
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何证明题型，主要考查平行线性质、角平分线定义以及等边三角形判定的综合运用，解题的关键是通过角的等量代换推导得到三角形的内角度数，解题思路清晰直接，属于几何部分的常规考点。
【难度系数】
0.8
要证明△ACD是等边三角形，可结合等边三角形的判定方法推导：首先利用已知的BD//AC，根据平行线的内错角相等得到∠BDA=∠CAD；再结合DA平分∠BDC的条件，通过角平分线定义得到∠BDA=∠CDA，等量代换后可得△ACD中∠CAD=∠CDA，即△ACD为等腰三角形；最后结合已知∠C=60°，利用三角形内角和计算剩余两个角的度数，即可判定其为等边三角形。
【解析】
证明：
∵BD//AC，
∴∠BDA=∠CAD，
∵DA平分∠BDC，
∴∠BDA=∠CDA，
∴∠CAD=∠CDA，
∵∠CAD+∠CDA=180°-∠C=120°，
∴∠CAD=∠CDA=60°，
∴△ACD是等边三角形。
【答案】
证明:
∵BD//AC,
∴∠BDA=∠CAD,
∵DA平分∠BDC,
∴∠BDA=∠CDA,
∴∠CAD=∠CDA,
∵∠CAD+∠CDA=180°-∠C=120°,
∴∠CAD=∠CDA=60°,
∴△ACD是等边三角形.
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何证明题型，主要考查平行线性质、角平分线定义以及等边三角形判定的综合运用，解题的关键是通过角的等量代换推导得到三角形的内角度数，解题思路清晰直接，属于几何部分的常规考点。
【难度系数】
0.8
23.(11分)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A=30°$,$AB=4\ \mathrm{cm}$,动点$P,Q$同时从$A,B$两点出发,分别在$AB,BC$上匀速移动,它们的速度分别为$v_P=2\ \mathrm{cm/s}$,$v_Q=1\ \mathrm{cm/s}$,当点$P$到达点$B$时,$P,Q$两点同时停止运动,设点$P$的运动时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)当$t$为何值时,$△ PBQ$为等边三角形?
(2)当$t$为何值时,$△ PBQ$为直角三角形?
(1)当$t$为何值时,$△ PBQ$为等边三角形?
(2)当$t$为何值时,$△ PBQ$为直角三角形?
答案
23. 解:在△ABC中,
∵∠C=90°,∠A=30°,
∴∠B=60°.
∵点P到达点B时,所用的时间为AB/Vp = 4/2 =2(s),
∴0≤t≤2,BP=4-2t,BQ=t.
(1)当BP=BQ时,△PBQ为等边三角形.
即4-2t=t.
∴t=4/3.
当t=4/3时,△PBQ为等边三角形.
(2)若△PBQ为直角三角形,
①当∠BQP=90°时,BP=2BQ,
即4-2t=2t,
∴t=1.
②当∠BPQ=90°时,BQ=2BP,
即t=2(4-2t),
∴t=8/5.
综上所述,当t=8/5或t=1时,△PBQ为直角三角形.
∵∠C=90°,∠A=30°,
∴∠B=60°.
∵点P到达点B时,所用的时间为AB/Vp = 4/2 =2(s),
∴0≤t≤2,BP=4-2t,BQ=t.
(1)当BP=BQ时,△PBQ为等边三角形.
即4-2t=t.
∴t=4/3.
当t=4/3时,△PBQ为等边三角形.
(2)若△PBQ为直角三角形,
①当∠BQP=90°时,BP=2BQ,
即4-2t=2t,
∴t=1.
②当∠BPQ=90°时,BQ=2BP,
即t=2(4-2t),
∴t=8/5.
综上所述,当t=8/5或t=1时,△PBQ为直角三角形.
