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1.下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是(
A.$(y-1)(y+1)=y^2 -1$
B.$x^2y + xy^2 -1 = xy(x+y) -1$
C.$(x-2)(x-3)=(3-x)(2-x)$
D.$x^2 -4x +4=(x-2)^2$
D
).A.$(y-1)(y+1)=y^2 -1$
B.$x^2y + xy^2 -1 = xy(x+y) -1$
C.$(x-2)(x-3)=(3-x)(2-x)$
D.$x^2 -4x +4=(x-2)^2$
答案
D
解析
【分析】
要判断式子变形是否为因式分解，首先需牢记因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，满足两个要求：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式的积的形式。解题时只需对照这两个要求，逐一排查每个选项即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这类变形叫做因式分解。
选项A：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不是因式分解，故A错误；
选项B：右边为$xy(x+y)-1$，含有减法运算，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的要求，故B错误；
选项C：左右两边均是两个整式的乘积形式，仅对因式做了符号变形，没有将多项式转化为整式乘积的过程，不属于因式分解，故C错误；
选项D：左边是多项式$x^2-4x+4$，右边是$(x-2)^2$，即两个整式$(x-2)$的乘积，完全符合因式分解的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义，整式乘法
【点评】
本题是基础概念考察题，核心是抓住因式分解“多项式化为整式乘积”的核心特征，注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免混淆变形方向，同时要注意结果必须是纯乘积形式，不能含有加减项。
【难度系数】
0.8
要判断式子变形是否为因式分解，首先需牢记因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，满足两个要求：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式的积的形式。解题时只需对照这两个要求，逐一排查每个选项即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这类变形叫做因式分解。
选项A：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不是因式分解，故A错误；
选项B：右边为$xy(x+y)-1$，含有减法运算，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的要求，故B错误；
选项C：左右两边均是两个整式的乘积形式，仅对因式做了符号变形，没有将多项式转化为整式乘积的过程，不属于因式分解，故C错误；
选项D：左边是多项式$x^2-4x+4$，右边是$(x-2)^2$，即两个整式$(x-2)$的乘积，完全符合因式分解的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义，整式乘法
【点评】
本题是基础概念考察题，核心是抓住因式分解“多项式化为整式乘积”的核心特征，注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免混淆变形方向，同时要注意结果必须是纯乘积形式，不能含有加减项。
【难度系数】
0.8
2. 对于①$x - 3xy = x(1 - 3y)$，②$(x + 3)(x - 1) = x^2 + 2x - 3$从左到右的变形，表述正确的是(
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是乘法运算，②是因式分解
D.①是因式分解，②是乘法运算
D
).A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是乘法运算，②是因式分解
D.①是因式分解，②是乘法运算
答案
D
解析
【分析】
解题的核心是先明确因式分解与整式乘法的概念差异：因式分解的本质是“和差化积”，即把多项式转化为几个整式相乘的形式；整式乘法的本质是“积化和差”，即把几个整式相乘的形式展开为多项式。我们只需对照概念分别判断两个变形即可得到答案。
【解析】
首先明确两个概念：
1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的乘积的变形；
