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7. 如图，D为$△ ABC$内一点，CD平分$∠ ACB$，$BD⊥ CD$，$∠ A=∠ ABD$，若$AC=5$，$BC=3$，则BD的长为（
A.1
B.1.5
C.$2\sqrt{2}$
D.4
第7小题图
第8小题图
第9小题图
第10小题图
A
）A.1
B.1.5
C.$2\sqrt{2}$
D.4
第7小题图
第8小题图
第9小题图
第10小题图
答案
7. A
解析
【分析】
遇到角平分线与边上的垂线同时出现的题型，可通过延长垂线构造全等三角形和等腰三角形建立边长关系。解题思路如下：第一步，延长BD交AC于点E，利用角平分线和垂直的条件证明△CDB与△CDE全等，得到BC=CE、BD=DE；第二步，结合∠A=∠ABD推出AE=BE，再通过AC、BC的长度求出AE的长度，最终计算出BD的长。
【解析】
延长BD交AC于点E，步骤如下：
1.
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠BCD=∠ECD
2.
∵ BD⊥CD，
∴ ∠CDB=∠CDE=90°
3. 在△CDB和△CDE中：
$\{\begin{array}{l} ∠BCD=∠ECD \\ CD=CD \\ ∠CDB=∠CDE \end{array} $
∴ △CDB≌△CDE（ASA）
由全等三角形性质得：$BC=CE=3$，$BD=DE$
4. 已知$AC=5$，则$AE=AC-CE=5-3=2$
5.
∵ ∠A=∠ABD，
∴ $BE=AE=2$（等角对等边）
6.
∵ $BD=DE=\frac{1}{2}BE$，
∴ $BD=\frac{1}{2}×2=1$
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题的核心是掌握“角平分线+垂线”构造等腰三角形的常见辅助线作法，能快速将分散的已知边长条件关联，解题时注意全等三角形和等腰三角形性质的灵活运用。
【难度系数】
0.6
遇到角平分线与边上的垂线同时出现的题型，可通过延长垂线构造全等三角形和等腰三角形建立边长关系。解题思路如下：第一步，延长BD交AC于点E，利用角平分线和垂直的条件证明△CDB与△CDE全等，得到BC=CE、BD=DE；第二步，结合∠A=∠ABD推出AE=BE，再通过AC、BC的长度求出AE的长度，最终计算出BD的长。
【解析】
延长BD交AC于点E，步骤如下：
1.
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠BCD=∠ECD
2.
∵ BD⊥CD，
∴ ∠CDB=∠CDE=90°
3. 在△CDB和△CDE中：
$\{\begin{array}{l} ∠BCD=∠ECD \\ CD=CD \\ ∠CDB=∠CDE \end{array} $
∴ △CDB≌△CDE（ASA）
由全等三角形性质得：$BC=CE=3$，$BD=DE$
4. 已知$AC=5$，则$AE=AC-CE=5-3=2$
5.
∵ ∠A=∠ABD，
∴ $BE=AE=2$（等角对等边）
6.
∵ $BD=DE=\frac{1}{2}BE$，
∴ $BD=\frac{1}{2}×2=1$
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题的核心是掌握“角平分线+垂线”构造等腰三角形的常见辅助线作法，能快速将分散的已知边长条件关联，解题时注意全等三角形和等腰三角形性质的灵活运用。
【难度系数】
0.6
8. 如图,在$△ MNP$中,$∠ P=60°$,$MN=NP$,$MQ⊥ PN$,垂足为$Q$,延长$MN$至点$G$,取$NG=NQ$,若$△ MNP$的周长为$12$,$MQ=m$,则$△ MGQ$的周长是 （
A.$8+2m$
B.$8+m$
C.$6+2m$
D.$6+m$
C
）A.$8+2m$
B.$8+m$
C.$6+2m$
D.$6+m$
答案
8. C
解析
【分析】
解题时先从已知的边相等和角为60°的条件入手，首先判断△MNP的形状：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，结合周长可求出等边三角形的边长。再利用等边三角形三线合一的性质，由MQ⊥PN求出NQ的长度，同时得到∠QMN的度数。接着根据NG=NQ，结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角定理，推导出∠G=∠QMN，得到QG=MQ=m，最后计算MG的长度，将△MGQ的三边相加即可得到周长。
【解析】
1. 判定等边三角形：
∵ 在△MNP中，MN=NP，∠P=60°，
∴ △MNP是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
∵ △MNP的周长为12，
∴ MN=NP=MP=12÷3=4。
2. 利用三线合一求线段长度：
∵ MQ⊥PN，△MNP是等边三角形，
∴ Q为PN中点，∠QMN=$\frac{1}{2}$∠PMN=30°，
∴ NQ=$\frac{1}{2}$PN=2。
3. 推导角的关系得到边相等：
∵ NG=NQ，
∴ NG=2，∠G=∠NQG。
∵ ∠PNM是△GQN的外角，∠PNM=60°，
∴ ∠G + ∠NQG = ∠PNM=60°，
∴ ∠G=30°，
∴ ∠G=∠QMN=30°，
∴ QG=MQ=m。
4. 计算△MGQ的周长：
MG=MN + NG=4 + 2=6，