解析
【分析】
首先根据△ABC的内角条件先算出∠B=60°，再计算点P的运动总时长，得到t的取值范围为0≤t≤2，并用含t的代数式表示出BP=4-2t、BQ=t。
(1)已知△PBQ中∠B=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，只需满足BP=BQ，列方程求解即可得到t的值。
(2)△PBQ为直角三角形时，∠B=60°，因此分两种情况讨论：①∠BQP=90°，此时∠BPQ=30°，根据30°角所对直角边等于斜边的一半可得BP=2BQ；②∠BPQ=90°，此时∠BQP=30°，可得BQ=2BP，分别列方程求解后验证解是否在t的取值范围内即可。
【解析】
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=180°-90°-30°=60°。
点P从A运动到B的总时长为：$4÷2=2(\mathrm{s})$，因此t的取值范围是$0≤ t≤2$，
可得$BP=AB-AP=4-2t$，$BQ=1× t=t$。
(1)
∵∠B=60°，当$BP=BQ$时，△PBQ为等边三角形，
列方程：$4-2t=t$，
解得$t=\frac{4}{3}$，符合$0≤ t≤2$的要求。
(2)若△PBQ为直角三角形，分两种情况讨论：
①当∠BQP=90°时，∠BPQ=90°-∠B=30°，根据含30°角的直角三角形性质，斜边$BP=2BQ$，
即$4-2t=2t$，解得$t=1$，符合取值范围；
②当∠BPQ=90°时，∠BQP=90°-∠B=30°，斜边$BQ=2BP$，
即$t=2(4-2t)$，解得$t=\frac{8}{5}$，符合取值范围。
综上，$t=1$或$t=\frac{8}{5}$时△PBQ为直角三角形。
【答案】
(1)$t=\frac{4}{3}\ \mathrm{s}$；
(2)$t=1\ \mathrm{s}$或$t=\frac{8}{5}\ \mathrm{s}$
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，等边三角形判定，分类讨论思想
【点评】
本题是动点与特殊三角形判定结合的典型题型，解题核心是先用含参数t的代数式表示出相关线段长度，再结合特殊三角形的性质分情况列方程求解，求解后需验证结果是否符合动点的运动范围，避免漏解、错解。
【难度系数】
0.7
首先根据△ABC的内角条件先算出∠B=60°，再计算点P的运动总时长，得到t的取值范围为0≤t≤2，并用含t的代数式表示出BP=4-2t、BQ=t。
(1)已知△PBQ中∠B=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，只需满足BP=BQ，列方程求解即可得到t的值。
(2)△PBQ为直角三角形时，∠B=60°，因此分两种情况讨论：①∠BQP=90°，此时∠BPQ=30°，根据30°角所对直角边等于斜边的一半可得BP=2BQ；②∠BPQ=90°，此时∠BQP=30°，可得BQ=2BP，分别列方程求解后验证解是否在t的取值范围内即可。
【解析】
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=180°-90°-30°=60°。
点P从A运动到B的总时长为：$4÷2=2(\mathrm{s})$，因此t的取值范围是$0≤ t≤2$，
可得$BP=AB-AP=4-2t$，$BQ=1× t=t$。
(1)
∵∠B=60°，当$BP=BQ$时，△PBQ为等边三角形，
列方程：$4-2t=t$，
解得$t=\frac{4}{3}$，符合$0≤ t≤2$的要求。
(2)若△PBQ为直角三角形，分两种情况讨论：
①当∠BQP=90°时，∠BPQ=90°-∠B=30°，根据含30°角的直角三角形性质，斜边$BP=2BQ$，
即$4-2t=2t$，解得$t=1$，符合取值范围；
②当∠BPQ=90°时，∠BQP=90°-∠B=30°，斜边$BQ=2BP$，
即$t=2(4-2t)$，解得$t=\frac{8}{5}$，符合取值范围。
综上，$t=1$或$t=\frac{8}{5}$时△PBQ为直角三角形。
【答案】
(1)$t=\frac{4}{3}\ \mathrm{s}$；
(2)$t=1\ \mathrm{s}$或$t=\frac{8}{5}\ \mathrm{s}$
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，等边三角形判定，分类讨论思想
【点评】
本题是动点与特殊三角形判定结合的典型题型，解题核心是先用含参数t的代数式表示出相关线段长度，再结合特殊三角形的性质分情况列方程求解，求解后需验证结果是否符合动点的运动范围，避免漏解、错解。
【难度系数】
0.7
24.(12分)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=16 cm,BC=12 cm,AC=20 cm,P,Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1 cm,点Q从点B开始沿BC→CA方向运动,且速度为每秒2 cm,P,Q两点同时出发,当点P运动到点B时两点停止运动,设运动时间为t秒.
(1)BP=
(2)当点Q在边BC上运动时.
①出发几秒后,△PQB是等腰三角形?
②通过计算说明PQ能否把△ABC的周长平分;
(3)当点Q在边CA上运动时,若△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形,直接写出此时t的值.
(1)BP=
(16−t)
cm(用含t的式子表示);(2)当点Q在边BC上运动时.
①出发几秒后,△PQB是等腰三角形?
②通过计算说明PQ能否把△ABC的周长平分;
(3)当点Q在边CA上运动时,若△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形,直接写出此时t的值.
