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举一反三 $(x-5)(x-3)$是多项式$x^2 - px + 15$因式分解的结果，则$p$的值是(
A.2
B.$-2$
C.8
D.$-8$
C
).A.2
B.$-2$
C.8
D.$-8$
答案
C
解析
【分析】
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系求解。首先明确因式分解和整式乘法是互逆变形，因式分解得到的整式乘积展开后和原多项式完全相等。因此我们只需要先将$(x-5)(x-3)$按照多项式乘多项式的法则展开，再将展开结果和题目给出的多项式$x^2 - px +15$对比，令对应项系数相等，即可求出$p$的值。
【解析】
先根据多项式乘多项式法则计算$(x-5)(x-3)$：
$\begin{aligned}(x-5)(x-3)&=x· x + x· (-3) + (-5)· x + (-5)×(-3)\\&=x^2 -3x -5x +15\\&=x^2 -8x +15\end{aligned}$
由题意得$(x-5)(x-3)=x^2 - px +15$，因此：
$x^2 -8x +15 = x^2 - px +15$
两个多项式相等时对应同类项的系数相等，对比一次项系数可得：
$-p = -8$
解得$p=8$
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 多项式乘多项式运算
3. 多项式相等的条件
【点评】
本题属于基础的参数求解类题目，核心是理解因式分解和整式乘法的互逆关系，解题关键是正确展开多项式乘积，通过对应系数相等建立等式求解参数，计算量小，熟练掌握多项式乘法运算即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系求解。首先明确因式分解和整式乘法是互逆变形，因式分解得到的整式乘积展开后和原多项式完全相等。因此我们只需要先将$(x-5)(x-3)$按照多项式乘多项式的法则展开，再将展开结果和题目给出的多项式$x^2 - px +15$对比，令对应项系数相等，即可求出$p$的值。
【解析】
先根据多项式乘多项式法则计算$(x-5)(x-3)$：
$\begin{aligned}(x-5)(x-3)&=x· x + x· (-3) + (-5)· x + (-5)×(-3)\\&=x^2 -3x -5x +15\\&=x^2 -8x +15\end{aligned}$
由题意得$(x-5)(x-3)=x^2 - px +15$，因此：
$x^2 -8x +15 = x^2 - px +15$
两个多项式相等时对应同类项的系数相等，对比一次项系数可得：
$-p = -8$
解得$p=8$
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 多项式乘多项式运算
3. 多项式相等的条件
【点评】
本题属于基础的参数求解类题目，核心是理解因式分解和整式乘法的互逆关系，解题关键是正确展开多项式乘积，通过对应系数相等建立等式求解参数，计算量小，熟练掌握多项式乘法运算即可快速作答。
【难度系数】
0.8
典例3 把下列各式分解因式：
(1)$2b^2 - ab$；
(2)$ax - 4bx + x$。
总结归纳 运用提公因式法分解因式时，先确定多项式中各项的公因式，再提取公因式即得结果。
举一反三 分解因式：$x^2 + 3x =$
(1)$2b^2 - ab$；
(2)$ax - 4bx + x$。
总结归纳 运用提公因式法分解因式时，先确定多项式中各项的公因式，再提取公因式即得结果。
举一反三 分解因式：$x^2 + 3x =$
x(x+3)
。答案
解 (1)$2b^2 - ab = b(2b - a).$
(2)$ax - 4bx + x = x(a - 4b + 1).$
举一反三答案：$x(x+3)$
(2)$ax - 4bx + x = x(a - 4b + 1).$
举一反三答案：$x(x+3)$
解析
【分析】
这组题目均考查提公因式法分解因式，解题按照两步进行：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找所有项都含有的相同字母，取该字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式；②提取公因式：用多项式的每一项分别除以公因式，将得到的商相加后放在括号内，公因式写在括号外即可。注意若多项式的某一项与公因式完全相同，提取公因式后该项剩余1，不能省略不写。
【解析】
(1) 多项式$2b^2 - ab$的两项都含有公因式$b$，提取公因式$b$：
$2b^2 - ab = b· 2b - b· a = b(2b - a)$
(2) 多项式$ax - 4bx + x$的三项都含有公因式$x$，提取公因式$x$：
$ax - 4bx + x = x· a - x· 4b + x· 1 = x(a - 4b + 1)$
举一反三：多项式$x^2 + 3x$的两项都含有公因式$x$，提取公因式$x$：
$x^2 + 3x = x· x + x· 3 = x(x + 3)$
【答案】
(1)$b(2b - a)$；(2)$x(a - 4b + 1)$；举一反三：$x(x+3)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确识别多项式各项的公因式，特别要注意提取公因式后不要漏写原项对应的1，掌握好该方法可为后续学习更复杂的因式分解方法筑牢基础。
