3 代数式(第3课时)
课堂精要·梳理内容
1. 像5ab，5abc，3v，6p等，它们都是数与字母的，这样的代数式叫做单项式。

1. 乘积

【分析】
解题时首先回忆单项式的相关定义，再结合题目给出的示例分析特征：给出的5ab、5abc、3v、6p这些式子都是数字和字母通过乘法运算组合而成，没有加减运算，对应单项式定义里“数与字母的乘积”这一核心特征，据此就能得出空缺处的内容。
【解析】
根据单项式的定义：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。观察题干给出的例子：5ab是数字5与字母a、b的乘积，5abc是数字5与字母a、b、c的乘积，3v是数字3与字母v的乘积，6p是数字6与字母p的乘积，均符合“数与字母的乘积”的特点，因此空缺处应填“乘积”。
【答案】
乘积
【知识点】
单项式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接围绕单项式的核心定义设题，只要准确识记相关概念即可顺利解答，是对基础知识点掌握情况的简单检验。
【难度系数】
0.9

2. 几个单项式的叫作多项式。

2. 和

【分析】
本题属于基础概念识记类题目，解题时只需要回忆多项式的官方定义表述即可，无需复杂推导，直接对应概念内容完成填空。
【解析】
根据教材中多项式的定义：几个单项式的和叫作多项式，因此空缺处应填写“和”。
【答案】
和
【知识点】
多项式的定义
【点评】
本题是典型的概念考查题，重点考察对基础数学概念的准确记忆，掌握相关定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9

3. 和 统称整式。

3. 单项式 多项式

【分析】
本题考查整式的基础定义，解题时只需回忆整式的相关概念即可：在代数式的分类中，明确规定了整式的组成类别，只要准确识记整式的构成要素，就能直接填出对应答案。
【解析】
根据整式的定义：单项式和多项式统称为整式，因此两个空依次填写单项式、多项式。
【答案】
单项式 多项式
【知识点】
整式的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心考查对整式分类概念的掌握，这类基础概念是后续学习整式相关运算的前提，需要牢固记忆。
【难度系数】
0.9

4.单项式中的 叫作这个单项式的系数，所有字母的 叫作这个单项式的次数。
5.在多项式中， 叫作多项式的项。一个多项式中， 的次数，叫作这个多项式的次数。

4. 数字因数 指数和
5. 每个单项式 次数最高的项

【分析】
这两道题考查整式相关的基础定义，解题时只需回忆课本中对应概念直接填空即可。第4题要明确单项式系数对应数字部分、次数对应字母的指数总和；第5题要清楚多项式由单项式组成，它的次数由最高次项的次数决定。
【解析】
4. 根据单项式的相关定义：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数，例如单项式$5ab$里，数字因数$5$就是它的系数；所有字母的指数和叫作这个单项式的次数，例如单项式$5abc$里，$a、b、c$的指数都是1，指数和为3，它的次数就是3，所以依次填数字因数、指数和。
5. 根据多项式的相关定义：多项式是几个单项式的和，因此多项式中的每个单项式叫作多项式的项；多项式的次数由次数最高的项的次数决定，例如多项式$2x^3+3x^2+1$里，次数最高的项是$2x^3$，次数为3，所以这个多项式的次数是3，因此依次填每个单项式、次数最高的项。
【答案】
4. 数字因数；指数和
5. 每个单项式；次数最高的项
【知识点】
单项式的系数与次数，多项式的项，多项式的次数
【点评】
本题属于基础概念识记题，考查对单项式、多项式核心定义的掌握，牢记对应概念就能准确作答，是整式章节的基础题型。
【难度系数】
0.9

1. 给出下列式子：$7x,3,0,4a^2+a-5,\frac{1}{x-1},\frac{x^2 y}{3},\frac{1}{2}ab+1$，其中单项式有()。

A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

1. B

【分析】
解题前需先明确单项式的判定规则：①单项式是数与字母的乘积形式，单独的一个数或单独的一个字母也属于单项式；②式子中不能含有加减运算（含加减运算的整式是多项式），分母中不能含有字母（分母含字母的是分式，不属于单项式）。接下来我们逐个判断题干给出的式子，统计符合单项式定义的数量即可得到答案。
【解析】
首先回顾单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
我们逐个分析所给式子：
1. $7x$：是数7与字母x的乘积，属于单项式；
2. $3$：单独的常数，属于单项式；
3. $0$：单独的常数，属于单项式；
4. $4a^2+a-5$：式子中含有加减运算，是多项式，不属于单项式；
5. $\frac{1}{x-1}$：分母中含有字母，属于分式，不属于单项式；
6. $\frac{x^2 y}{3}$：是数$\frac{1}{3}$与字母$x^2y$的乘积，属于单项式；
7. $\frac{1}{2}ab+1$：式子中含有加法运算，是多项式，不属于单项式。
综上，单项式共有4个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
单项式的判定、整式的分类、分式的识别
【点评】
本题核心考查对单项式概念的掌握，解题的关键是牢记单项式的判定要点，注意区分单项式、多项式和分式，避免误将含加减运算的整式或分母含字母的式子判定为单项式。
【难度系数】
0.7

