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一、选择题
1. 下列各式成立的是(
A.$\sqrt{4} × \sqrt{2} = 8$
B.$\frac{1}{2}\sqrt{3} × \sqrt{2} = \sqrt{3}$
C.$\frac{1}{2}\sqrt{3} × \frac{1}{3}\sqrt{2} = 1$
D.$\sqrt{\frac{2}{3}} × \sqrt{6} = 2$
1. 下列各式成立的是(
D
)A.$\sqrt{4} × \sqrt{2} = 8$
B.$\frac{1}{2}\sqrt{3} × \sqrt{2} = \sqrt{3}$
C.$\frac{1}{2}\sqrt{3} × \frac{1}{3}\sqrt{2} = 1$
D.$\sqrt{\frac{2}{3}} × \sqrt{6} = 2$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，解题思路是依据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），计算时系数与系数相乘，二次根式与二次根式相乘，最后将结果化为最简二次根式，再逐一判断四个选项的计算结果是否正确即可。
【解析】
根据二次根式乘法法则逐个计算选项：
A选项：$\sqrt{4} × \sqrt{2} = \sqrt{4×2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ≠ 8$，故A错误；
B选项：$\frac{1}{2}\sqrt{3} × \sqrt{2} = \frac{1}{2} × \sqrt{3×2} = \frac{\sqrt{6}}{2} ≠ \sqrt{3}$，故B错误；
C选项：$\frac{1}{2}\sqrt{3} × \frac{1}{3}\sqrt{2} = (\frac{1}{2} × \frac{1}{3}) × \sqrt{3×2} = \frac{1}{6}\sqrt{6} ≠ 1$，故C错误；
D选项：$\sqrt{\frac{2}{3}} × \sqrt{6} = \sqrt{\frac{2}{3} × 6} = \sqrt{4} = 2$，计算正确，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的乘法运算、二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式乘法法则的应用，计算时注意区分系数和根式部分的运算规则，最终结果化为最简形式即可快速判断对错。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的乘法运算，解题思路是依据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），计算时系数与系数相乘，二次根式与二次根式相乘，最后将结果化为最简二次根式，再逐一判断四个选项的计算结果是否正确即可。
【解析】
根据二次根式乘法法则逐个计算选项：
A选项：$\sqrt{4} × \sqrt{2} = \sqrt{4×2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ≠ 8$，故A错误；
B选项：$\frac{1}{2}\sqrt{3} × \sqrt{2} = \frac{1}{2} × \sqrt{3×2} = \frac{\sqrt{6}}{2} ≠ \sqrt{3}$，故B错误；
C选项：$\frac{1}{2}\sqrt{3} × \frac{1}{3}\sqrt{2} = (\frac{1}{2} × \frac{1}{3}) × \sqrt{3×2} = \frac{1}{6}\sqrt{6} ≠ 1$，故C错误；
D选项：$\sqrt{\frac{2}{3}} × \sqrt{6} = \sqrt{\frac{2}{3} × 6} = \sqrt{4} = 2$，计算正确，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的乘法运算、二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式乘法法则的应用，计算时注意区分系数和根式部分的运算规则，最终结果化为最简形式即可快速判断对错。
【难度系数】
0.8
2. 计算$\sqrt{12} × \sqrt{\frac{1}{2}}$的结果是(
A.6
B.$\sqrt{24}$
C.$\sqrt{6}$
D.$12\sqrt{2}$
C
)A.6
B.$\sqrt{24}$
C.$\sqrt{6}$
D.$12\sqrt{2}$
答案
2. C
解析
【分析】
