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7.已知关于$x$的方程$x^2 - kx -7=0$的一个根是3，则另一个根是
$-\frac{7}{3}$
。答案
7. $-\frac{7}{3}$
8.若关于$x$的一元二次方程$x^2 + (a^2 - 3a)x + a = 0$的两个实数根互为倒数，则$a$的值为
1
.答案
8. 1
9. 方程$x^2 + 2x + 3 = 0$与方程$x^2 - 4x - 7 = 0$的所有实数根之积为(
A.$-21$
B.$-7$
C.$2$
D.$4$
B
).A.$-21$
B.$-7$
C.$2$
D.$4$
答案
9. B 解析
∵方程$x^2 + 2x + 3 = 0$中,$a=1,b=2,c=3$，
∴$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×1×3=-8＜0$，
∴该方程没有实数根.
∵方程$x^2 - 4x - 7 = 0$中,$a=1,b=-4$,$c=-7$，
∴$\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4×1×(-7)=44＞0$，
∴该方程有两个不相等的实数根.
设该方程的两个实数根分别是$x_1,x_2$，
则$x_1x_2=-7$.
故选 B.
∵方程$x^2 + 2x + 3 = 0$中,$a=1,b=2,c=3$，
∴$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×1×3=-8＜0$，
∴该方程没有实数根.
∵方程$x^2 - 4x - 7 = 0$中,$a=1,b=-4$,$c=-7$，
∴$\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4×1×(-7)=44＞0$，
∴该方程有两个不相等的实数根.
设该方程的两个实数根分别是$x_1,x_2$，
则$x_1x_2=-7$.
故选 B.
10.若$m,n$是方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的两个根，则$\sqrt{(m - n)^2}$的值是(
A.4
B.$\pm 4$
C.$\pm \sqrt{13}$
D.$\sqrt{21}$
A
).A.4
B.$\pm 4$
C.$\pm \sqrt{13}$
D.$\sqrt{21}$
答案
10. A 解析
∵$m,n$是方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的两个根，
∴$m+n=-2,mn=-3$，
∴$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn=(-2)^2-4×(-3)=16$，
∴$\sqrt{(m-n)^2}=\sqrt{16}=4$.
故选 A.
∵$m,n$是方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的两个根，
∴$m+n=-2,mn=-3$，
∴$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn=(-2)^2-4×(-3)=16$，
∴$\sqrt{(m-n)^2}=\sqrt{16}=4$.
故选 A.
11.若$mn≠1$，且$5m^2 + 2023m + 9 = 0$，$9n^2 + 2023n + 5 = 0$，则$\frac{m}{n}$的值为（
A.$\frac{9}{5}$
B.$\frac{5}{9}$
C.$-\frac{2023}{5}$
D.$-\frac{2023}{9}$
A
）.A.$\frac{9}{5}$
B.$\frac{5}{9}$
C.$-\frac{2023}{5}$
D.$-\frac{2023}{9}$
答案
11. A 解析 由题意知$mn≠0$.
将$9n^2 + 2\ 023n + 5 = 0$变形为$5×(\frac{1}{n})^2+2\ 023×\frac{1}{n}+9=0$.
又$5m^2 + 2\ 023m + 9 = 0$，
∴$m$与$\frac{1}{n}$为方程$5x^2 + 2\ 023x + 9 = 0$的两个根,则$m·\frac{1}{n}=\frac{m}{n}=\frac{9}{5}$.
故选 A.
将$9n^2 + 2\ 023n + 5 = 0$变形为$5×(\frac{1}{n})^2+2\ 023×\frac{1}{n}+9=0$.
又$5m^2 + 2\ 023m + 9 = 0$，
∴$m$与$\frac{1}{n}$为方程$5x^2 + 2\ 023x + 9 = 0$的两个根,则$m·\frac{1}{n}=\frac{m}{n}=\frac{9}{5}$.
故选 A.
12.设$a,b$是方程$x^2 - x -5=0$的两个实数根，则$a^2 + b -6$的值为
0
.答案
12. 0 解析
∵$a$是方程$x^2 - x -5=0$的实数根,
∴$a^2 - a -5=0$,即$a^2=a+5$.
∴$a^2 + b -6=a+5+b-6=a+b-1$.
根据根与系数的关系,得$a+b=1$，
∴$a^2 + b -6=1-1=0$.
∵$a$是方程$x^2 - x -5=0$的实数根,
∴$a^2 - a -5=0$,即$a^2=a+5$.
