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8. $(2+1)(2^2+1)(2^4+1)···(2^{16}+1)$的结果为（）
A.$2^{32}-1$
B.$2^{32}+1$
C.$2^{32}$
D.$2^{16}$
A.$2^{32}-1$
B.$2^{32}+1$
C.$2^{32}$
D.$2^{16}$
答案
A
解析
【分析】
观察原式的结构，每个因式均为“2的幂次+1”的形式，符合平方差公式中(a+b)的结构特征。我们可以利用“乘1不改变原式大小”的性质，在原式最前端乘(2-1)，构造出平方差公式所需的(a-b)(a+b)的结构，之后反复运用平方差公式逐步化简，即可快速算出结果，无需逐项计算。
【解析】
在原式前乘(2-1)（2-1=1，乘积结果不变），可得：
$\begin{aligned}原式&=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)\dots(2^{16}+1)\\&=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)\dots(2^{16}+1)\\&=(2^4-1)(2^4+1)\dots(2^{16}+1)\\&=(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)\\&=(2^{16}-1)(2^{16}+1)\\&=2^{32}-1\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式简便运算
【点评】
本题是整式乘法简便运算的典型题型，核心考查平方差公式的灵活运用能力，解题的突破口是巧妙添加数值为1的(2-1)项，构造平方差公式的适用条件，大幅降低计算量，要求学生熟练掌握平方差公式的形式特征，学会根据算式结构调整变形。
【难度系数】
0.6
观察原式的结构，每个因式均为“2的幂次+1”的形式，符合平方差公式中(a+b)的结构特征。我们可以利用“乘1不改变原式大小”的性质，在原式最前端乘(2-1)，构造出平方差公式所需的(a-b)(a+b)的结构，之后反复运用平方差公式逐步化简，即可快速算出结果，无需逐项计算。
【解析】
在原式前乘(2-1)（2-1=1，乘积结果不变），可得：
$\begin{aligned}原式&=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)\dots(2^{16}+1)\\&=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)\dots(2^{16}+1)\\&=(2^4-1)(2^4+1)\dots(2^{16}+1)\\&=(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)\\&=(2^{16}-1)(2^{16}+1)\\&=2^{32}-1\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式简便运算
【点评】
本题是整式乘法简便运算的典型题型，核心考查平方差公式的灵活运用能力，解题的突破口是巧妙添加数值为1的(2-1)项，构造平方差公式的适用条件，大幅降低计算量，要求学生熟练掌握平方差公式的形式特征，学会根据算式结构调整变形。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共18分)
9. 若$a^2+a+1=2$,则$(5-a)(6+a)=$.
9. 若$a^2+a+1=2$,则$(5-a)(6+a)=$.
答案
$\boldsymbol{29}$
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和待求代数式的特征：已知条件可变形得到$a^2+a$的值，待求式是两个一次多项式的乘积，展开后会出现$a^2+a$的同类项，因此不需要求出$a$的具体值，采用整体代入的方法计算即可，步骤为：1. 从已知等式推导$a^2+a$的值；2. 展开待求的多项式乘积，合并同类项；3. 将$a^2+a$的值整体代入变形后的待求式计算结果。
【解析】
解：由已知$a^2+a+1=2$，移项可得：
$a^2+a=2-1=1$
先展开$(5-a)(6+a)$，根据多项式乘多项式法则：
$\begin{aligned}(5-a)(6+a)&=5×6 + 5× a - a×6 - a× a\\&=30 + 5a - 6a - a^2\\&=30 - a - a^2\\&=30 - (a^2+a)\end{aligned}$
将$a^2+a=1$代入上式，得：
$30 - 1=29$
【答案】
$\boldsymbol{29}$
【知识点】
多项式乘多项式，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是运用整体代入思想简化运算，无需计算未知数的具体值，熟练掌握多项式乘法法则和整体代入的技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件和待求代数式的特征：已知条件可变形得到$a^2+a$的值，待求式是两个一次多项式的乘积，展开后会出现$a^2+a$的同类项，因此不需要求出$a$的具体值，采用整体代入的方法计算即可，步骤为：1. 从已知等式推导$a^2+a$的值；2. 展开待求的多项式乘积，合并同类项；3. 将$a^2+a$的值整体代入变形后的待求式计算结果。
【解析】
解：由已知$a^2+a+1=2$，移项可得：
$a^2+a=2-1=1$
先展开$(5-a)(6+a)$，根据多项式乘多项式法则：
$\begin{aligned}(5-a)(6+a)&=5×6 + 5× a - a×6 - a× a\\&=30 + 5a - 6a - a^2\\&=30 - a - a^2\\&=30 - (a^2+a)\end{aligned}$
将$a^2+a=1$代入上式，得：
$30 - 1=29$
【答案】
$\boldsymbol{29}$
【知识点】
多项式乘多项式，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是运用整体代入思想简化运算，无需计算未知数的具体值，熟练掌握多项式乘法法则和整体代入的技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.8
10. (2024·浙江)因式分解：$a^2 -7a =$ .
