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1. (2025·徐州)下列运算正确的是 ()
A.$3a^2 - 2a^2 = 1$
B.$(a^2)^3 = a^5$
C.$(3a)^2 = 6a^2$
D.$a^2 · a^4 = a^6$
A.$3a^2 - 2a^2 = 1$
B.$(a^2)^3 = a^5$
C.$(3a)^2 = 6a^2$
D.$a^2 · a^4 = a^6$
答案
D
解析
【分析】
这道题考查整式的基础运算，解题思路是逐个选项对应相关运算法则判断正误。首先要回忆四类运算的规则：合并同类项时系数相加减、字母和字母指数不变；幂的乘方底数不变、指数相乘；积的乘方要把积里每个因式分别乘方再相乘；同底数幂相乘底数不变、指数相加，再用规则逐一验证四个选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一计算验证：
A选项：合并同类项，$3a^2 - 2a^2=(3-2)a^2=a^2≠1$，运算错误；
B选项：幂的乘方运算，$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠ a^5$，运算错误；
C选项：积的乘方运算，$(3a)^2=3^2× a^2=9a^2≠6a^2$，运算错误；
D选项：同底数幂乘法运算，$a^2 · a^4 = a^{2+4}=a^6$，运算正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项、幂的运算性质、积的乘方
【点评】
本题是基础运算类考题，核心考查对整式各类运算法则的掌握程度，解题时要注意区分不同运算中指数的计算规则，避免混淆法则出现低级错误。
【难度系数】
0.85
这道题考查整式的基础运算，解题思路是逐个选项对应相关运算法则判断正误。首先要回忆四类运算的规则：合并同类项时系数相加减、字母和字母指数不变；幂的乘方底数不变、指数相乘；积的乘方要把积里每个因式分别乘方再相乘；同底数幂相乘底数不变、指数相加，再用规则逐一验证四个选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一计算验证：
A选项：合并同类项，$3a^2 - 2a^2=(3-2)a^2=a^2≠1$，运算错误；
B选项：幂的乘方运算，$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠ a^5$，运算错误；
C选项：积的乘方运算，$(3a)^2=3^2× a^2=9a^2≠6a^2$，运算错误；
D选项：同底数幂乘法运算，$a^2 · a^4 = a^{2+4}=a^6$，运算正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项、幂的运算性质、积的乘方
【点评】
本题是基础运算类考题，核心考查对整式各类运算法则的掌握程度，解题时要注意区分不同运算中指数的计算规则，避免混淆法则出现低级错误。
【难度系数】
0.85
2. (2026·湖北)下列计算正确的是 ()
A.$(x^3)^2=x^6$
B.$4+2x^2=6x^2$
C.$x^6÷ x^3=x^2$
D.$x^6 - x^3=x^3$
A.$(x^3)^2=x^6$
B.$4+2x^2=6x^2$
C.$x^6÷ x^3=x^2$
D.$x^6 - x^3=x^3$
答案
A
解析
【分析】
本题考查整式的相关运算，解题时需逐个分析选项，结合对应运算法则判断正误：首先明确同类项才能合并（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项），其次要牢记幂的运算公式：①幂的乘方，底数不变，指数相乘；②同底数幂相除，底数不变，指数相减，再逐一验证每个选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
选项A：根据幂的乘方法则，$(x^3)^2 = x^{3×2}=x^6$，计算正确；
选项B：$4$是常数项，$2x^2$是含$x^2$的项，二者不是同类项，不能合并，计算错误；
选项C：根据同底数幂的除法法则，$x^6÷ x^3 = x^{6-3}=x^3≠ x^2$，计算错误；
选项D：$x^6$和$x^3$中$x$的指数不同，不是同类项，不能合并，计算错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的除法；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对整式运算规则的准确掌握，要注意区分同类项的判定标准，同时不要混淆幂运算中指数的加减、乘除规则，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.9
本题考查整式的相关运算，解题时需逐个分析选项，结合对应运算法则判断正误：首先明确同类项才能合并（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项），其次要牢记幂的运算公式：①幂的乘方，底数不变，指数相乘；②同底数幂相除，底数不变，指数相减，再逐一验证每个选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
选项A：根据幂的乘方法则，$(x^3)^2 = x^{3×2}=x^6$，计算正确；
选项B：$4$是常数项，$2x^2$是含$x^2$的项，二者不是同类项，不能合并，计算错误；
选项C：根据同底数幂的除法法则，$x^6÷ x^3 = x^{6-3}=x^3≠ x^2$，计算错误；