【难度系数】
0.9
这组题目均考查提公因式法分解因式，解题按照两步进行：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找所有项都含有的相同字母，取该字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式；②提取公因式：用多项式的每一项分别除以公因式，将得到的商相加后放在括号内，公因式写在括号外即可。注意若多项式的某一项与公因式完全相同，提取公因式后该项剩余1，不能省略不写。
【解析】
(1) 多项式$2b^2 - ab$的两项都含有公因式$b$，提取公因式$b$：
$2b^2 - ab = b· 2b - b· a = b(2b - a)$
(2) 多项式$ax - 4bx + x$的三项都含有公因式$x$，提取公因式$x$：
$ax - 4bx + x = x· a - x· 4b + x· 1 = x(a - 4b + 1)$
举一反三：多项式$x^2 + 3x$的两项都含有公因式$x$，提取公因式$x$：
$x^2 + 3x = x· x + x· 3 = x(x + 3)$
【答案】
(1)$b(2b - a)$；(2)$x(a - 4b + 1)$；举一反三：$x(x+3)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确识别多项式各项的公因式，特别要注意提取公因式后不要漏写原项对应的1，掌握好该方法可为后续学习更复杂的因式分解方法筑牢基础。
【难度系数】
0.9
典例4 利用因式分解计算：
(1)$13×9.98+56×9.98+31×9.98$；
(2)$9×10^{2025}-10^{2026}$。
(1)$13×9.98+56×9.98+31×9.98$；
(2)$9×10^{2025}-10^{2026}$。
答案
解 (1)$13 × 9.98 + 56 × 9.98 + 31 × 9.98 = 9.98 × (13 + 56 + 31)$
$= 9.98 × 100$
$= 998.$
(2)$9 × 10^{2025} - 10^{2026} = 9 × 10^{2025} - 10 × 10^{2025}$
$= 10^{2025} × (9 - 10)$
$= -10^{2025}.$
$= 9.98 × 100$
$= 998.$
(2)$9 × 10^{2025} - 10^{2026} = 9 × 10^{2025} - 10 × 10^{2025}$
$= 10^{2025} × (9 - 10)$
$= -10^{2025}.$
解析
【分析】
这两道题均可通过提取公因式法实现简便运算：(1)观察式子可发现每一项都含有公因数9.98，将9.98作为公因式提取后，先计算剩余系数的和，再与公因式相乘即可快速得出结果；(2)先逆用同底数幂的乘法法则，将$10^{2026}$变形为$10×10^{2025}$，此时两项的公因式为$10^{2025}$，提取公因式后计算括号内的减法即可得到结果。
【解析】
(1) 提取公因式9.98：
$13 × 9.98 + 56 × 9.98 + 31 × 9.98 = 9.98 × (13 + 56 + 31)$
计算括号内的和：$13+56+31=100$
因此原式$= 9.98 × 100 = 998$
(2) 先变形构造公因式，再提取公因式$10^{2025}$：
$9 × 10^{2025} - 10^{2026} = 9 × 10^{2025} - 10 × 10^{2025}$
$= 10^{2025} × (9 - 10)$
计算括号内的差：$9-10=-1$
因此原式$= -10^{2025}$
【答案】
(1)$\boxed{998}$；(2)$\boxed{-10^{2025}}$
【知识点】
提取公因式法，因式分解的应用，同底数幂逆运算
【点评】
本题是利用因式分解简化运算的典型题型，解题核心是准确识别公因式，对于高次幂的式子要学会通过幂的运算性质变形构造公因式，能有效降低计算量，避免复杂运算出错。
【难度系数】
0.85
这两道题均可通过提取公因式法实现简便运算：(1)观察式子可发现每一项都含有公因数9.98，将9.98作为公因式提取后，先计算剩余系数的和，再与公因式相乘即可快速得出结果；(2)先逆用同底数幂的乘法法则，将$10^{2026}$变形为$10×10^{2025}$，此时两项的公因式为$10^{2025}$，提取公因式后计算括号内的减法即可得到结果。
【解析】
(1) 提取公因式9.98：
$13 × 9.98 + 56 × 9.98 + 31 × 9.98 = 9.98 × (13 + 56 + 31)$
计算括号内的和：$13+56+31=100$
因此原式$= 9.98 × 100 = 998$
(2) 先变形构造公因式，再提取公因式$10^{2025}$：
$9 × 10^{2025} - 10^{2026} = 9 × 10^{2025} - 10 × 10^{2025}$
$= 10^{2025} × (9 - 10)$
计算括号内的差：$9-10=-1$
因此原式$= -10^{2025}$
【答案】
(1)$\boxed{998}$；(2)$\boxed{-10^{2025}}$
【知识点】
提取公因式法，因式分解的应用，同底数幂逆运算
【点评】