答案
$\boldsymbol{a(a-7)}$
解析
【分析】
本题考查因式分解，解题时首先观察多项式的项数与各项特征，该多项式共有两项，两项中均含有公因式a，因此选择提公因式法进行因式分解即可，提取公因式后检查剩余部分是否还能继续分解，本题剩余部分为一次二项式，无法再分解，即完成因式分解。
【解析】
对多项式$a^2 -7a$提取公因式$a$：
$a^2 -7a = a· a - a·7 = a(a-7)$
【答案】
$a(a-7)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确识别多项式各项的公因式并正确提取，提取公因式后注意要检查结果是否分解彻底。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解，解题时首先观察多项式的项数与各项特征，该多项式共有两项，两项中均含有公因式a，因此选择提公因式法进行因式分解即可，提取公因式后检查剩余部分是否还能继续分解，本题剩余部分为一次二项式，无法再分解，即完成因式分解。
【解析】
对多项式$a^2 -7a$提取公因式$a$：
$a^2 -7a = a· a - a·7 = a(a-7)$
【答案】
$a(a-7)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确识别多项式各项的公因式并正确提取，提取公因式后注意要检查结果是否分解彻底。
【难度系数】
0.9
11.(2024·山东)因式分解：$x^2y + 2xy =$ .
答案
$\boldsymbol{xy(x+2)}$
解析
【分析】
拿到因式分解题目时，首先要优先观察多项式各项是否存在公因式，这是因式分解的第一步思路。本题是两项式，先分别分析两项的构成：第一项为$x^2y$，第二项为$2xy$。找公因式的步骤为：先找系数的最大公约数，1和2的最大公约数是1；再找两项都含有的相同字母，即$x$和$y$；相同字母取最低次幂，$x$的最低次是1次，$y$的最低次是1次，因此公因式为$xy$。确定公因式后，将公因式提取出来，用原多项式每一项除以公因式得到的结果作为括号内的因式，最后检查是否分解彻底即可。
【解析】
解：观察多项式$x^2y + 2xy$，可知两项的公因式为$xy$，提取公因式：
$\begin{aligned}x^2y + 2xy&=xy· x + xy· 2\\&=xy(x+2)\end{aligned}$
检查结果$xy(x+2)$，括号内的$x+2$没有公因式，也无法用其他方法继续分解，分解完成。
【答案】
$\boldsymbol{xy(x+2)}$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，主要考查提公因式法的应用，解题核心是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式后确认分解彻底即可，属于对因式分解基础方法的巩固类题目。
【难度系数】
0.9
拿到因式分解题目时，首先要优先观察多项式各项是否存在公因式，这是因式分解的第一步思路。本题是两项式，先分别分析两项的构成：第一项为$x^2y$，第二项为$2xy$。找公因式的步骤为：先找系数的最大公约数，1和2的最大公约数是1；再找两项都含有的相同字母，即$x$和$y$；相同字母取最低次幂，$x$的最低次是1次，$y$的最低次是1次，因此公因式为$xy$。确定公因式后，将公因式提取出来，用原多项式每一项除以公因式得到的结果作为括号内的因式，最后检查是否分解彻底即可。
【解析】
解：观察多项式$x^2y + 2xy$，可知两项的公因式为$xy$，提取公因式：
$\begin{aligned}x^2y + 2xy&=xy· x + xy· 2\\&=xy(x+2)\end{aligned}$
检查结果$xy(x+2)$，括号内的$x+2$没有公因式，也无法用其他方法继续分解，分解完成。
【答案】
$\boldsymbol{xy(x+2)}$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，主要考查提公因式法的应用，解题核心是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式后确认分解彻底即可，属于对因式分解基础方法的巩固类题目。
【难度系数】
0.9
12. $2^x = 3, 4^y = 5$, 则 $2^{x - 2y}$ 的值为 .