这道题考查二次根式的乘法运算，解题可从两个思路切入：①直接利用二次根式乘法法则，两个非负二次根式相乘时，把被开方数相乘、根指数保持不变，再将所得结果化简为最简二次根式；②先把两个二次根式分别化为最简二次根式，再进行乘法运算，最终约分得到结果，两种方法都能快速算出答案。
【解析】
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，计算过程如下：
$\sqrt{12} × \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{12 × \frac{1}{2}} = \sqrt{6}$
（也可先化简再计算：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入得$2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6}$）
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘法，二次根式的化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握二次根式的乘法运算法则，计算时要注意最终结果必须化为最简二次根式，避免出现未化简就误选B选项的错误。
【难度系数】
0.85
这道题考查二次根式的乘法运算，解题可从两个思路切入：①直接利用二次根式乘法法则，两个非负二次根式相乘时，把被开方数相乘、根指数保持不变，再将所得结果化简为最简二次根式；②先把两个二次根式分别化为最简二次根式，再进行乘法运算，最终约分得到结果，两种方法都能快速算出答案。
【解析】
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，计算过程如下：
$\sqrt{12} × \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{12 × \frac{1}{2}} = \sqrt{6}$
（也可先化简再计算：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入得$2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6}$）
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘法，二次根式的化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握二次根式的乘法运算法则，计算时要注意最终结果必须化为最简二次根式，避免出现未化简就误选B选项的错误。
【难度系数】
0.85
3. 如果$\sqrt{x} · \sqrt{x - 6} = \sqrt{x(x - 6)}$，那么(
A.$x ≥ 0$
B.$x ≥ 6$
C.$0 ≤ x ≤ 6$
D.$x$为一切实数
B
)A.$x ≥ 0$
B.$x ≥ 6$
C.$0 ≤ x ≤ 6$
D.$x$为一切实数
答案
3. B
解析
【分析】
本题考查二次根式乘法法则的成立条件，解题思路如下：首先明确二次根式的核心要求是被开方数为非负数，且二次根式乘法公式$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的前提是左侧两个二次根式都有意义，即$a≥0$且$b≥0$，不能仅验证等号右侧的被开方数非负。据此对应本题中的被开方数列不等式组，求解公共解集即可得到正确选项。
【解析】
要使等式$\sqrt{x} · \sqrt{x - 6} = \sqrt{x(x - 6)}$成立，需保证左侧两个二次根式均有意义，因此列不等式组：
$\begin{cases}x≥0 \\x-6≥0\end{cases}$
解不等式$x-6≥0$，得$x≥6$。
两个不等式的公共解集为$x≥6$，因此$x$的取值范围是$x≥6$。
【答案】
B
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.二次根式的乘法法则
【点评】
本题属于二次根式乘法的基础考查题，易错点是只关注等号右侧被开方数的非负性，忽略左侧每个二次根式的被开方数都需满足非负要求，解题时要牢记公式成立的完整前提条件。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式乘法法则的成立条件，解题思路如下：首先明确二次根式的核心要求是被开方数为非负数，且二次根式乘法公式$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的前提是左侧两个二次根式都有意义，即$a≥0$且$b≥0$，不能仅验证等号右侧的被开方数非负。据此对应本题中的被开方数列不等式组，求解公共解集即可得到正确选项。
【解析】