周长= MQ + QG + MG = m + m + 6=6+2m。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用题，解题的核心是先准确判断出等边三角形，再逐步推导角的等量关系得到边的等量关系，对基础性质的熟练掌握是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的边相等和角为60°的条件入手，首先判断△MNP的形状：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，结合周长可求出等边三角形的边长。再利用等边三角形三线合一的性质，由MQ⊥PN求出NQ的长度，同时得到∠QMN的度数。接着根据NG=NQ，结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角定理，推导出∠G=∠QMN，得到QG=MQ=m，最后计算MG的长度，将△MGQ的三边相加即可得到周长。
【解析】
1. 判定等边三角形：
∵ 在△MNP中，MN=NP，∠P=60°，
∴ △MNP是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
∵ △MNP的周长为12，
∴ MN=NP=MP=12÷3=4。
2. 利用三线合一求线段长度：
∵ MQ⊥PN，△MNP是等边三角形，
∴ Q为PN中点，∠QMN=$\frac{1}{2}$∠PMN=30°，
∴ NQ=$\frac{1}{2}$PN=2。
3. 推导角的关系得到边相等：
∵ NG=NQ，
∴ NG=2，∠G=∠NQG。
∵ ∠PNM是△GQN的外角，∠PNM=60°，
∴ ∠G + ∠NQG = ∠PNM=60°，
∴ ∠G=30°，
∴ ∠G=∠QMN=30°，
∴ QG=MQ=m。
4. 计算△MGQ的周长：
MG=MN + NG=4 + 2=6，
周长= MQ + QG + MG = m + m + 6=6+2m。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用题，解题的核心是先准确判断出等边三角形，再逐步推导角的等量关系得到边的等量关系，对基础性质的熟练掌握是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
9. 如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是 （
A.5
B.6
C.7
D.8
B
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
9. B
解析
【分析】
本题属于最短路径（将军饮马）类问题，解题思路可分为三步：第一步，找对称点：等边三角形ABC中AD是BC边上的高，AD是△ABC的对称轴，因此点B关于AD的对称点是点C；第二步，转化线段：根据轴对称的性质，EB=EC，因此EB+EF可转化为EC+EF；第三步，求最小值：根据两点之间线段最短，当C、E、F三点共线时，EC+EF的和最小，最小值为线段CF的长度，再结合等边三角形三线合一的性质求出CF的长度即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高
∴AD垂直平分BC，即点B与点C关于直线AD对称
∴EB=EC
∴EB+EF=EC+EF
根据两点之间线段最短，当点C、E、F三点共线时，EC+EF取得最小值，最小值为CF的长度
∵F是AB的中点，△ABC是等边三角形
∴CF是AB边上的中线，等边三角形的三条高（中线、角平分线）长度相等
∵AD是BC边上的高，AD=6
∴CF=AD=6
即EB+EF的最小值为6
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径问题的典型考法，解题的核心是利用轴对称性质转化线段，将两条动态线段的和转化为定点之间的线段长度，再结合等边三角形的性质计算即可，是轴对称应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
本题属于最短路径（将军饮马）类问题，解题思路可分为三步：第一步，找对称点：等边三角形ABC中AD是BC边上的高，AD是△ABC的对称轴，因此点B关于AD的对称点是点C；第二步，转化线段：根据轴对称的性质，EB=EC，因此EB+EF可转化为EC+EF；第三步，求最小值：根据两点之间线段最短，当C、E、F三点共线时，EC+EF的和最小，最小值为线段CF的长度，再结合等边三角形三线合一的性质求出CF的长度即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高
∴AD垂直平分BC，即点B与点C关于直线AD对称
∴EB=EC
∴EB+EF=EC+EF
根据两点之间线段最短，当点C、E、F三点共线时，EC+EF取得最小值，最小值为CF的长度
∵F是AB的中点，△ABC是等边三角形
∴CF是AB边上的中线，等边三角形的三条高（中线、角平分线）长度相等
∵AD是BC边上的高，AD=6
∴CF=AD=6
即EB+EF的最小值为6
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径问题的典型考法，解题的核心是利用轴对称性质转化线段，将两条动态线段的和转化为定点之间的线段长度，再结合等边三角形的性质计算即可，是轴对称应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上的中点,过点D作ED⊥DF,交AB于点E,交BC于点F,若$S_{四边形DEBF}=9$,则AB的长为（