答案
$\boldsymbol{\frac{3}{5}}$
解析
【分析】
首先观察待求式$2^{x-2y}$的结构，联想到同底数幂的除法逆运算法则：$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，可将待求式拆分为$2^x÷ 2^{2y}$；再结合幂的乘方逆运算法则：$a^{mn}=(a^m)^n$，可将$2^{2y}$变形为$(2^2)^y=4^y$，刚好$2^x$和$4^y$的值题目已经给出，直接代入计算即可得到结果。
【解析】
解：根据同底数幂的除法的逆运算，可得：
$2^{x-2y}=2^x ÷ 2^{2y}$
根据幂的乘方的逆运算，对$2^{2y}$变形得：
$2^{2y}=(2^2)^y=4^y$
将$2^x=3$，$4^y=5$代入上式得：
原式$=3÷5=\frac{3}{5}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3}{5}}$
【知识点】
同底数幂的除法、幂的乘方、代数式求值
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活运用，解题的关键是熟练掌握幂的相关运算法则的正向及逆向变形，将待求式转化为含已知条件的形式后代入计算即可，是幂的运算章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
首先观察待求式$2^{x-2y}$的结构，联想到同底数幂的除法逆运算法则：$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，可将待求式拆分为$2^x÷ 2^{2y}$；再结合幂的乘方逆运算法则：$a^{mn}=(a^m)^n$，可将$2^{2y}$变形为$(2^2)^y=4^y$，刚好$2^x$和$4^y$的值题目已经给出，直接代入计算即可得到结果。
【解析】
解：根据同底数幂的除法的逆运算，可得：
$2^{x-2y}=2^x ÷ 2^{2y}$
根据幂的乘方的逆运算，对$2^{2y}$变形得：
$2^{2y}=(2^2)^y=4^y$
将$2^x=3$，$4^y=5$代入上式得：
原式$=3÷5=\frac{3}{5}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3}{5}}$
【知识点】
同底数幂的除法、幂的乘方、代数式求值
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活运用，解题的关键是熟练掌握幂的相关运算法则的正向及逆向变形，将待求式转化为含已知条件的形式后代入计算即可，是幂的运算章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
13. 定义运算$a\otimes b=a(1-b)$，下面给出了关于这种运算的四个结论：①$2\otimes (-2)=6$；②$a\otimes b=b\otimes a$；③若$a+b=0$，则$(a\otimes a)+(b\otimes b)=2ab$；④若$a\otimes b=0$，则$a=0$。其中正确结论的序号是（填上你认为所有正确结论的序号）
答案
解：
逐一验证各结论：
① $2\otimes (-2)=2×[1-(-2)]=2×3=6$，结论①正确；
② $a\otimes b=a(1-b)=a-ab$，$b\otimes a=b(1-a)=b-ab$，$a-ab$与$b-ab$一般不相等，结论②错误；
③ 若$a+b=0$，则$b=-a$，
$(a\otimes a)+(b\otimes b)=a(1-a)+b(1-b)=a-a^2+b-b^2$
$=(a+b)-(a^2+b^2)=0-(a^2+a^2)=-2a^2$，
又$2ab=2a·(-a)=-2a^2$，故$(a\otimes a)+(b\otimes b)=2ab$，结论③正确；
④ 若$a\otimes b=0$，即$a(1-b)=0$，可得$a=0$或$b=1$，结论④错误。
正确结论的序号是$\boldsymbol{①③}$。
逐一验证各结论：
① $2\otimes (-2)=2×[1-(-2)]=2×3=6$，结论①正确；
② $a\otimes b=a(1-b)=a-ab$，$b\otimes a=b(1-a)=b-ab$，$a-ab$与$b-ab$一般不相等，结论②错误；