要使等式$\sqrt{x} · \sqrt{x - 6} = \sqrt{x(x - 6)}$成立，需保证左侧两个二次根式均有意义，因此列不等式组：
$\begin{cases}x≥0 \\x-6≥0\end{cases}$
解不等式$x-6≥0$，得$x≥6$。
两个不等式的公共解集为$x≥6$，因此$x$的取值范围是$x≥6$。
【答案】
B
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.二次根式的乘法法则
【点评】
本题属于二次根式乘法的基础考查题，易错点是只关注等号右侧被开方数的非负性，忽略左侧每个二次根式的被开方数都需满足非负要求，解题时要牢记公式成立的完整前提条件。
【难度系数】
0.7
4. 已知$\sqrt{5} × \sqrt{a}$的积是一个整数，则正整数$a$的最小值为(
A.2
B.5
C.20
D.50
B
)A.2
B.5
C.20
D.50
答案
4. B
解析
【分析】
解题时首先运用二次根式的乘法法则，将两个二次根式的乘积合并为一个二次根式；要使这个二次根式的运算结果为整数，说明被开方数必须是能开得尽方的完全平方数；接下来结合a是正整数的条件，分析被开方数的质因数构成，找到能让被开方数成为完全平方数的最小正整数a即可。
【解析】
根据二次根式的乘法法则：$\sqrt{m} · \sqrt{n} = \sqrt{mn}$（$m≥0,n≥0$），可得：
$\sqrt{5} × \sqrt{a} = \sqrt{5a}$
已知该乘积是整数，说明$\sqrt{5a}$是整数，即$5a$是完全平方数。
因为$5$是质数，要使$5a$为完全平方数，$5a$的质因数中$5$的指数需为偶数，目前只有1个质因数$5$，因此至少还需要1个因数$5$，即$5a$最小为$5 × 5 = 25$，此时正整数$a$的最小值为$25 ÷ 5 = 5$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次根式的乘法运算 2.完全平方数的性质
【点评】
本题考查二次根式乘法的实际应用，解题核心是明确“二次根式的值为整数时，其被开方数为完全平方数”这一规律，整体难度较低，掌握基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先运用二次根式的乘法法则，将两个二次根式的乘积合并为一个二次根式；要使这个二次根式的运算结果为整数，说明被开方数必须是能开得尽方的完全平方数；接下来结合a是正整数的条件，分析被开方数的质因数构成，找到能让被开方数成为完全平方数的最小正整数a即可。
【解析】
根据二次根式的乘法法则：$\sqrt{m} · \sqrt{n} = \sqrt{mn}$（$m≥0,n≥0$），可得：
$\sqrt{5} × \sqrt{a} = \sqrt{5a}$
已知该乘积是整数，说明$\sqrt{5a}$是整数，即$5a$是完全平方数。
因为$5$是质数，要使$5a$为完全平方数，$5a$的质因数中$5$的指数需为偶数，目前只有1个质因数$5$，因此至少还需要1个因数$5$，即$5a$最小为$5 × 5 = 25$，此时正整数$a$的最小值为$25 ÷ 5 = 5$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次根式的乘法运算 2.完全平方数的性质
【点评】
本题考查二次根式乘法的实际应用，解题核心是明确“二次根式的值为整数时，其被开方数为完全平方数”这一规律，整体难度较低，掌握基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 计算：$\sqrt{2} × \sqrt{7} =$
1. 计算：$\sqrt{2} × \sqrt{7} =$
$\sqrt{14}$
；$-\sqrt{3} × \sqrt{\dfrac{2}{3}} =$ $-\sqrt{2}$
。答案
1. $\sqrt{14},-\sqrt{2}$
解析
【分析】
解决本题需要用到二次根式的乘法运算法则，解题思路如下：1. 先回忆二次根式乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），运算时如果有负号要先保留符号，仅对根号部分按照法则计算；2. 第一小问两个二次根式均为正，直接套用法则将根号下的数字相乘即可；3. 第二小问先保留负号，再将根号下的数字相乘，最后约分化简得到结果。
【解析】
（1）根据二次根式乘法法则计算：
$\sqrt{2} × \sqrt{7} = \sqrt{2 × 7} = \sqrt{14}$
（2）先保留负号，再对根号部分运用乘法法则计算：
