典例 某小区准备利用小区围墙的一段(墙体的最大可用长度为10 m)和篱笆,围成中间隔有一道篱笆(垂直于墙)的矩形菜园ABCD(如图).已知篱笆长24 m(篱笆全部用完),围成的矩形菜园ABCD的面积为45 m²,AB的长是多少米?

举一反三 用一根长20 m的铁丝围成一个矩形.
(1)若这个矩形的面积为24 m²,则长和宽各是多少米?
(2)这个矩形的面积可能是26 m²吗?若可能,应该怎么围?若不可能,请说明理由.
典例解析
典例
解 设AB的长是$x$ m,则BC的长是$(24-3x)$m,根据题意,得$x(24-3x)=45$.
整理,得$x^2 -8x +15=0$.
解方程,得$x_1=3,x_2=5$.

当$x=3$时，$24-3x=24-3×3=15＞10$，不符合题意，舍去；
当$x=5$时，$24-3x=24-3×5=9＜10$，符合题意。
因此，AB的长是5 m。
(1) 设矩形的长为$x$ m，则宽为$(10-x)$m。
根据题意，得$x(10-x)=24$。
解方程，得$x_1=6,x_2=4$（不符合题意，舍去）。
此时宽为$10-6=4(\mathrm{m})$，
因此，矩形的长和宽分别是6 m，4 m。
(2) 不可能。理由如下：
假设这个矩形的面积是$26\ \mathrm{m}^2$，
则$x(10-x)=26$，
即$x^2-10x+26=0$。
因为$\Delta =b^2-4ac=(-10)^2-4×1×26=-4＜0$，
所以此时该一元二次方程没有实数根，
因此，这个矩形的面积不可能是$26\ \mathrm{m}^2$。