A.3
B.6
C.9
D.18
B
）A.3
B.6
C.9
D.18
答案
10. B
解析
【分析】
解题时先考虑等腰直角三角形斜边中线的特殊性质，通过连接辅助线BD，得到相等的边和角；再结合ED⊥DF的条件推导角相等，证明△BED和△CFD全等，将不规则的四边形面积转化为△BCD的面积；最后利用等腰直角三角形的面积公式即可求出AB的长度。
【解析】
连接BD，
∵在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上的中点，
∴BD=CD，BD⊥AC，∠ABD=∠C=45°，
∴∠BDC=90°，即∠FDC+∠BDF=90°，
∵ED⊥DF，
∴∠EDF=90°，即∠EDB+∠BDF=90°，
∴∠EDB=∠FDC，
在△BED和△CFD中：
$\{\begin{array}{l}∠EBD=∠C \\BD=CD \\∠EDB=∠FDC\end{array} $
∴△BED≌△CFD（ASA），
∴$S_{△ BED}=S_{△ CFD}$，
∴$S_{四边形DEBF}=S_{△ BED}+S_{△ BDF}=S_{△ CFD}+S_{△ BDF}=S_{△ BDC}=9$，
∵D为AC中点，
∴$S_{△ ABC}=2S_{△ BDC}=18$，
又
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=BC，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}AB^2=18$，
解得$AB^2=36$，AB=6（边长为正数，舍去负根）。
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题核心是通过构造全等三角形完成不规则图形面积的转化，体现了转化思想的应用，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形斜边中线的性质。
【难度系数】
0.7
解题时先考虑等腰直角三角形斜边中线的特殊性质，通过连接辅助线BD，得到相等的边和角；再结合ED⊥DF的条件推导角相等，证明△BED和△CFD全等，将不规则的四边形面积转化为△BCD的面积；最后利用等腰直角三角形的面积公式即可求出AB的长度。
【解析】
连接BD，
∵在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上的中点，
∴BD=CD，BD⊥AC，∠ABD=∠C=45°，
∴∠BDC=90°，即∠FDC+∠BDF=90°，
∵ED⊥DF，
∴∠EDF=90°，即∠EDB+∠BDF=90°，
∴∠EDB=∠FDC，
在△BED和△CFD中：
$\{\begin{array}{l}∠EBD=∠C \\BD=CD \\∠EDB=∠FDC\end{array} $
∴△BED≌△CFD（ASA），
∴$S_{△ BED}=S_{△ CFD}$，
∴$S_{四边形DEBF}=S_{△ BED}+S_{△ BDF}=S_{△ CFD}+S_{△ BDF}=S_{△ BDC}=9$，
∵D为AC中点，
∴$S_{△ ABC}=2S_{△ BDC}=18$，
又
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=BC，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}AB^2=18$，
解得$AB^2=36$，AB=6（边长为正数，舍去负根）。
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题核心是通过构造全等三角形完成不规则图形面积的转化，体现了转化思想的应用，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形斜边中线的性质。
【难度系数】
0.7
11. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，一含30°角的三角板如图放置（一直角边与BC边重合，斜边经过△ABC的顶点A），则∠α的度数为
第11小题图
第12小题图
第13小题图
第14小题图
20°
。第11小题图
第12小题图
第13小题图
第14小题图
答案
11. 20°
解析
【分析】
解题时首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理，求出等腰三角形的底角度数；再结合含30°角的直角三角板的角度特征，得到三角板斜边与BC边的夹角，最后用该夹角减去已求出的底角度数，即可得到∠α的度数。
【解析】
1. 计算等腰△ABC的底角∠ACB：
∵ AB=AC，△ABC为等腰三角形，∠BAC=100°
根据三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，可得：
$∠ ACB = \frac{180° - ∠ BAC}{2} = \frac{180° - 100°}{2} = 40°$
2. 分析三角板的角度：
已知三角板为含30°角的直角三角板，其三个内角度数分别为30°、60°、90°；由题意得三角板一直角边与BC重合，斜边经过点A，因此三角板斜边与BC边的夹角为60°。
3. 计算∠α：
∠α为三角板斜边与AC的夹角，因此$∠ α = 60° - ∠ ACB = 60° - 40° = 20°$
【答案】
20°