$-\sqrt{3} × \sqrt{\dfrac{2}{3}} = -\sqrt{3 × \dfrac{2}{3}} = -\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{14}$；$-\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法法则；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式乘法的基础运算题，核心是牢记运算法则，运算时注意符号的处理，最后要保证结果是最简二次根式，这类基础运算需要熟练掌握，为后续复杂的二次根式运算打基础。
【难度系数】
0.9
解决本题需要用到二次根式的乘法运算法则，解题思路如下：1. 先回忆二次根式乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），运算时如果有负号要先保留符号，仅对根号部分按照法则计算；2. 第一小问两个二次根式均为正，直接套用法则将根号下的数字相乘即可；3. 第二小问先保留负号，再将根号下的数字相乘，最后约分化简得到结果。
【解析】
（1）根据二次根式乘法法则计算：
$\sqrt{2} × \sqrt{7} = \sqrt{2 × 7} = \sqrt{14}$
（2）先保留负号，再对根号部分运用乘法法则计算：
$-\sqrt{3} × \sqrt{\dfrac{2}{3}} = -\sqrt{3 × \dfrac{2}{3}} = -\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{14}$；$-\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法法则；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式乘法的基础运算题，核心是牢记运算法则，运算时注意符号的处理，最后要保证结果是最简二次根式，这类基础运算需要熟练掌握，为后续复杂的二次根式运算打基础。
【难度系数】
0.9
2. 化简：$\sqrt{3} × \sqrt{27} =$
9
；$-\sqrt{2} × (-\sqrt{8}) =$ 4
.答案
2. 9,4
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，解题思路如下：1. 回忆二次根式乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0, b≥0$），运算时可先用法则合并根号再开方，也可先将每个二次根式化为最简二次根式再相乘；2. 遇到带负号的运算，先根据“负负得正”确定最终的符号，再进行二次根式的乘法计算，最后将结果化为最简即可。
【解析】
1. 计算$\sqrt{3} × \sqrt{27}$：
根据二次根式乘法法则可得：
$\sqrt{3} × \sqrt{27} = \sqrt{3×27} = \sqrt{81} = 9$
2. 计算$-\sqrt{2} × (-\sqrt{8})$：
先根据有理数乘法符号规则确定符号，负负得正，因此原式$=\sqrt{2}×\sqrt{8}$，再根据二次根式乘法法则计算：
$\sqrt{2}×\sqrt{8} = \sqrt{2×8} = \sqrt{16} = 4$
【答案】
9；4
【知识点】
1. 二次根式的乘法法则 2. 二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式乘法的基础运算题，解题时可灵活选择计算方法，需注意带负号的运算要先判断符号，避免因符号错误丢分，熟练掌握二次根式乘法法则和化简方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的乘法运算，解题思路如下：1. 回忆二次根式乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0, b≥0$），运算时可先用法则合并根号再开方，也可先将每个二次根式化为最简二次根式再相乘；2. 遇到带负号的运算，先根据“负负得正”确定最终的符号，再进行二次根式的乘法计算，最后将结果化为最简即可。
【解析】
1. 计算$\sqrt{3} × \sqrt{27}$：
根据二次根式乘法法则可得：
$\sqrt{3} × \sqrt{27} = \sqrt{3×27} = \sqrt{81} = 9$
2. 计算$-\sqrt{2} × (-\sqrt{8})$：
先根据有理数乘法符号规则确定符号，负负得正，因此原式$=\sqrt{2}×\sqrt{8}$，再根据二次根式乘法法则计算：
$\sqrt{2}×\sqrt{8} = \sqrt{2×8} = \sqrt{16} = 4$
【答案】
9；4
【知识点】