③ 若$a+b=0$，则$b=-a$，
$(a\otimes a)+(b\otimes b)=a(1-a)+b(1-b)=a-a^2+b-b^2$
$=(a+b)-(a^2+b^2)=0-(a^2+a^2)=-2a^2$，
又$2ab=2a·(-a)=-2a^2$，故$(a\otimes a)+(b\otimes b)=2ab$，结论③正确；
④ 若$a\otimes b=0$，即$a(1-b)=0$，可得$a=0$或$b=1$，结论④错误。
正确结论的序号是$\boldsymbol{①③}$。
解析
【分析】
本题属于新定义运算类题目，解题思路如下：首先明确新运算规则为$a\otimes b=a(1-b)$，即运算符号前的数作为$a$，运算符号后的数作为$b$，代入后可转化为常规整式运算。接下来对四个结论逐一验证：每个结论都严格按照新运算规则展开、化简，再结合已知条件判断是否成立，注意不要直接套用常规乘法的运算律，必须通过计算验证。
【解析】
我们逐一验证4个结论：
① 计算$2\otimes (-2)$：代入新运算规则，得$2\otimes (-2)=2×[1-(-2)]=2×3=6$，故结论①正确；
② 分别计算$a\otimes b$和$b\otimes a$：
$a\otimes b=a(1-b)=a-ab$，
$b\otimes a=b(1-a)=b-ab$，
只有当$a=b$时二者相等，一般情况下不相等，故结论②错误；
③ 已知$a+b=0$，即$b=-a$，先化简$(a\otimes a)+(b\otimes b)$：
$(a\otimes a)+(b\otimes b)=a(1-a)+b(1-b)=a-a^2+b-b^2=(a+b)-(a^2+b^2)$，
代入$a+b=0$、$b=-a$，得原式$=0-(a^2+a^2)=-2a^2$；
再计算$2ab=2a·(-a)=-2a^2$，二者相等，故结论③正确；
④ 若$a\otimes b=0$，即$a(1-b)=0$，可得$a=0$或$b=1$，并非只有$a=0$，故结论④错误。
【答案】
$\boldsymbol{①③}$
【知识点】
新定义运算、整式化简、代数式求值
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解与应用能力，解题核心是准确把握新运算的规则，将新运算转化为已经学过的整式运算，再通过计算、化简判断结论是否成立，注意避免被常规运算的思维定式误导。
【难度系数】
0.6
本题属于新定义运算类题目，解题思路如下：首先明确新运算规则为$a\otimes b=a(1-b)$，即运算符号前的数作为$a$，运算符号后的数作为$b$，代入后可转化为常规整式运算。接下来对四个结论逐一验证：每个结论都严格按照新运算规则展开、化简，再结合已知条件判断是否成立，注意不要直接套用常规乘法的运算律，必须通过计算验证。
【解析】
我们逐一验证4个结论：
① 计算$2\otimes (-2)$：代入新运算规则，得$2\otimes (-2)=2×[1-(-2)]=2×3=6$，故结论①正确；
② 分别计算$a\otimes b$和$b\otimes a$：
$a\otimes b=a(1-b)=a-ab$，
$b\otimes a=b(1-a)=b-ab$，
只有当$a=b$时二者相等，一般情况下不相等，故结论②错误；
③ 已知$a+b=0$，即$b=-a$，先化简$(a\otimes a)+(b\otimes b)$：
$(a\otimes a)+(b\otimes b)=a(1-a)+b(1-b)=a-a^2+b-b^2=(a+b)-(a^2+b^2)$，
代入$a+b=0$、$b=-a$，得原式$=0-(a^2+a^2)=-2a^2$；
再计算$2ab=2a·(-a)=-2a^2$，二者相等，故结论③正确；
④ 若$a\otimes b=0$，即$a(1-b)=0$，可得$a=0$或$b=1$，并非只有$a=0$，故结论④错误。
【答案】
$\boldsymbol{①③}$
【知识点】
新定义运算、整式化简、代数式求值
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解与应用能力，解题核心是准确把握新运算的规则，将新运算转化为已经学过的整式运算，再通过计算、化简判断结论是否成立，注意避免被常规运算的思维定式误导。
【难度系数】
0.6
14. 现有甲、乙、丙三种不同的纸片(边长如图3).