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的特征
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，需要熟练掌握特殊三角形的角度性质，解题核心是梳理清楚不同三角形的角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理，求出等腰三角形的底角度数；再结合含30°角的直角三角板的角度特征，得到三角板斜边与BC边的夹角，最后用该夹角减去已求出的底角度数，即可得到∠α的度数。
【解析】
1. 计算等腰△ABC的底角∠ACB：
∵ AB=AC，△ABC为等腰三角形，∠BAC=100°
根据三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，可得：
$∠ ACB = \frac{180° - ∠ BAC}{2} = \frac{180° - 100°}{2} = 40°$
2. 分析三角板的角度：
已知三角板为含30°角的直角三角板，其三个内角度数分别为30°、60°、90°；由题意得三角板一直角边与BC重合，斜边经过点A，因此三角板斜边与BC边的夹角为60°。
3. 计算∠α：
∠α为三角板斜边与AC的夹角，因此$∠ α = 60° - ∠ ACB = 60° - 40° = 20°$
【答案】
20°
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的特征
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，需要熟练掌握特殊三角形的角度性质，解题核心是梳理清楚不同三角形的角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
12.如图,在$△ ABC$中,$AB=10\ \mathrm{cm}$,$AC=6\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$,点$D$,$E$分别在$AC$,$AB$上,且$△ BCD$和$△ BED$关于直线$BD$对称,则$△ ADE$的周长为
8
$\mathrm{cm}$.答案
12. 8
解析
【分析】
解题思路：首先回忆轴对称的性质，成轴对称的两个图形对应边相等，因此可得△BCD和△BED的对应边BE=BC、DE=DC。要求△ADE的周长，其周长公式为AD+DE+AE，可通过等量代换，将DE替换为DC，此时AD+DC刚好等于AC的长度，再将AE转化为AB-BE（BE=BC），即可将所求周长转化为已知线段的和差计算，代入数值就能得到结果。
【解析】
解：
∵△BCD和△BED关于直线BD对称
∴根据轴对称的性质可得：$BE=BC=8\ \mathrm{cm}$，$DE=DC$
△ADE的周长$=AD + DE + AE$
将$DE=DC$代入得：
周长$=AD + DC + AE = AC + AE$
又
∵$AE = AB - BE = AB - BC = 10 - 8 = 2\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$
∴△ADE的周长$=6 + 2 = 8\ \mathrm{cm}$
【答案】
8
【知识点】
轴对称的性质，三角形周长计算，等量代换
【点评】
本题属于基础类常考题，核心考查轴对称性质的灵活应用，解题的关键是利用轴对称对应边相等的性质，将未知的周长转化为已知线段的和差，避免单独计算各未知边的长度，简化了计算过程。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆轴对称的性质，成轴对称的两个图形对应边相等，因此可得△BCD和△BED的对应边BE=BC、DE=DC。要求△ADE的周长，其周长公式为AD+DE+AE，可通过等量代换，将DE替换为DC，此时AD+DC刚好等于AC的长度，再将AE转化为AB-BE（BE=BC），即可将所求周长转化为已知线段的和差计算，代入数值就能得到结果。
【解析】
解：
∵△BCD和△BED关于直线BD对称
∴根据轴对称的性质可得：$BE=BC=8\ \mathrm{cm}$，$DE=DC$
△ADE的周长$=AD + DE + AE$
将$DE=DC$代入得：
周长$=AD + DC + AE = AC + AE$
又
∵$AE = AB - BE = AB - BC = 10 - 8 = 2\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$
∴△ADE的周长$=6 + 2 = 8\ \mathrm{cm}$
【答案】
8
【知识点】
轴对称的性质，三角形周长计算，等量代换
【点评】
本题属于基础类常考题，核心考查轴对称性质的灵活应用，解题的关键是利用轴对称对应边相等的性质，将未知的周长转化为已知线段的和差，避免单独计算各未知边的长度，简化了计算过程。
【难度系数】
0.8
13. 如图，∠MON内有一点P，P点关于直线OM的对称点是G，P点关于直线ON的对称点是H，GH分别交OM，ON于点A，B。若GH的长为14，则△PAB的周长为
14
。答案
13. 14
解析
【分析】
解题时先回忆轴对称的性质：如果两个点关于某条直线对称，那么这条直线是这两点所连线段的垂直平分线，而垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。我们可以利用这个性质，把△PAB的三条边转化到线段GH上，进而求出周长。首先明确OM上的点A到对称点P、G的距离相等，ON上的点B到对称点P、H的距离相等，再把△PAB的周长拆分替换，就能和已知的GH长度关联起来。