1. 二次根式的乘法法则 2. 二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式乘法的基础运算题，解题时可灵活选择计算方法，需注意带负号的运算要先判断符号，避免因符号错误丢分，熟练掌握二次根式乘法法则和化简方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 一个矩形的长为$\sqrt{6}$ cm,宽为$\sqrt{5}$ cm,则这个矩形的面积是
$\sqrt{30}$
cm².答案
3. $\sqrt{30}$
解析
【分析】
要求矩形的面积，首先回忆矩形面积公式：面积=长×宽。已知长和宽均为二次根式，因此代入数值后，只需运用二次根式的乘法法则计算，最后确认结果为最简二次根式即可。
【解析】
解：根据矩形面积公式，可得：
矩形面积 = 长 × 宽
将长为$\sqrt{6}$ cm，宽为$\sqrt{5}$ cm代入得：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{6} × \sqrt{5} \\&=\sqrt{6 × 5} \quad (\mathrm{二次根式乘法法则：}\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab},a≥0,b≥0)\\&=\sqrt{30} \ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{30}$
【知识点】
矩形面积计算；二次根式的乘法运算
【点评】
本题是基础运算类题目，结合了几何面积公式和二次根式的运算，只要掌握相关公式和运算法则就能顺利解答，注意运算结果需化为最简二次根式。
【难度系数】
0.9
要求矩形的面积，首先回忆矩形面积公式：面积=长×宽。已知长和宽均为二次根式，因此代入数值后，只需运用二次根式的乘法法则计算，最后确认结果为最简二次根式即可。
【解析】
解：根据矩形面积公式，可得：
矩形面积 = 长 × 宽
将长为$\sqrt{6}$ cm，宽为$\sqrt{5}$ cm代入得：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{6} × \sqrt{5} \\&=\sqrt{6 × 5} \quad (\mathrm{二次根式乘法法则：}\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab},a≥0,b≥0)\\&=\sqrt{30} \ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{30}$
【知识点】
矩形面积计算；二次根式的乘法运算
【点评】
本题是基础运算类题目，结合了几何面积公式和二次根式的运算，只要掌握相关公式和运算法则就能顺利解答，注意运算结果需化为最简二次根式。
【难度系数】
0.9
4. 观察下列各式：$\sqrt{3^2 -1}=\sqrt{2}×\sqrt{4}$，$\sqrt{4^2 -1}=\sqrt{3}×\sqrt{5}$，$\sqrt{5^2 -1}=\sqrt{4}×\sqrt{6}$，$···$. 将你所观察得到的规律用一个含正整数$n$的等式来表示：
$\sqrt{n^2 -1}=\sqrt{n - 1}·\sqrt{n + 1}(n≥3,且n为正整数)$
.答案
4. $\sqrt{n^2 -1}=\sqrt{n - 1}·\sqrt{n + 1}(n≥3,且n为正整数)$
解析
【分析】
首先观察给出的三个等式的结构，先从左侧入手：三个等式左侧根号内的被开方数分别是$3^2-1$、$4^2-1$、$5^2-1$，底数依次是3、4、5，是从3开始的连续正整数，可设该正整数为$n$（$n≥3$），则左侧可表示为$\sqrt{n^2-1}$。再观察右侧：每个等式右侧都是两个二次根式相乘，第一个根式的被开方数比左侧的底数小1，第二个根式的被开方数比左侧的底数大1，即可表示为$\sqrt{n-1}·\sqrt{n+1}$。最后结合二次根式有意义的条件和给出的例子，确定$n$的取值范围即可。
【解析】
步骤1：观察左侧规律
第1个式子：$\sqrt{3^2 -1}$，对应底数为3；
第2个式子：$\sqrt{4^2 -1}$，对应底数为4；
第3个式子：$\sqrt{5^2 -1}$，对应底数为5；
若用正整数$n$表示底数，结合示例可知$n≥3$，则左侧统一表示为$\sqrt{n^2 -1}$。
步骤2：观察右侧规律
第1个式子右侧：$\sqrt{2}×\sqrt{4}$，其中$2=3-1$，$4=3+1$；
第2个式子右侧：$\sqrt{3}×\sqrt{5}$，其中$3=4-1$，$5=4+1$；
第3个式子右侧：$\sqrt{4}×\sqrt{6}$，其中$4=5-1$，$6=5+1$；
因此右侧可表示为$\sqrt{n-1}·\sqrt{n+1}$。
步骤3：验证并确定取值范围