选项D：$x^6$和$x^3$中$x$的指数不同，不是同类项，不能合并，计算错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的除法；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对整式运算规则的准确掌握，要注意区分同类项的判定标准，同时不要混淆幂运算中指数的加减、乘除规则，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.9
3. 若$2^x=3,4^y=5$,则$2^{x-2y}$的值是（）
A.$\frac{3}{5}$
B.$-2$
C.$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{6}{5}$
A.$\frac{3}{5}$
B.$-2$
C.$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{6}{5}$
答案
A
解析
【分析】
要计算$2^{x-2y}$的值，首先回忆幂的运算性质：先逆用同底数幂的除法法则，把指数相减的形式转化为同底数幂相除，即$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，可得$2^{x-2y}=2^x÷ 2^{2y}$；再逆用幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，可将$2^{2y}$变形为$(2^2)^y=4^y$，结合题目给出的$2^x=3$、$4^y=5$，代入计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的运算性质逆用逐步计算：
1. 逆用同底数幂的除法法则：
$2^{x-2y}=2^x÷ 2^{2y}$
2. 逆用幂的乘方法则变形$2^{2y}$：
$2^{2y}=(2^2)^y=4^y$
3. 代入已知条件$2^x=3$，$4^y=5$计算：
原式$=3÷5=\frac{3}{5}$
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方
【点评】
本题重点考查幂的运算性质的灵活运用，掌握幂运算公式的逆变形是解决这类题的核心，计算量小，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
要计算$2^{x-2y}$的值，首先回忆幂的运算性质：先逆用同底数幂的除法法则，把指数相减的形式转化为同底数幂相除，即$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，可得$2^{x-2y}=2^x÷ 2^{2y}$；再逆用幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，可将$2^{2y}$变形为$(2^2)^y=4^y$，结合题目给出的$2^x=3$、$4^y=5$，代入计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的运算性质逆用逐步计算：
1. 逆用同底数幂的除法法则：
$2^{x-2y}=2^x÷ 2^{2y}$
2. 逆用幂的乘方法则变形$2^{2y}$：
$2^{2y}=(2^2)^y=4^y$
3. 代入已知条件$2^x=3$，$4^y=5$计算：
原式$=3÷5=\frac{3}{5}$
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方
【点评】
本题重点考查幂的运算性质的灵活运用，掌握幂运算公式的逆变形是解决这类题的核心，计算量小，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
4. 如图1,边长为a、b的长方形周长为20,面积为16,则$a^2b+ab^2$的值为 ()
A.80
B.160
C.320
D.480
A.80
B.160
C.320
D.480
答案
B
解析
【分析】
解题时首先从题干给出的长方形周长、面积条件出发，先推导得出$a+b$和$ab$的取值；再观察所求代数式$a^2b+ab^2$的结构，可通过提取公因式的方法对其因式分解，将其转化为含$a+b$和$ab$的式子，最后代入数值计算即可得到结果，无需单独求解$a$、$b$的具体值。
【解析】
1. 根据长方形周长公式：$2(a+b)=20$，计算可得$a+b=10$；
2. 根据长方形面积公式直接得：$ab=16$；
3. 对所求代数式因式分解：
$a^2b+ab^2 = ab(a+b)$
4. 将$a+b=10$、$ab=16$代入上式计算：
$ab(a+b)=16×10=160$
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；长方形周长与面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将几何图形的性质与代数式变形结合考查，核心是掌握因式分解的基本方法，学会运用整体代入的思想简化计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先从题干给出的长方形周长、面积条件出发，先推导得出$a+b$和$ab$的取值；再观察所求代数式$a^2b+ab^2$的结构，可通过提取公因式的方法对其因式分解，将其转化为含$a+b$和$ab$的式子，最后代入数值计算即可得到结果，无需单独求解$a$、$b$的具体值。
【解析】
1. 根据长方形周长公式：$2(a+b)=20$，计算可得$a+b=10$；
2. 根据长方形面积公式直接得：$ab=16$；