【解析】
∵ P点关于直线OM的对称点是G
∴ OM垂直平分线段PG
又
∵ 点A在OM上
∴ PA = GA（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
同理，P点关于直线ON的对称点是H，点B在ON上
∴ PB = HB
△PAB的周长 = PA + AB + PB
将PA=GA、PB=HB代入得：
周长 = GA + AB + HB = GH
∵ GH = 14
∴ △PAB的周长为14
【答案】
14
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 线段垂直平分线的性质
3. 三角形周长计算
【点评】
本题主要考查轴对称相关性质的应用，解题的核心是通过轴对称的性质完成线段的等量转化，将未知的三角形周长转化为已知长度的线段，整体解题思路清晰，掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆轴对称的性质：如果两个点关于某条直线对称，那么这条直线是这两点所连线段的垂直平分线，而垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。我们可以利用这个性质，把△PAB的三条边转化到线段GH上，进而求出周长。首先明确OM上的点A到对称点P、G的距离相等，ON上的点B到对称点P、H的距离相等，再把△PAB的周长拆分替换，就能和已知的GH长度关联起来。
【解析】
∵ P点关于直线OM的对称点是G
∴ OM垂直平分线段PG
又
∵ 点A在OM上
∴ PA = GA（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
同理，P点关于直线ON的对称点是H，点B在ON上
∴ PB = HB
△PAB的周长 = PA + AB + PB
将PA=GA、PB=HB代入得：
周长 = GA + AB + HB = GH
∵ GH = 14
∴ △PAB的周长为14
【答案】
14
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 线段垂直平分线的性质
3. 三角形周长计算
【点评】
本题主要考查轴对称相关性质的应用，解题的核心是通过轴对称的性质完成线段的等量转化，将未知的三角形周长转化为已知长度的线段，整体解题思路清晰，掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
14.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ C=30°$，$BA⊥ AD$，$AD=4$，则$BC=$
12
答案
14. 12
解析
【分析】
解题时首先根据AB=AC判定△ABC为等腰三角形，利用等边对等角得到∠B=∠C=30°，再通过三角形内角和定理计算出∠BAC的度数；结合BA⊥AD的条件求出∠DAC的度数，发现∠DAC=∠C，利用等角对等边得到DC=AD；最后在Rt△ABD中，利用直角三角形30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出BD的长度，相加BD和DC即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵ $AB=AC$，$∠ C=30°$
∴ $∠ B=∠ C=30°$（等腰三角形等边对等角）
∴ $∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-30°-30°=120°$
∵ $BA⊥ AD$
∴ $∠ BAD=90°$
∴ $∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD=120°-90°=30°$
∴ $∠ DAC=∠ C$
∴ $DC=AD=4$（等角对等边）
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=30°$，$AD=4$
∴ $BD=2AD=2×4=8$（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半）
∴ $BC=BD+DC=8+4=12$
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形30°角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，重点考察等腰三角形和特殊直角三角形性质的综合应用，解题的突破口是通过角度推导得到相等的角，进而转化为线段相等的关系，计算过程简单，只要熟练掌握相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据AB=AC判定△ABC为等腰三角形，利用等边对等角得到∠B=∠C=30°，再通过三角形内角和定理计算出∠BAC的度数；结合BA⊥AD的条件求出∠DAC的度数，发现∠DAC=∠C，利用等角对等边得到DC=AD；最后在Rt△ABD中，利用直角三角形30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出BD的长度，相加BD和DC即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵ $AB=AC$，$∠ C=30°$