2. 整式乘法：把几个整式的乘积展开为多项式的变形。
对两个式子逐一分析：
① 左边$x-3xy$是多项式，右边$x(1-3y)$是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故①是因式分解；
② 左边$(x+3)(x-1)$是两个整式的乘积，右边$x^2+2x-3$是多项式，符合整式乘法的定义，故②是乘法运算。
因此①是因式分解，②是乘法运算，选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式的乘法运算
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题关键是抓住因式分解和整式乘法的本质特征进行区分，牢记相关概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解题的核心是先明确因式分解与整式乘法的概念差异：因式分解的本质是“和差化积”，即把多项式转化为几个整式相乘的形式；整式乘法的本质是“积化和差”，即把几个整式相乘的形式展开为多项式。我们只需对照概念分别判断两个变形即可得到答案。
【解析】
首先明确两个概念：
1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的乘积的变形；
2. 整式乘法：把几个整式的乘积展开为多项式的变形。
对两个式子逐一分析：
① 左边$x-3xy$是多项式，右边$x(1-3y)$是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故①是因式分解；
② 左边$(x+3)(x-1)$是两个整式的乘积，右边$x^2+2x-3$是多项式，符合整式乘法的定义，故②是乘法运算。
因此①是因式分解，②是乘法运算，选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式的乘法运算
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题关键是抓住因式分解和整式乘法的本质特征进行区分，牢记相关概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
3. 下列多项式中,可以提取公因式的是(
A.$x^2 - y^2$
B.$x^2 + x$
C.$x^2 - y$
D.$x^2 + 2xy + y^2$
B
).A.$x^2 - y^2$
B.$x^2 + x$
C.$x^2 - y$
D.$x^2 + 2xy + y^2$
答案
B
解析
【分析】
本题考查可提取公因式的多项式的判断，解题核心是先明确公因式的定义：多项式中每一项都含有的相同因式即为公因式，只需逐个分析四个选项中多项式的各项是否存在公共的因式即可。若存在公共因式，则该多项式可以提取公因式，反之则不能。
【解析】
根据公因式的定义逐一判断选项：
A. 多项式$x^2 - y^2$的两项为$x^2$和$-y^2$，没有共同的因式，无法提取公因式，可通过平方差公式分解，不符合题意；
B. 多项式$x^2 + x$的两项为$x^2$和$x$，两项均含有公因式$x$，可提取公因式分解为$x(x+1)$，符合题意；
C. 多项式$x^2 - y$的两项为$x^2$和$-y$，没有共同的因式，无法提取公因式，不符合题意；
D. 多项式$x^2 + 2xy + y^2$的三项没有公共的因式，无法提取公因式，可通过完全平方公式分解，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的识别；提取公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对公因式概念的理解，需要注意区分提取公因式法和公式法因式分解的适用场景，掌握公因式的判断方法是解题关键。
【难度系数】
0.9
本题考查可提取公因式的多项式的判断，解题核心是先明确公因式的定义：多项式中每一项都含有的相同因式即为公因式，只需逐个分析四个选项中多项式的各项是否存在公共的因式即可。若存在公共因式，则该多项式可以提取公因式，反之则不能。
【解析】
根据公因式的定义逐一判断选项：
A. 多项式$x^2 - y^2$的两项为$x^2$和$-y^2$，没有共同的因式，无法提取公因式，可通过平方差公式分解，不符合题意；
B. 多项式$x^2 + x$的两项为$x^2$和$x$，两项均含有公因式$x$，可提取公因式分解为$x(x+1)$，符合题意；
C. 多项式$x^2 - y$的两项为$x^2$和$-y$，没有共同的因式，无法提取公因式，不符合题意；
D. 多项式$x^2 + 2xy + y^2$的三项没有公共的因式，无法提取公因式，可通过完全平方公式分解，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的识别；提取公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对公因式概念的理解，需要注意区分提取公因式法和公式法因式分解的适用场景，掌握公因式的判断方法是解题关键。
