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2. 已知$1≤x≤3$，化简：$|x - 1|+\sqrt{(x - 3)^2}$。
答案
原式=$(x-1)+(3-x)=2$
解析
【分析】
解题时首先回忆相关性质：①绝对值的性质：$|a|=a(a≥0)$，$|a|=-a(a＜0)$；②二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$。首先根据题目给出的$x$的取值范围$1≤ x≤3$，分别判断$|x-1|$中的$x-1$、$\sqrt{(x-3)^2}$转化为绝对值后的$x-3$的正负性，再根据性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得$\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$，因此原式可变形为：
$|x-1| + |x-3|$
已知$1≤ x≤3$，
$\therefore x-1≥0$，故$|x-1|=x-1$；
$x-3≤0$，故$|x-3|=-(x-3)=3-x$；
将上述结果代入原式得：
原式$=(x-1)+(3-x)$
$=x-1+3-x$
$=2$
【答案】
$2$
【知识点】
绝对值的化简；二次根式的性质；整式的加减运算
【点评】
本题是代数式化简的基础题型，解题的核心是结合自变量的取值范围准确判断绝对值内代数式的正负，再正确运用绝对值和二次根式的性质去掉绝对值符号，计算过程中注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相关性质：①绝对值的性质：$|a|=a(a≥0)$，$|a|=-a(a＜0)$；②二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$。首先根据题目给出的$x$的取值范围$1≤ x≤3$，分别判断$|x-1|$中的$x-1$、$\sqrt{(x-3)^2}$转化为绝对值后的$x-3$的正负性，再根据性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得$\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$，因此原式可变形为：
$|x-1| + |x-3|$
已知$1≤ x≤3$，
$\therefore x-1≥0$，故$|x-1|=x-1$；
$x-3≤0$，故$|x-3|=-(x-3)=3-x$；
将上述结果代入原式得：
原式$=(x-1)+(3-x)$
$=x-1+3-x$
$=2$
【答案】
$2$
【知识点】
绝对值的化简；二次根式的性质；整式的加减运算
【点评】
本题是代数式化简的基础题型，解题的核心是结合自变量的取值范围准确判断绝对值内代数式的正负，再正确运用绝对值和二次根式的性质去掉绝对值符号，计算过程中注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
3. 实数a,b在数轴上的位置如图1,化简:$\sqrt{(b-1)^2} - \sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{(b-a)^2}$ 
答案
3. 0
解析
【分析】
首先观察数轴确定实数a、b的取值范围：-1＜a＜0，0＜b＜1。再回忆二次根式的核心性质$\sqrt{x^2}=|x|$，因此需要先判断每个根号内表达式的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项得到化简结果。解题步骤为：1.根据数轴确定a、b的范围；2.判断每个绝对值内式子的正负；3.去绝对值并化简计算。
【解析】
解：由数轴可知：$\boldsymbol{-1 ＜ a ＜ 0}$，$\boldsymbol{0 ＜ b ＜ 1}$
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式可转化为：
$\sqrt{(b-1)^2} - \sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{(b-a)^2}=|b-1| - |a-1| + |b-a|$
判断绝对值内表达式的正负：
∵ $b＜1$，
∴ $b-1＜0$，则$|b-1|=1-b$；
∵ $a＜1$，
∴ $a-1＜0$，则$|a-1|=1-a$；
∵ $b＞a$，
∴ $b-a＞0$，则$|b-a|=b-a$。
代入式子化简：
$\begin{aligned}原式&=(1-b) - (1-a) + (b-a)\\&=1 - b -1 + a + b - a\\&=0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的化简、数轴识数
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，需要结合数轴判断代数式的正负，易错点是去绝对值时符号处理错误，只要牢记绝对值的化简规则，按步骤计算即可正确求解。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴确定实数a、b的取值范围：-1＜a＜0，0＜b＜1。再回忆二次根式的核心性质$\sqrt{x^2}=|x|$，因此需要先判断每个根号内表达式的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项得到化简结果。解题步骤为：1.根据数轴确定a、b的范围；2.判断每个绝对值内式子的正负；3.去绝对值并化简计算。
【解析】
解：由数轴可知：$\boldsymbol{-1 ＜ a ＜ 0}$，$\boldsymbol{0 ＜ b ＜ 1}$
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式可转化为：
$\sqrt{(b-1)^2} - \sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{(b-a)^2}=|b-1| - |a-1| + |b-a|$
判断绝对值内表达式的正负：
∵ $b＜1$，
∴ $b-1＜0$，则$|b-1|=1-b$；
∵ $a＜1$，
∴ $a-1＜0$，则$|a-1|=1-a$；
∵ $b＞a$，
∴ $b-a＞0$，则$|b-a|=b-a$。
代入式子化简：
$\begin{aligned}原式&=(1-b) - (1-a) + (b-a)\\&=1 - b -1 + a + b - a\\&=0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的化简、数轴识数
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，需要结合数轴判断代数式的正负，易错点是去绝对值时符号处理错误，只要牢记绝对值的化简规则，按步骤计算即可正确求解。
【难度系数】
0.7
4*. 若a,b,c为△ABC的三条边长,化简:$\sqrt{(a+b-c)^2}+\sqrt{(b-a-c)^2}$.
答案
4. $2a$
解析
【分析】
要化简该二次根式，首先需利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为绝对值的和；再结合三角形三边关系判断每个绝对值内代数式的正负性；最后根据绝对值的性质去绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
∵a、b、c为△ABC的三条边长
∴根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”可得：
$a+b＞c$，$a+c＞b$
∴$a+b-c＞0$，$b-a-c=b-(a+c)＜0$
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式可变形为：
$\begin{aligned}原式&=|a+b-c|+|b-a-c|\\&=(a+b-c) + [-(b-a-c)]\\&=a+b-c -b+a+c\\&=2a\end{aligned}$
【答案】
$2a$
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 三角形三边关系
3. 绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简与三角形性质的综合基础题，解题核心是先利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再结合二次根式与绝对值的性质正确化简，是该章节的常见典型题型。
【难度系数】
0.8
要化简该二次根式，首先需利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为绝对值的和；再结合三角形三边关系判断每个绝对值内代数式的正负性；最后根据绝对值的性质去绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
∵a、b、c为△ABC的三条边长
∴根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”可得：
$a+b＞c$，$a+c＞b$
∴$a+b-c＞0$，$b-a-c=b-(a+c)＜0$
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式可变形为：
$\begin{aligned}原式&=|a+b-c|+|b-a-c|\\&=(a+b-c) + [-(b-a-c)]\\&=a+b-c -b+a+c\\&=2a\end{aligned}$
【答案】
$2a$
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 三角形三边关系
3. 绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简与三角形性质的综合基础题，解题核心是先利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再结合二次根式与绝对值的性质正确化简，是该章节的常见典型题型。
【难度系数】
0.8