3. 对所求代数式因式分解：
$a^2b+ab^2 = ab(a+b)$
4. 将$a+b=10$、$ab=16$代入上式计算：
$ab(a+b)=16×10=160$
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；长方形周长与面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将几何图形的性质与代数式变形结合考查，核心是掌握因式分解的基本方法，学会运用整体代入的思想简化计算。
【难度系数】
0.8
5. 观察如图2所示的两个多项式相乘的运算过程,根据你发现的规律推测,若$(x+a)(x+b)=x^2-9x+14$,则a、b的值可能分别是（）
A.-2、-7
B.-2、7
C.2、-7
D.2、7
A.-2、-7
B.-2、7
C.2、-7
D.2、7
答案
A
解析
【分析】
首先观察已知的两个多项式乘法运算的例子，归纳出$(x+a)(x+b)$的展开规律：展开后二次项系数为1，一次项系数等于两个括号里的常数$a$和$b$的和，常数项等于$a$和$b$的乘积。接下来对照题目给出的展开结果$x^2-9x+14$，可得$a+b=-9$、$ab=14$，最后逐一验证选项中的$a$、$b$是否满足这两个等式，即可选出正确答案。
【解析】
观察已知运算可得多项式乘法规律：
$\boxed{(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab}$
结合题意$(x+a)(x+b)=x^2-9x+14$，因此可得：
$\begin{cases}a+b=-9\\ab=14\end{cases}$
逐一验证选项：
A选项：$a=-2,b=-7$，$a+b=-2+(-7)=-9$，$ab=(-2)×(-7)=14$，满足条件；
B选项：$a=-2,b=7$，$a+b=-2+7=5≠-9$，不满足；
C选项：$a=2,b=-7$，$a+b=2+(-7)=-5≠-9$，不满足；
D选项：$a=2,b=7$，$a+b=2+7=9≠-9$，不满足。
综上选A。
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式法则；整式乘法规律应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要先从给出的示例运算中总结出整式乘法的系数规律，再结合条件验证选项即可，侧重考查归纳总结能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
首先观察已知的两个多项式乘法运算的例子，归纳出$(x+a)(x+b)$的展开规律：展开后二次项系数为1，一次项系数等于两个括号里的常数$a$和$b$的和，常数项等于$a$和$b$的乘积。接下来对照题目给出的展开结果$x^2-9x+14$，可得$a+b=-9$、$ab=14$，最后逐一验证选项中的$a$、$b$是否满足这两个等式，即可选出正确答案。
【解析】
观察已知运算可得多项式乘法规律：
$\boxed{(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab}$
结合题意$(x+a)(x+b)=x^2-9x+14$，因此可得：
$\begin{cases}a+b=-9\\ab=14\end{cases}$
逐一验证选项：
A选项：$a=-2,b=-7$，$a+b=-2+(-7)=-9$，$ab=(-2)×(-7)=14$，满足条件；
B选项：$a=-2,b=7$，$a+b=-2+7=5≠-9$，不满足；
C选项：$a=2,b=-7$，$a+b=2+(-7)=-5≠-9$，不满足；
D选项：$a=2,b=7$，$a+b=2+7=9≠-9$，不满足。
综上选A。
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式法则；整式乘法规律应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要先从给出的示例运算中总结出整式乘法的系数规律，再结合条件验证选项即可，侧重考查归纳总结能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
6. 已知$a$、$b$、$c$是三角形的三边，那么代数式$(a-b)^2 - c^2$的值
（）
A.大于零
B.小于零
C.等于零
D.不能确定
（）
A.大于零
B.小于零
C.等于零
D.不能确定
答案
B
解析
【分析】
首先观察代数式的结构，是两个整式的平方作差，符合平方差公式的特征，因此第一步可以用平方差公式对代数式因式分解。再结合三角形三边的关系，分别判断分解后得到的两个因式的正负性，最后根据有理数乘法的符号规则，就能确定整个代数式的符号。
【解析】
先利用平方差公式对代数式因式分解：
$\begin{aligned}(a-b)^2 - c^2&=(a-b+c)(a-b-c)\end{aligned}$
已知$a$、$b$、$c$是三角形的三边，根据三角形三边关系：
1. 三角形任意两边之和大于第三边，可得$a+c＞b$，移项得$a-b+c＞0$；
2. 三角形任意两边之差小于第三边，可得$a-b＜c$，移项得$a-b-c＜0$。
正数乘负数的积为负数，因此$(a-b+c)(a-b-c)＜0$，即$(a-b)^2 - c^2＜0$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式因式分解；三角形三边关系
【点评】
本题是因式分解与三角形性质的基础综合题，解题核心是先对代数式合理变形，再结合三角形三边关系判断因式的正负，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