∴ $∠ B=∠ C=30°$（等腰三角形等边对等角）
∴ $∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-30°-30°=120°$
∵ $BA⊥ AD$
∴ $∠ BAD=90°$
∴ $∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD=120°-90°=30°$
∴ $∠ DAC=∠ C$
∴ $DC=AD=4$（等角对等边）
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=30°$，$AD=4$
∴ $BD=2AD=2×4=8$（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半）
∴ $BC=BD+DC=8+4=12$
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形30°角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，重点考察等腰三角形和特殊直角三角形性质的综合应用，解题的突破口是通过角度推导得到相等的角，进而转化为线段相等的关系，计算过程简单，只要熟练掌握相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
15. 如图
，△ABC的两条角平分线相交于点O，过点O的直线MN//BC，交AB于点M，交AC于点N，若BC=8 cm，△AMN的周长是12 cm，则△ABC的周长等于
，△ABC的两条角平分线相交于点O，过点O的直线MN//BC，交AB于点M，交AC于点N，若BC=8 cm，△AMN的周长是12 cm，则△ABC的周长等于20
cm.答案
15. 20
解析
【分析】
解题时可先结合角平分线和平行线的性质推导等腰三角形，再通过线段等量代换将△AMN的周长转化为AB与AC的长度和，最后加上BC的长度即可得到△ABC的周长。步骤如下：1. 利用角平分线可得∠MBO=∠OBC，结合MN//BC的内错角相等，可推出∠MBO=∠MOB，得到MB=MO，同理可得NC=NO；2. 将△AMN周长中的MN拆分为MO+ON，代换后即可得到AB+AC等于△AMN的周长；3. 结合已知BC的长度，求和得到△ABC的周长。
【解析】
解：
∵BO是∠ABC的角平分线，CO是∠ACB的角平分线
∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB
∵MN//BC
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB（两直线平行，内错角相等）
∴∠MBO=∠MOB，∠NCO=∠NOC
∴MB=MO，NC=NO（等角对等边）
已知△AMN的周长为12 cm，即：
$AM + MN + AN = 12\ \mathrm{cm}$
又
∵$MN = MO + ON$，将$MO=MB$、$ON=NC$代入得：
$AM + MB + AN + NC = AB + AC = 12\ \mathrm{cm}$
∴△ABC的周长为：
$AB + AC + BC = 12 + 8 = 20\ \mathrm{cm}$
【答案】
20
【知识点】
角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何综合题，核心是利用角平分线和平行线的组合特征推导出等腰三角形，通过线段等量代换实现周长的转化，解题时要熟练掌握常见的几何模型特征，提升转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时可先结合角平分线和平行线的性质推导等腰三角形，再通过线段等量代换将△AMN的周长转化为AB与AC的长度和，最后加上BC的长度即可得到△ABC的周长。步骤如下：1. 利用角平分线可得∠MBO=∠OBC，结合MN//BC的内错角相等，可推出∠MBO=∠MOB，得到MB=MO，同理可得NC=NO；2. 将△AMN周长中的MN拆分为MO+ON，代换后即可得到AB+AC等于△AMN的周长；3. 结合已知BC的长度，求和得到△ABC的周长。
【解析】
解：
∵BO是∠ABC的角平分线，CO是∠ACB的角平分线
∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB
∵MN//BC
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB（两直线平行，内错角相等）
∴∠MBO=∠MOB，∠NCO=∠NOC
∴MB=MO，NC=NO（等角对等边）
已知△AMN的周长为12 cm，即：
$AM + MN + AN = 12\ \mathrm{cm}$
又
∵$MN = MO + ON$，将$MO=MB$、$ON=NC$代入得：
$AM + MB + AN + NC = AB + AC = 12\ \mathrm{cm}$
∴△ABC的周长为：
$AB + AC + BC = 12 + 8 = 20\ \mathrm{cm}$
【答案】
20
【知识点】
角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何综合题，核心是利用角平分线和平行线的组合特征推导出等腰三角形，通过线段等量代换实现周长的转化，解题时要熟练掌握常见的几何模型特征，提升转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