本题是利用因式分解简化运算的典型题型，解题核心是准确识别公因式，对于高次幂的式子要学会通过幂的运算性质变形构造公因式，能有效降低计算量，避免复杂运算出错。
【难度系数】
0.85
举一反三 利用因式分解计算：
(1)$3.14×51 + 3.14×49$；
(2)$\frac{2023^4 - 2023^3 - 2022}{2023^4 + 2023^3 - 2024}$。
(1)$3.14×51 + 3.14×49$；
(2)$\frac{2023^4 - 2023^3 - 2022}{2023^4 + 2023^3 - 2024}$。
答案
解 (1)原式$=3.14×(51+49)$
$=3.14×100$
$=314.$
(2)原式$=\frac{2023^3×(2023-1)-2022}{2023^3×(2023+1)-2024}$
$=\frac{2023^3×2022-2022}{2023^3×2024-2024}$
$=\frac{2022×(2023^3-1)}{2024×(2023^3-1)}$
$=\frac{2022}{2024}$
$=\frac{1011}{1012}.$
$=3.14×100$
$=314.$
(2)原式$=\frac{2023^3×(2023-1)-2022}{2023^3×(2023+1)-2024}$
$=\frac{2023^3×2022-2022}{2023^3×2024-2024}$
$=\frac{2022×(2023^3-1)}{2024×(2023^3-1)}$
$=\frac{2022}{2024}$
$=\frac{1011}{1012}.$
解析
【分析】
第(1)题：观察式子发现两项都含有公因数3.14，可利用提公因式法提取3.14，先计算剩余部分51+49的和，再做乘法即可简化运算。
第(2)题：分子和分母的前两项都存在公因式，先对分子前两项提取公因式$2023^3$，分母前两项提取公因式$2023^3$，整理后分子会出现公因数2022，分母出现公因数2024，再次提取公因式后，分子分母会出现相同的因式$(2023^3-1)$，且该因式不为0，约分化简即可得到结果。
【解析】
(1) 原式提取公因式3.14：
$\begin{aligned}原式&=3.14×(51+49)\\&=3.14×100\\&=314\end{aligned}$
(2) 先对分子、分母的前两项分别提公因式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2023^3×(2023-1)-2022}{2023^3×(2023+1)-2024}\\&=\frac{2023^3×2022-2022}{2023^3×2024-2024}\\&=\frac{2022×(2023^3-1)}{2024×(2023^3-1)}\end{aligned}$
$\because 2023^3-1≠0$，约分后化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2022}{2024}\\&=\frac{1011}{1012}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{314}$；(2) $\boxed{\dfrac{1011}{1012}}$
【知识点】
提公因式法因式分解；因式分解的应用；分式约分
【点评】
本题考查因式分解在数值运算中的应用，解题核心是观察式子结构特征，准确提取公因式，将复杂的高次运算转化为简单的约分计算，有效降低运算量，体现了因式分解简化运算的优势。
【难度系数】
0.7
第(1)题：观察式子发现两项都含有公因数3.14，可利用提公因式法提取3.14，先计算剩余部分51+49的和，再做乘法即可简化运算。
第(2)题：分子和分母的前两项都存在公因式，先对分子前两项提取公因式$2023^3$，分母前两项提取公因式$2023^3$，整理后分子会出现公因数2022，分母出现公因数2024，再次提取公因式后，分子分母会出现相同的因式$(2023^3-1)$，且该因式不为0，约分化简即可得到结果。
【解析】
(1) 原式提取公因式3.14：
$\begin{aligned}原式&=3.14×(51+49)\\&=3.14×100\\&=314\end{aligned}$
(2) 先对分子、分母的前两项分别提公因式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2023^3×(2023-1)-2022}{2023^3×(2023+1)-2024}\\&=\frac{2023^3×2022-2022}{2023^3×2024-2024}\\&=\frac{2022×(2023^3-1)}{2024×(2023^3-1)}\end{aligned}$
$\because 2023^3-1≠0$，约分后化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2022}{2024}\\&=\frac{1011}{1012}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{314}$；(2) $\boxed{\dfrac{1011}{1012}}$
【知识点】
提公因式法因式分解；因式分解的应用；分式约分
【点评】
本题考查因式分解在数值运算中的应用，解题核心是观察式子结构特征，准确提取公因式，将复杂的高次运算转化为简单的约分计算，有效降低运算量，体现了因式分解简化运算的优势。
【难度系数】
0.7