首先观察代数式的结构，是两个整式的平方作差，符合平方差公式的特征，因此第一步可以用平方差公式对代数式因式分解。再结合三角形三边的关系，分别判断分解后得到的两个因式的正负性，最后根据有理数乘法的符号规则，就能确定整个代数式的符号。
【解析】
先利用平方差公式对代数式因式分解：
$\begin{aligned}(a-b)^2 - c^2&=(a-b+c)(a-b-c)\end{aligned}$
已知$a$、$b$、$c$是三角形的三边，根据三角形三边关系：
1. 三角形任意两边之和大于第三边，可得$a+c＞b$，移项得$a-b+c＞0$；
2. 三角形任意两边之差小于第三边，可得$a-b＜c$，移项得$a-b-c＜0$。
正数乘负数的积为负数，因此$(a-b+c)(a-b-c)＜0$，即$(a-b)^2 - c^2＜0$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式因式分解；三角形三边关系
【点评】
本题是因式分解与三角形性质的基础综合题，解题核心是先对代数式合理变形，再结合三角形三边关系判断因式的正负，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
7. 在下面的正方形分割方案中,可以验证$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$的图形是（）
A
C D
A
C D答案
$\boxed{D}$
解析
【分析】
要验证恒等式$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，我们采用数形结合的面积法思路：首先，等式左边$(a+b)^2$对应边长为$(a+b)$的大正方形的面积；等式右边是边长为$(a-b)$的小正方形的面积，加上4个长为$a$、宽为$b$的长方形的面积之和。我们只需要找到符合这个面积构成的图形即可：先看图形的整体是不是边长为$a+b$的正方形，再看内部是否能拆成1个边长为$a-b$的小正方形和4个面积为$ab$的长方形。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：图形的面积表示为$a^2-b^2$，不符合待验证等式左右两边的面积结构，排除；
选项B：大正方形边长为$a+b$，面积拆分后得到$a^2+2ab+b^2$，验证的是$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，不符合题干公式，排除；
选项C：大正方形面积拆分后同样对应$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，是完全平方和公式的几何验证，不符合要求，排除；
选项D：整体是边长为$a+b$的大正方形，面积为$(a+b)^2$；内部中间的小正方形边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$，周围有4个长为$a$、宽为$b$的长方形，总面积为$4ab$，因此大正方形总面积也可表示为$(a-b)^2+4ab$，刚好可以验证$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，符合要求。
【答案】
$\boxed{D}$
【知识点】
完全平方公式的几何意义；面积法验证恒等式
【点评】
本题考查代数恒等式的几何验证，核心是数形结合思想的应用，解题的关键是明确等式两边分别对应的几何图形面积构成，通过拆分、合并图形面积即可判断。
【难度系数】
0.7
要验证恒等式$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，我们采用数形结合的面积法思路：首先，等式左边$(a+b)^2$对应边长为$(a+b)$的大正方形的面积；等式右边是边长为$(a-b)$的小正方形的面积，加上4个长为$a$、宽为$b$的长方形的面积之和。我们只需要找到符合这个面积构成的图形即可：先看图形的整体是不是边长为$a+b$的正方形，再看内部是否能拆成1个边长为$a-b$的小正方形和4个面积为$ab$的长方形。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：图形的面积表示为$a^2-b^2$，不符合待验证等式左右两边的面积结构，排除；
选项B：大正方形边长为$a+b$，面积拆分后得到$a^2+2ab+b^2$，验证的是$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，不符合题干公式，排除；
选项C：大正方形面积拆分后同样对应$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，是完全平方和公式的几何验证，不符合要求，排除；
选项D：整体是边长为$a+b$的大正方形，面积为$(a+b)^2$；内部中间的小正方形边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$，周围有4个长为$a$、宽为$b$的长方形，总面积为$4ab$，因此大正方形总面积也可表示为$(a-b)^2+4ab$，刚好可以验证$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，符合要求。
【答案】
$\boxed{D}$
【知识点】
完全平方公式的几何意义；面积法验证恒等式
【点评】
本题考查代数恒等式的几何验证，核心是数形结合思想的应用，解题的关键是明确等式两边分别对应的几何图形面积构成，通过拆分、合并图形面积即可判断。
【难度系数】
0.7