∴$a^2 + b -6=a+5+b-6=a+b-1$.
根据根与系数的关系,得$a+b=1$，
∴$a^2 + b -6=1-1=0$.
13.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 4x + m = 0$.
(1)若方程有两个实数根,求$m$的取值范围;
(2)若方程的两个实数根为$x_1, x_2$,且$(x_1 - 2)^2 + (x_2 - 2)^2 + m^2 = 23$,求$m$的值.
(1)若方程有两个实数根,求$m$的取值范围;
(2)若方程的两个实数根为$x_1, x_2$,且$(x_1 - 2)^2 + (x_2 - 2)^2 + m^2 = 23$,求$m$的值.
答案
13. 解 (1)
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 - 4x + m = 0$有两个实数根，
∴$\Delta≥0$,即$(-4)^2 - 4m≥0$,解得$m≤4$.
(2)
∵$x_1,x_2$是方程$x^2 - 4x + m = 0$的两个实数根，
∴$x_1^2 - 4x_1=-m$,$x_2^2 - 4x_2=-m$.
∵$(x_1 - 2)^2 + (x_2 - 2)^2 + m^2 = 23$，
∴$x_1^2 - 4x_1 + 4 + x_2^2 - 4x_2 + 4 + m^2 = 23$，
即$m^2 - 2m - 15=0$. 解得$m=5$,或$m=-3$.
又$m≤4$,
∴$m=-3$.
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 - 4x + m = 0$有两个实数根，
∴$\Delta≥0$,即$(-4)^2 - 4m≥0$,解得$m≤4$.
(2)
∵$x_1,x_2$是方程$x^2 - 4x + m = 0$的两个实数根，
∴$x_1^2 - 4x_1=-m$,$x_2^2 - 4x_2=-m$.
∵$(x_1 - 2)^2 + (x_2 - 2)^2 + m^2 = 23$，
∴$x_1^2 - 4x_1 + 4 + x_2^2 - 4x_2 + 4 + m^2 = 23$，
即$m^2 - 2m - 15=0$. 解得$m=5$,或$m=-3$.
又$m≤4$,
∴$m=-3$.
14. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ mx^2 - (1+2m)x + m + 1 = 0(m≠0) $。
(1)求证:该方程总有两个不相等的实数根.
(2)若该方程的两个根为 $ x_1,x_2 $，则是否存在 $ m $ 的值使 $ x_1^2 + x_2^2 = x_1x_2 $ 成立？若存在，请求出 $ m $ 的值；若不存在，请说明理由.
(1)求证:该方程总有两个不相等的实数根.
(2)若该方程的两个根为 $ x_1,x_2 $，则是否存在 $ m $ 的值使 $ x_1^2 + x_2^2 = x_1x_2 $ 成立？若存在，请求出 $ m $ 的值；若不存在，请说明理由.
答案
14. (1)证明
∵$\Delta = [-(1 + 2m)]^2 - 4m(m + 1) = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 - 4m = 1＞0$，
∴该方程总有两个不相等的实数根.
(2)解 不存在.理由如下:根据题意,得$x_1+x_2=\frac{1+2m}{m}$,$x_1x_2=\frac{m+1}{m}$. 若$x_1^2 + x_2^2 = x_1x_2$成立,则$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = x_1x_2$,即$(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 0$,
∴$(\frac{1+2m}{m})^2 - 3·\frac{m+1}{m}=0$.
整理,得$m^2 + m + 1 = 0$.
∵$\Delta=1^2 - 4×1×1=-3＜0$,
∴此方程无实数根,
∴不存在$m$的值使$x_1^2 + x_2^2 = x_1x_2$成立.
∵$\Delta = [-(1 + 2m)]^2 - 4m(m + 1) = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 - 4m = 1＞0$，
∴该方程总有两个不相等的实数根.
(2)解 不存在.理由如下:根据题意,得$x_1+x_2=\frac{1+2m}{m}$,$x_1x_2=\frac{m+1}{m}$. 若$x_1^2 + x_2^2 = x_1x_2$成立,则$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = x_1x_2$,即$(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 0$,
∴$(\frac{1+2m}{m})^2 - 3·\frac{m+1}{m}=0$.
整理,得$m^2 + m + 1 = 0$.
∵$\Delta=1^2 - 4×1×1=-3＜0$,
∴此方程无实数根,
∴不存在$m$的值使$x_1^2 + x_2^2 = x_1x_2$成立.