(1)取甲、乙纸片各1块,其面积和为;
(2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形,先取甲纸片1块,再取乙纸片4块,还需取丙纸片块.
(1)取甲、乙纸片各1块,其面积和为;
(2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形,先取甲纸片1块,再取乙纸片4块,还需取丙纸片块.
答案
(1) $\boldsymbol{a^2 + b^2}$；(2) $\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
先明确三类纸片的面积：甲是边长为a的正方形，面积为$a^2$；乙是边长为b的正方形，面积为$b^2$；丙是长为a、宽为b的长方形，面积为$ab$。
(1) 求甲、乙各1块的面积和，直接将两者面积相加即可。
(2) 拼接成大正方形时，所有纸片的总面积等于大正方形的面积，因此总面积的代数式必须是完全平方式。先计算已选纸片的面积和，再结合完全平方公式的结构特征，确定缺少的丙纸片的数量即可。
【解析】
(1) 甲纸片面积：$S_甲 = a × a = a^2$，乙纸片面积：$S_乙 = b × b = b^2$，各取1块的面积和为$a^2 + b^2$。
(2) 设需要取丙纸片$x$块，丙纸片面积$S_丙 = a × b = ab$。
已选纸片的总面积为：$1 × a^2 + 4 × b^2 + x × ab = a^2 + xab + 4b^2$。
要使该式为完全平方式，结合完全平方和公式：$(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$，对比可得$xab=4ab$，即$x=4$，因此还需要取丙纸片4块。
【答案】
(1) $a^2 + b^2$；(2) $4$
【知识点】
1. 图形面积计算
2. 完全平方公式
【点评】
本题将几何图形拼接与代数公式结合，考查数形结合思想的应用，解题关键是抓住拼接前后面积不变的规律，结合完全平方公式的结构特征求解，难度适中。
【难度系数】
0.7
先明确三类纸片的面积：甲是边长为a的正方形，面积为$a^2$；乙是边长为b的正方形，面积为$b^2$；丙是长为a、宽为b的长方形，面积为$ab$。
(1) 求甲、乙各1块的面积和，直接将两者面积相加即可。
(2) 拼接成大正方形时，所有纸片的总面积等于大正方形的面积，因此总面积的代数式必须是完全平方式。先计算已选纸片的面积和，再结合完全平方公式的结构特征，确定缺少的丙纸片的数量即可。
【解析】
(1) 甲纸片面积：$S_甲 = a × a = a^2$，乙纸片面积：$S_乙 = b × b = b^2$，各取1块的面积和为$a^2 + b^2$。
(2) 设需要取丙纸片$x$块，丙纸片面积$S_丙 = a × b = ab$。
已选纸片的总面积为：$1 × a^2 + 4 × b^2 + x × ab = a^2 + xab + 4b^2$。
要使该式为完全平方式，结合完全平方和公式：$(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$，对比可得$xab=4ab$，即$x=4$，因此还需要取丙纸片4块。
【答案】
(1) $a^2 + b^2$；(2) $4$
【知识点】
1. 图形面积计算
2. 完全平方公式
【点评】
本题将几何图形拼接与代数公式结合，考查数形结合思想的应用，解题关键是抓住拼接前后面积不变的规律，结合完全平方公式的结构特征求解，难度适中。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共58分)
15. (10分)因式分解：
(1)$6a(b-1)^2 - 2(1-b)^2$；
(2)$6xy^2 -9x^2y -y^3$；
(3)$(p-4)(p+1)+3p$；
(4)$a^3 -4a(a-1)$。
15. (10分)因式分解：
(1)$6a(b-1)^2 - 2(1-b)^2$；
(2)$6xy^2 -9x^2y -y^3$；
(3)$(p-4)(p+1)+3p$；
(4)$a^3 -4a(a-1)$。
答案
解：
(1) 原式$=6a(b-1)^2 - 2(b-1)^2$
$=2(b-1)^2(3a-1)$
(2) 原式$=-y(9x^2 -6xy + y^2)$
$=-y(3x-y)^2$