【难度系数】
0.9
4. 分解因式：
(1) $a^2y - 3ay + 6y$；
(2) $xy^3 - \frac{8}{27}x^3$；
(3) $a^2b^3 + 36a^3b^2 + 9a$。
(1) $a^2y - 3ay + 6y$；
(2) $xy^3 - \frac{8}{27}x^3$；
(3) $a^2b^3 + 36a^3b^2 + 9a$。
答案
解 (1)$a^2y - 3ay + 6y = y(a^2 - 3a + 6).$
(2)$xy^3 - \frac{8}{27}x^3 = x(y^3 - \frac{8}{27}x^2).$
(3)$a^2b^3 + 36a^3b^2 + 9a = a(ab^3 + 36a^2b^2 + 9).$
(2)$xy^3 - \frac{8}{27}x^3 = x(y^3 - \frac{8}{27}x^2).$
(3)$a^2b^3 + 36a^3b^2 + 9a = a(ab^3 + 36a^2b^2 + 9).$
解析
【分析】
这三道题考查公因式为单项式的因式分解，解题思路遵循提取公因式法的步骤：第一步确定公因式，先找各项系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母，取该字母的最低次幂，二者组合得到公因式；第二步提取公因式，将原多项式每一项除以公因式的结果放在括号内，公因式写在括号外即可。
(1) 观察多项式的三项均含有字母y，y的最低次幂为1次，系数的最大公约数为1，因此公因式是y，提取y后整理剩余项即可。
(2) 观察多项式的两项均含有字母x，x的最低次幂为1次，系数的最大公约数为1，因此公因式是x，提取x后整理剩余项即可。
(3) 观察多项式的三项均含有字母a，a的最低次幂为1次，系数的最大公约数为1，因此公因式是a，提取a后整理剩余项即可。
【解析】
(1) 提取公因式$y$：
$a^2y - 3ay + 6y = y · a^2 - y · 3a + y · 6 = y(a^2 - 3a + 6)$
(2) 提取公因式$x$：
$xy^3 - \frac{8}{27}x^3 = x · y^3 - x · \frac{8}{27}x^2 = x(y^3 - \frac{8}{27}x^2)$
(3) 提取公因式$a$：
$a^2b^3 + 36a^3b^2 + 9a = a · ab^3 + a · 36a^2b^2 + a · 9 = a(ab^3 + 36a^2b^2 + 9)$
【答案】
(1) $y(a^2 - 3a + 6)$
(2) $x(y^3 - \frac{8}{27}x^2)$
(3) $a(ab^3 + 36a^2b^2 + 9)$
【知识点】
提取公因式法因式分解，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提取公因式法的应用，解题时需注意提取公因式后剩余的项数与原多项式项数一致，不要漏写常数项，可通过整式乘法逆运算验证分解结果是否正确。
【难度系数】
0.8
这三道题考查公因式为单项式的因式分解，解题思路遵循提取公因式法的步骤：第一步确定公因式，先找各项系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母，取该字母的最低次幂，二者组合得到公因式；第二步提取公因式，将原多项式每一项除以公因式的结果放在括号内，公因式写在括号外即可。
(1) 观察多项式的三项均含有字母y，y的最低次幂为1次，系数的最大公约数为1，因此公因式是y，提取y后整理剩余项即可。
(2) 观察多项式的两项均含有字母x，x的最低次幂为1次，系数的最大公约数为1，因此公因式是x，提取x后整理剩余项即可。
(3) 观察多项式的三项均含有字母a，a的最低次幂为1次，系数的最大公约数为1，因此公因式是a，提取a后整理剩余项即可。
【解析】
(1) 提取公因式$y$：
$a^2y - 3ay + 6y = y · a^2 - y · 3a + y · 6 = y(a^2 - 3a + 6)$
(2) 提取公因式$x$：
$xy^3 - \frac{8}{27}x^3 = x · y^3 - x · \frac{8}{27}x^2 = x(y^3 - \frac{8}{27}x^2)$
(3) 提取公因式$a$：
$a^2b^3 + 36a^3b^2 + 9a = a · ab^3 + a · 36a^2b^2 + a · 9 = a(ab^3 + 36a^2b^2 + 9)$
【答案】
(1) $y(a^2 - 3a + 6)$
(2) $x(y^3 - \frac{8}{27}x^2)$
(3) $a(ab^3 + 36a^2b^2 + 9)$
【知识点】
提取公因式法因式分解，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提取公因式法的应用，解题时需注意提取公因式后剩余的项数与原多项式项数一致，不要漏写常数项，可通过整式乘法逆运算验证分解结果是否正确。
【难度系数】
0.8
