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5. 利用因式分解计算：
(1) $29 × 19.99 + 72 × 19.99 + 13 × 19.99 - 19.99 × 14$；
(2) $39 × 37 - 13 × 3^4$。
(1) $29 × 19.99 + 72 × 19.99 + 13 × 19.99 - 19.99 × 14$；
(2) $39 × 37 - 13 × 3^4$。
答案
解 (1)$29×19.99 + 72×19.99 + 13×19.99 - 19.99×14 = 19.99×(29+72+13-14)=19.99×100=1999.$
(2)$39×37 - 13×3^4 = 39×37 - 13×3×3^3 = 39×37 - 39×27 = 39×(37-27)=390.$
(2)$39×37 - 13×3^4 = 39×37 - 13×3×3^3 = 39×37 - 39×27 = 39×(37-27)=390.$
解析
【分析】
(1)观察第一问的算式，发现每一项都含有公共因数19.99，我们可以利用提取公因式法，把19.99作为公因式提取出来，先计算括号内各系数的和差，再和公因式相乘，就能简化计算过程，避免多次计算小数乘法。
(2)观察第二问的算式，两项暂时没有明显公因式，但发现39是13的3倍，我们可以先对第二项变形：把$3^4$拆分为$3×3^3$，这样第二项就转化为$39×27$，此时两项出现公因式39，再提取公因式计算即可。
【解析】
(1) 原式提取公因式19.99可得：
$\begin{aligned}&29 × 19.99 + 72 × 19.99 + 13 × 19.99 - 19.99 × 14\\=& 19.99×(29+72+13-14)\\=&19.99×100\\=&1999\end{aligned}$
(2) 先对第二项变形，再提取公因式39：
$\begin{aligned}&39 × 37 - 13 × 3^4\\=&39×37 - 13×3×3^3\\=&39×37 - 39×27\\=&39×(37-27)\\=&39×10\\=&390\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{1999}$；(2) $\boxed{390}$
【知识点】
1. 提取公因式法因式分解
2. 幂的运算
3. 有理数简便运算
【点评】
本题考查利用因式分解简化有理数运算，解题核心是准确识别或构造出公因式，通过提取公因式将复杂的多步乘法运算转化为简单的乘法运算，有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
(1)观察第一问的算式，发现每一项都含有公共因数19.99，我们可以利用提取公因式法，把19.99作为公因式提取出来，先计算括号内各系数的和差，再和公因式相乘，就能简化计算过程，避免多次计算小数乘法。
(2)观察第二问的算式，两项暂时没有明显公因式，但发现39是13的3倍，我们可以先对第二项变形：把$3^4$拆分为$3×3^3$，这样第二项就转化为$39×27$，此时两项出现公因式39，再提取公因式计算即可。
【解析】
(1) 原式提取公因式19.99可得：
$\begin{aligned}&29 × 19.99 + 72 × 19.99 + 13 × 19.99 - 19.99 × 14\\=& 19.99×(29+72+13-14)\\=&19.99×100\\=&1999\end{aligned}$
(2) 先对第二项变形，再提取公因式39：
$\begin{aligned}&39 × 37 - 13 × 3^4\\=&39×37 - 13×3×3^3\\=&39×37 - 39×27\\=&39×(37-27)\\=&39×10\\=&390\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{1999}$；(2) $\boxed{390}$
【知识点】
1. 提取公因式法因式分解
2. 幂的运算
3. 有理数简便运算
【点评】
本题考查利用因式分解简化有理数运算，解题核心是准确识别或构造出公因式，通过提取公因式将复杂的多步乘法运算转化为简单的乘法运算，有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
6. 利用因式分解说明 $3^{200} - 4 × 3^{199} + 10 × 3^{198}$ 能被7整除.
答案
解 $3^{200} - 4×3^{199} + 10×3^{198} = 3^{198}×(3^2 -4×3 +10)=3^{198}×7$,故原式能被7整除.