(3) 原式$=p^2 +p -4p -4 +3p$
$=p^2 -4$
$=(p+2)(p-2)$
(4) 原式$=a^3 -4a^2 +4a$
$=a(a^2 -4a +4)$
$=a(a-2)^2$
(1) 原式$=6a(b-1)^2 - 2(b-1)^2$
$=2(b-1)^2(3a-1)$
(2) 原式$=-y(9x^2 -6xy + y^2)$
$=-y(3x-y)^2$
(3) 原式$=p^2 +p -4p -4 +3p$
$=p^2 -4$
$=(p+2)(p-2)$
(4) 原式$=a^3 -4a^2 +4a$
$=a(a^2 -4a +4)$
$=a(a-2)^2$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的常规思路：第一步先观察多项式是否有公因式，若有优先提取公因式；第二步观察提取公因式后的式子是否符合平方差或完全平方公式的特征，对应套用公式分解；第三步检查分解是否彻底，最终结果需为整式乘积的形式。各小问具体思路：(1) 利用$(b-1)^2=(1-b)^2$统一底数后，直接提取公因式即可；(2) 先提取负公因式，再对剩余的二次三项式套用完全平方公式分解；(3) 先展开多项式乘积、合并同类项，再套用平方差公式分解；(4) 先去括号整理多项式，提取公因式后对剩余式子套用完全平方公式分解。
【解析】
(1) 先统一相同因式的形式，再提取公因式：
原式$=6a(b-1)^2 - 2(b-1)^2$
$=2(b-1)^2(3a-1)$
(2) 先提取负公因式，再用完全平方公式分解：
原式$=-y(9x^2 -6xy + y^2)$
$=-y(3x-y)^2$
(3) 先展开合并同类项，再用平方差公式分解：
原式$=p^2 +p -4p -4 +3p$
$=p^2 -4$
$=(p+2)(p-2)$
(4) 先去括号整理，再依次用提公因式法、完全平方公式分解：
原式$=a^3 -4a^2 +4a$
$=a(a^2 -4a +4)$
$=a(a-2)^2$
【答案】
(1)$2(b-1)^2(3a-1)$；(2)$-y(3x-y)^2$；(3)$(p+2)(p-2)$；(4)$a(a-2)^2$
【知识点】
提公因式法，公式法因式分解，整式乘法运算
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考察因式分解的常规步骤，解题时需注意公因式要提全、符号处理要正确，遇到乘积形式的多项式要先展开整理再分解，最终要确认分解结果彻底、无还能继续分解的因式。
【难度系数】
0.8
因式分解遵循“一提二套三查”的常规思路：第一步先观察多项式是否有公因式，若有优先提取公因式；第二步观察提取公因式后的式子是否符合平方差或完全平方公式的特征，对应套用公式分解；第三步检查分解是否彻底，最终结果需为整式乘积的形式。各小问具体思路：(1) 利用$(b-1)^2=(1-b)^2$统一底数后，直接提取公因式即可；(2) 先提取负公因式，再对剩余的二次三项式套用完全平方公式分解；(3) 先展开多项式乘积、合并同类项，再套用平方差公式分解；(4) 先去括号整理多项式，提取公因式后对剩余式子套用完全平方公式分解。
【解析】
(1) 先统一相同因式的形式，再提取公因式：
原式$=6a(b-1)^2 - 2(b-1)^2$
$=2(b-1)^2(3a-1)$
(2) 先提取负公因式，再用完全平方公式分解：
原式$=-y(9x^2 -6xy + y^2)$
$=-y(3x-y)^2$
(3) 先展开合并同类项，再用平方差公式分解：
原式$=p^2 +p -4p -4 +3p$
$=p^2 -4$
$=(p+2)(p-2)$
(4) 先去括号整理，再依次用提公因式法、完全平方公式分解：
原式$=a^3 -4a^2 +4a$
$=a(a^2 -4a +4)$
$=a(a-2)^2$
【答案】
(1)$2(b-1)^2(3a-1)$；(2)$-y(3x-y)^2$；(3)$(p+2)(p-2)$；(4)$a(a-2)^2$
【知识点】
提公因式法，公式法因式分解，整式乘法运算
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考察因式分解的常规步骤，解题时需注意公因式要提全、符号处理要正确，遇到乘积形式的多项式要先展开整理再分解，最终要确认分解结果彻底、无还能继续分解的因式。
【难度系数】
0.8