根据平方差公式可得$n^2-1=(n-1)(n+1)$，结合二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$），要使根式有意义，需$n-1≥0$，结合给出的示例最小$n$为3，因此$n$的取值为$n≥3$且$n$为正整数。
【答案】
$\sqrt{n^2 -1}=\sqrt{n - 1}·\sqrt{n + 1}(n≥3,且n为正整数)$
【知识点】
二次根式乘法，数字规律探究，平方差公式
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，需要学生通过观察已知式子的左右两侧结构特征归纳出通用规律，同时要结合二次根式有意义的条件确定变量的取值范围，有助于提升学生的观察归纳能力和对二次根式乘法法则的应用能力。
【难度系数】
0.8
首先观察给出的三个等式的结构，先从左侧入手：三个等式左侧根号内的被开方数分别是$3^2-1$、$4^2-1$、$5^2-1$，底数依次是3、4、5，是从3开始的连续正整数，可设该正整数为$n$（$n≥3$），则左侧可表示为$\sqrt{n^2-1}$。再观察右侧：每个等式右侧都是两个二次根式相乘，第一个根式的被开方数比左侧的底数小1，第二个根式的被开方数比左侧的底数大1，即可表示为$\sqrt{n-1}·\sqrt{n+1}$。最后结合二次根式有意义的条件和给出的例子，确定$n$的取值范围即可。
【解析】
步骤1：观察左侧规律
第1个式子：$\sqrt{3^2 -1}$，对应底数为3；
第2个式子：$\sqrt{4^2 -1}$，对应底数为4；
第3个式子：$\sqrt{5^2 -1}$，对应底数为5；
若用正整数$n$表示底数，结合示例可知$n≥3$，则左侧统一表示为$\sqrt{n^2 -1}$。
步骤2：观察右侧规律
第1个式子右侧：$\sqrt{2}×\sqrt{4}$，其中$2=3-1$，$4=3+1$；
第2个式子右侧：$\sqrt{3}×\sqrt{5}$，其中$3=4-1$，$5=4+1$；
第3个式子右侧：$\sqrt{4}×\sqrt{6}$，其中$4=5-1$，$6=5+1$；
因此右侧可表示为$\sqrt{n-1}·\sqrt{n+1}$。
步骤3：验证并确定取值范围
根据平方差公式可得$n^2-1=(n-1)(n+1)$，结合二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$），要使根式有意义，需$n-1≥0$，结合给出的示例最小$n$为3，因此$n$的取值为$n≥3$且$n$为正整数。
【答案】
$\sqrt{n^2 -1}=\sqrt{n - 1}·\sqrt{n + 1}(n≥3,且n为正整数)$
【知识点】
二次根式乘法，数字规律探究，平方差公式
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，需要学生通过观察已知式子的左右两侧结构特征归纳出通用规律，同时要结合二次根式有意义的条件确定变量的取值范围，有助于提升学生的观察归纳能力和对二次根式乘法法则的应用能力。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 计算：
(1) $\sqrt{3} × \sqrt{5}$；
(2) $\sqrt{4} × \sqrt{\frac{1}{9}}$；
(3) $\sqrt{3} × \sqrt{12}$；
(4) $\sqrt{\frac{2}{3}} × \sqrt{24}$；
(5) $\sqrt{3} × \sqrt{\frac{4}{75}}$；
(6) $6\sqrt{27} × (-2\sqrt{3})$。
1. 计算：
(1) $\sqrt{3} × \sqrt{5}$；
(2) $\sqrt{4} × \sqrt{\frac{1}{9}}$；
(3) $\sqrt{3} × \sqrt{12}$；
(4) $\sqrt{\frac{2}{3}} × \sqrt{24}$；
(5) $\sqrt{3} × \sqrt{\frac{4}{75}}$；
(6) $6\sqrt{27} × (-2\sqrt{3})$。
答案
1. (1) $\sqrt{15}$ (2) $\frac{2}{3}$ (3) 6 (4) 4 (5) $\frac{2}{5}$ (6) -108
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，解题核心是运用二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）。解题思路分两类：①无系数的二次根式相乘，直接将被开方数相乘，再把所得积化为最简二次根式；②带系数的二次根式相乘，先把系数与系数相乘作为结果的系数，再按法则运算二次根式部分并化简，最后将系数与化简后的二次根式相乘，运算过程中注意符号处理。
【解析】
(1) 根据二次根式乘法法则：