解析
【分析】
要说明一个式子能被7整除，核心是将该式变形为“7×某个整数”的形式。观察原式的三项，均含有3的幂，其中最低次幂是$3^{198}$，因此可确定公因式为$3^{198}$，提取公因式后化简括号内的整式，验证化简结果是否含因数7即可。
【解析】
第一步：提取公因式$3^{198}$
$3^{200} - 4×3^{199} + 10×3^{198}$
$=3^{198}×3^2 - 4×3^{198}×3 + 10×3^{198}$
$=3^{198}×(3^2 - 4×3 + 10)$
第二步：计算括号内的数值
$3^2 - 4×3 + 10 = 9 - 12 + 10 =7$
第三步：验证整除性
因此原式$=3^{198}×7$，其中$3^{198}$是正整数，说明原式是7的整数倍，故能被7整除。
【答案】
$3^{200} - 4×3^{199} + 10×3^{198}=3^{198}×(3^2 -4×3 +10)=3^{198}×7$，故原式能被7整除。
【知识点】
提公因式法因式分解；整除的判定
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，解题关键是准确识别多项式各项的公因式，通过提取公因式化简式子即可快速判断整除性，掌握提公因式的规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要说明一个式子能被7整除，核心是将该式变形为“7×某个整数”的形式。观察原式的三项，均含有3的幂，其中最低次幂是$3^{198}$，因此可确定公因式为$3^{198}$，提取公因式后化简括号内的整式，验证化简结果是否含因数7即可。
【解析】
第一步：提取公因式$3^{198}$
$3^{200} - 4×3^{199} + 10×3^{198}$
$=3^{198}×3^2 - 4×3^{198}×3 + 10×3^{198}$
$=3^{198}×(3^2 - 4×3 + 10)$
第二步：计算括号内的数值
$3^2 - 4×3 + 10 = 9 - 12 + 10 =7$
第三步：验证整除性
因此原式$=3^{198}×7$，其中$3^{198}$是正整数，说明原式是7的整数倍，故能被7整除。
【答案】
$3^{200} - 4×3^{199} + 10×3^{198}=3^{198}×(3^2 -4×3 +10)=3^{198}×7$，故原式能被7整除。
【知识点】
提公因式法因式分解；整除的判定
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，解题关键是准确识别多项式各项的公因式，通过提取公因式化简式子即可快速判断整除性，掌握提公因式的规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
7.分解因式$x^2+ax+b$时，甲看错了$a$的值，分解的结果是$(x-3)(x+2)$，乙看错了$b$的值，分解的结果是$(x-2)(x-3)$，求$a+b$的值.
答案
解 由$(x-3)(x+2)=x^2 -x -6$,得$b=-6$.
由$(x-2)(x-3)=x^2 -5x +6$,得$a=-5$,故$a+b=-5+(-6)=-11.$
由$(x-2)(x-3)=x^2 -5x +6$,得$a=-5$,故$a+b=-5+(-6)=-11.$
解析
【分析】
解决本题的核心是利用因式分解和整式乘法互为逆运算的关系：甲仅看错了$a$的值，说明他分解得到的式子展开后，常数项$b$是正确的（常数项由因式的常数项相乘得到，和$a$无关）；乙仅看错了$b$的值，说明他分解得到的式子展开后，一次项系数$a$是正确的（一次项系数由因式的常数项相加得到，和$b$无关）。我们只需分别展开两人的因式分解结果，提取对应的正确$a$、$b$值，再计算$a+b$即可。
【解析】
先展开甲的分解结果：
$(x-3)(x+2)=x^2+2x-3x-6=x^2-x-6$，
甲仅看错$a$，因此常数项$b$正确，即$b=-6$。
再展开乙的分解结果：
$(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$，
乙仅看错$b$，因此一次项系数$a$正确，即$a=-5$。
所以$a+b=-5+(-6)=-11$。
【答案】
$\boldsymbol{-11}$
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆关系，多项式相等的条件
【点评】
本题解题关键是明确看错某一项时另一项不受影响，灵活利用整式乘法反推正确的系数，属于基础题型，计算时需注意多项式展开的符号问题，避免出错。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用因式分解和整式乘法互为逆运算的关系：甲仅看错了$a$的值，说明他分解得到的式子展开后，常数项$b$是正确的（常数项由因式的常数项相乘得到，和$a$无关）；乙仅看错了$b$的值，说明他分解得到的式子展开后，一次项系数$a$是正确的（一次项系数由因式的常数项相加得到，和$b$无关）。我们只需分别展开两人的因式分解结果，提取对应的正确$a$、$b$值，再计算$a+b$即可。
【解析】
先展开甲的分解结果：
$(x-3)(x+2)=x^2+2x-3x-6=x^2-x-6$，
甲仅看错$a$，因此常数项$b$正确，即$b=-6$。
再展开乙的分解结果：
$(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$，
乙仅看错$b$，因此一次项系数$a$正确，即$a=-5$。
所以$a+b=-5+(-6)=-11$。
【答案】
$\boldsymbol{-11}$
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆关系，多项式相等的条件
【点评】
本题解题关键是明确看错某一项时另一项不受影响，灵活利用整式乘法反推正确的系数，属于基础题型，计算时需注意多项式展开的符号问题，避免出错。
【难度系数】
0.7