答案
24. 解:(1)由题意可知AP=t,
∵AB=16 cm,
∴BP=AB−AP=(16−t)cm,
(2)①当点Q在边BC上运动,△PQB为等腰三角形时,BQ=2t,
即16−t=2t,解得t=16/3,
∴出发16/3秒后,△PQB是等腰三角形；
②当点Q在BC上时,0≤t≤6,如图，
而AP=t,BQ=2t,
∴BP=16−t,CQ=12−2t,
∵PQ把△ABC的周长平分，
∴16−t+2t=t+12−2t+20,
解得:t=8,不符合题意舍去,
∴点Q在边BC上运动时. PQ不能把△ABC的周长平分.
(3)①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时,CQ=BQ,如图所示，
则∠C=∠CBQ,
∵∠ABC=90°,
∴∠CBQ+∠ABQ=90°.
∠A+∠C=90°,
∴∠A=∠ABQ,
∴BQ=AQ,
∴CQ=AQ=10(cm),
∴BC+CQ=22(cm),
∴t=22÷2=11(s)；
②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时,CQ=BC,如图所示，
则BC+CQ=24(cm),
∴t=24÷2=12.
综上所述,当t为11秒或12秒时,△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形.
故答案为:11或12
解析
【分析】
本题是三角形中的动点类综合题，解题思路如下：
1. 第(1)问：根据点P的运动速度和时间t求出AP的长度，再利用线段和差关系，用AB的长度减去AP即可得到BP的表达式；
2. 第(2)问①：点Q在BC上运动时，∠B是直角，若△PQB为等腰三角形，则两条直角边BQ=BP，分别用含t的式子表示BQ和BP，列一元一次方程求解即可；
3. 第(2)问②：先算出△ABC的总周长，若PQ平分周长，则BP+BQ等于总周长的一半，列方程求解后验证t是否在Q在BC上的取值范围（0≤t≤6），若不在则说明不能平分；
4. 第(3)问：分两种情况讨论：第一种是以BC为底边的等腰△BCQ，此时CQ=BQ，通过角的关系推导得Q是AC中点，算出Q运动的总路程后除以速度得t；第二种是以BQ为底边的等腰△BCQ，此时CQ=BC，算出Q运动的总路程后除以速度得t，最后验证t是否符合运动停止的条件即可。
【解析】
(1) 由题意可知，点P的运动速度为每秒1 cm，运动时间为t秒，故$AP = t\ \mathrm{cm}$，
∵$AB = 16\ \mathrm{cm}$，
∴$BP = AB - AP = (16 - t)\ \mathrm{cm}$。
(2) 当点Q在边BC上运动时，Q的运动路程为$2t\ \mathrm{cm}$，BC长$12\ \mathrm{cm}$，故此时t的取值范围是$0≤t≤6$：
① 若△PQB是等腰三角形，
∵$∠ B=90°$，等腰直角三角形的两条直角边相等，故$BQ=BP$，
其中$BQ=2t\ \mathrm{cm}$，$BP=(16 - t)\ \mathrm{cm}$，列方程得：
$16 - t = 2t$，
解得$t = \dfrac{16}{3}$，符合$0≤t≤6$的范围。
② △ABC的总周长为$AB+BC+AC=16+12+20=48\ \mathrm{cm}$，若PQ把△ABC的周长平分，则被PQ分开的两部分周长均为$24\ \mathrm{cm}$，即$BP + BQ = 24$，
代入BP和BQ的表达式得：
$(16 - t) + 2t = 24$，
解得$t=8$，
∵此时点Q在BC上，要求$0≤t≤6$，$t=8$不符合范围，故舍去。
(3) 当点Q在边CA上运动时，Q已经走完BC段，此时t的范围是$6＜t≤16$（点P运动到B时停止，t最大为16），分两种情况讨论：
① 当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时，$CQ=BQ$，如图：
∴$∠ C=∠ CBQ$，
∵$∠ ABC=90°$，
∴$∠ CBQ + ∠ ABQ = 90°$，$∠ A + ∠ C = 90°$，
∴$∠ A=∠ ABQ$，
∴$BQ=AQ$，
∴$CQ=AQ=\dfrac{1}{2} AC=10\ \mathrm{cm}$，
此时点Q运动的总路程为$BC + CQ =12 + 10=22\ \mathrm{cm}$，
∵Q的速度为每秒2 cm，
∴$t=22÷2=11\ \mathrm{s}$，符合$6＜t≤16$的范围；
② 当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时，$CQ=BC$，如图：
∴$CQ=12\ \mathrm{cm}$，
此时点Q运动的总路程为$BC + CQ=12+12=24\ \mathrm{cm}$，
∴$t=24÷2=12\ \mathrm{s}$，符合$6＜t≤16$的范围。