$\sqrt{3} × \sqrt{5} = \sqrt{3 × 5} = \sqrt{15}$
(2) 方法1：直接套用乘法法则
$\sqrt{4} × \sqrt{\frac{1}{9}} = \sqrt{4 × \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$
方法2：先开方再相乘
$\sqrt{4} × \sqrt{\frac{1}{9}} = 2 × \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
(3) 按乘法法则运算后化简：
$\sqrt{3} × \sqrt{12} = \sqrt{3 × 12} = \sqrt{36} = 6$
(4) 按乘法法则运算后化简：
$\sqrt{\frac{2}{3}} × \sqrt{24} = \sqrt{\frac{2}{3} × 24} = \sqrt{16} = 4$
(5) 按乘法法则运算后化简：
$\sqrt{3} × \sqrt{\frac{4}{75}} = \sqrt{3 × \frac{4}{75}} = \sqrt{\frac{12}{75}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$
(6) 先算系数乘积，再算二次根式部分乘积，最后合并：
系数乘积：$6 × (-2) = -12$
二次根式部分：$\sqrt{27} × \sqrt{3} = \sqrt{27 × 3} = \sqrt{81} = 9$
最终结果：$-12 × 9 = -108$
【答案】
(1) $\sqrt{15}$ (2) $\frac{2}{3}$ (3) 6 (4) 4 (5) $\frac{2}{5}$ (6) -108
【知识点】
二次根式乘法法则、二次根式化简、有理数乘法运算
【点评】
这组是二次根式乘法的基础巩固题，主要考查对二次根式乘法规则的掌握和化简能力，运算时注意被开方数乘积要化为最简形式，带系数的运算优先算系数乘积，同时注意符号判断，熟练掌握法则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的乘法运算，解题核心是运用二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）。解题思路分两类：①无系数的二次根式相乘，直接将被开方数相乘，再把所得积化为最简二次根式；②带系数的二次根式相乘，先把系数与系数相乘作为结果的系数，再按法则运算二次根式部分并化简，最后将系数与化简后的二次根式相乘，运算过程中注意符号处理。
【解析】
(1) 根据二次根式乘法法则：
$\sqrt{3} × \sqrt{5} = \sqrt{3 × 5} = \sqrt{15}$
(2) 方法1：直接套用乘法法则
$\sqrt{4} × \sqrt{\frac{1}{9}} = \sqrt{4 × \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$
方法2：先开方再相乘
$\sqrt{4} × \sqrt{\frac{1}{9}} = 2 × \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
(3) 按乘法法则运算后化简：
$\sqrt{3} × \sqrt{12} = \sqrt{3 × 12} = \sqrt{36} = 6$
(4) 按乘法法则运算后化简：
$\sqrt{\frac{2}{3}} × \sqrt{24} = \sqrt{\frac{2}{3} × 24} = \sqrt{16} = 4$
(5) 按乘法法则运算后化简：
$\sqrt{3} × \sqrt{\frac{4}{75}} = \sqrt{3 × \frac{4}{75}} = \sqrt{\frac{12}{75}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$
(6) 先算系数乘积，再算二次根式部分乘积，最后合并：
系数乘积：$6 × (-2) = -12$
二次根式部分：$\sqrt{27} × \sqrt{3} = \sqrt{27 × 3} = \sqrt{81} = 9$
最终结果：$-12 × 9 = -108$
【答案】
(1) $\sqrt{15}$ (2) $\frac{2}{3}$ (3) 6 (4) 4 (5) $\frac{2}{5}$ (6) -108
【知识点】
二次根式乘法法则、二次根式化简、有理数乘法运算
【点评】
这组是二次根式乘法的基础巩固题，主要考查对二次根式乘法规则的掌握和化简能力，运算时注意被开方数乘积要化为最简形式，带系数的运算优先算系数乘积，同时注意符号判断，熟练掌握法则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