综上，t的值为11或12。
【答案】
(1) $\boldsymbol{16-t}$
(2) ① 出发$\boldsymbol{\dfrac{16}{3}}$秒后，△PQB是等腰三角形；
② 点Q在边BC上运动时，PQ不能把△ABC的周长平分；
(3) $\boldsymbol{11}$或$\boldsymbol{12}$
【知识点】
等腰三角形的性质、动点问题计算、一元一次方程的应用
【点评】
本题属于三角形动点综合题，考查了线段和差计算、等腰三角形的判定与性质、周长的计算，解题时需要结合动点的运动范围分类讨论，避免出现求解结果不符合运动实际的错误，同时要注意分类讨论思想的运用。
【难度系数】
0.6
本题是三角形中的动点类综合题，解题思路如下：
1. 第(1)问：根据点P的运动速度和时间t求出AP的长度，再利用线段和差关系，用AB的长度减去AP即可得到BP的表达式；
2. 第(2)问①：点Q在BC上运动时，∠B是直角，若△PQB为等腰三角形，则两条直角边BQ=BP，分别用含t的式子表示BQ和BP，列一元一次方程求解即可；
3. 第(2)问②：先算出△ABC的总周长，若PQ平分周长，则BP+BQ等于总周长的一半，列方程求解后验证t是否在Q在BC上的取值范围（0≤t≤6），若不在则说明不能平分；
4. 第(3)问：分两种情况讨论：第一种是以BC为底边的等腰△BCQ，此时CQ=BQ，通过角的关系推导得Q是AC中点，算出Q运动的总路程后除以速度得t；第二种是以BQ为底边的等腰△BCQ，此时CQ=BC，算出Q运动的总路程后除以速度得t，最后验证t是否符合运动停止的条件即可。
【解析】
(1) 由题意可知，点P的运动速度为每秒1 cm，运动时间为t秒，故$AP = t\ \mathrm{cm}$，
∵$AB = 16\ \mathrm{cm}$，
∴$BP = AB - AP = (16 - t)\ \mathrm{cm}$。
(2) 当点Q在边BC上运动时，Q的运动路程为$2t\ \mathrm{cm}$，BC长$12\ \mathrm{cm}$，故此时t的取值范围是$0≤t≤6$：
① 若△PQB是等腰三角形，
∵$∠ B=90°$，等腰直角三角形的两条直角边相等，故$BQ=BP$，
其中$BQ=2t\ \mathrm{cm}$，$BP=(16 - t)\ \mathrm{cm}$，列方程得：
$16 - t = 2t$，
解得$t = \dfrac{16}{3}$，符合$0≤t≤6$的范围。
② △ABC的总周长为$AB+BC+AC=16+12+20=48\ \mathrm{cm}$，若PQ把△ABC的周长平分，则被PQ分开的两部分周长均为$24\ \mathrm{cm}$，即$BP + BQ = 24$，
代入BP和BQ的表达式得：
$(16 - t) + 2t = 24$，
解得$t=8$，
∵此时点Q在BC上，要求$0≤t≤6$，$t=8$不符合范围，故舍去。
(3) 当点Q在边CA上运动时，Q已经走完BC段，此时t的范围是$6＜t≤16$（点P运动到B时停止，t最大为16），分两种情况讨论：
① 当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时，$CQ=BQ$，如图
：∴$∠ C=∠ CBQ$，
∵$∠ ABC=90°$，
∴$∠ CBQ + ∠ ABQ = 90°$，$∠ A + ∠ C = 90°$，
∴$∠ A=∠ ABQ$，
∴$BQ=AQ$，
∴$CQ=AQ=\dfrac{1}{2} AC=10\ \mathrm{cm}$，
此时点Q运动的总路程为$BC + CQ =12 + 10=22\ \mathrm{cm}$，
∵Q的速度为每秒2 cm，
∴$t=22÷2=11\ \mathrm{s}$，符合$6＜t≤16$的范围；
② 当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时，$CQ=BC$，如图
：∴$CQ=12\ \mathrm{cm}$，
此时点Q运动的总路程为$BC + CQ=12+12=24\ \mathrm{cm}$，
∴$t=24÷2=12\ \mathrm{s}$，符合$6＜t≤16$的范围。
综上，t的值为11或12。
【答案】
(1) $\boldsymbol{16-t}$
(2) ① 出发$\boldsymbol{\dfrac{16}{3}}$秒后，△PQB是等腰三角形；
② 点Q在边BC上运动时，PQ不能把△ABC的周长平分；
(3) $\boldsymbol{11}$或$\boldsymbol{12}$
【知识点】
等腰三角形的性质、动点问题计算、一元一次方程的应用
【点评】
本题属于三角形动点综合题，考查了线段和差计算、等腰三角形的判定与性质、周长的计算，解题时需要结合动点的运动范围分类讨论，避免出现求解结果不符合运动实际的错误，同时要注意分类讨论思想的运用。
【难度系数】
0.6