2.下列说法正确的是()。

A.$-1$不是单项式
B.$\dfrac{s}{v}$是单项式
C.$x$的系数是0
D.$\dfrac{2x - y}{3}$是整式

2. D

【分析】
解决本题需要先明确单项式、整式的核心概念：1. 单项式是由数或字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也属于单项式，单项式的系数是指单项式中的数字因数；2. 整式是单项式和多项式的统称，分母中含有字母的式子不属于整式。解题时逐一对照概念判断每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：单独的一个数是单项式，-1是单独的常数，属于单项式，故A错误；
B选项：$\dfrac{s}{v}$的分母中含有字母$v$，不符合单项式“数与字母的乘积”的特征，不属于单项式，故B错误；
C选项：$x$可以写成$1· x$，其数字因数为1，所以$x$的系数是1，不是0，故C错误；
D选项：$\dfrac{2x-y}{3}=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}y$，是由两个单项式组成的多项式，多项式属于整式，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式的定义；整式的定义；单项式的系数
【点评】
本题属于代数式相关的基础概念题，易错点在于误将分母含字母的式子认作单项式、忽略单独字母的系数为1，熟记相关概念就能轻松解题。
【难度系数】
0.7

3.多项式$ab^2 + 2^5$的次数和项数分别为（）。

A.次数为5，项数为2
B.次数为3，项数为2
C.次数为5，项数为1
D.次数为3，项数为3

3. B

【分析】
解题需结合多项式的项数、次数定义逐步判断：①先确定项数：多项式中包含的每个单项式（含常数项）都属于多项式的项，数出单项式总数即可得到项数，注意常数项也是独立的项；②再确定次数：先计算每个单项式的次数，取最高次项的次数作为多项式的次数，需注意常数项的指数不算作多项式的次数，不要误将$2^5$的指数5当成多项式的次数。先通过项数排除不符合的选项，再通过次数锁定正确答案即可。
【解析】
根据多项式的相关定义解题：
1. 确定项数：多项式$ab^2 + 2^5$包含两个单项式，分别是$ab^2$和常数项$2^5$，因此项数为2，排除选项C、D；
2. 确定次数：先计算每个项的次数：
单项式$ab^2$的次数为所有字母的指数和：$a$的指数是1，$b$的指数是2，总次数为$1+2=3$；
常数项$2^5$的次数为0；
因此该多项式的最高次项次数为3，即多项式的次数为3。
综上，该多项式次数为3，项数为2，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
多项式的项数；多项式的次数；单项式的次数
【点评】
本题考查多项式的基础概念，易错点是容易混淆常数项的指数和多项式的次数，误将$2^5$的指数5当作多项式的次数，掌握基础概念即可准确作答。
【难度系数】
0.8

4. 在整式$\frac{1}{3},3x - y^2,2^3x^2y,a,x+\frac{1}{3}y,x+1,\frac{2π a^2}{3}$中，________是单项式，________是多项式。

4. $\frac{1}{3},2^{3}x^{2}y,a,\frac{2π a^{2}}{3}$ 是单项式，$3x-y^{2},x+\frac{1}{3}y,x+1$是多项式

【分析】
解题时首先要明确单项式和多项式的定义：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；几个单项式的和叫做多项式。接下来我们逐个对给出的整式进行判断即可，判断时注意π是常数，不是字母，不要误判。
【解析】
首先明确相关定义：
1. 单项式：数与字母的乘积组成的代数式，单独的数或单独的字母也是单项式；
2. 多项式：几个单项式的和组成的代数式。
逐个分析所给整式：
$\frac{1}{3}$是单独的常数，属于单项式；
$3x - y^2$是$3x$和$-y^2$两个单项式的和，属于多项式；
$2^3x^2y$是常数$2^3$与字母$x^2y$的乘积，属于单项式；
$a$是单独的字母，属于单项式；
$x+\frac{1}{3}y$是$x$和$\frac{1}{3}y$两个单项式的和，属于多项式；
$x+1$是$x$和常数1两个单项式的和，属于多项式；
$\frac{2π a^2}{3}$中π是常数，因此该式是常数$\frac{2π}{3}$与$a^2$的乘积，属于单项式。
综上可得到分类结果。
【答案】
$\frac{1}{3},2^{3}x^{2}y,a,\frac{2π a^{2}}{3}$；$3x-y^{2},x+\frac{1}{3}y,x+1$
【知识点】
单项式的定义、多项式的定义、整式的分类
【点评】
本题考查单项式与多项式的概念辨析，解题核心是准确把握两个概念的本质特征，尤其要注意π是常数而非字母，避免分类错误。
【难度系数】
0.8

5.多项式 $ xy^2 - x^3y - \frac{2}{5}xy - 4 $ 的二次项的系数是 。

5. $-\frac{2}{5}$

【分析】
要解决这道题，我们可以按照三步思路思考：第一步，先明确多项式的项的定义，把多项式拆分成独立的每一项，注意每一项要包含前面的符号；第二步，回忆单项式次数的计算方法：单项式中所有字母的指数和就是这个单项式的次数，依次计算每一项的次数，从中找到次数为2的二次项；第三步，回忆单项式系数的定义，找到二次项的数字因数（包含符号）即可得到答案。
【解析】
首先拆分多项式$ xy^2 - x^3y - \frac{2}{5}xy - 4 $的所有项，分别为：$xy^2$、$-x^3y$、$-\frac{2}{5}xy$、$-4$。
接下来计算每一项的次数：
1. 项$xy^2$的次数：$1+2=3$，属于三次项；
2. 项$-x^3y$的次数：$3+1=4$，属于四次项；
3. 项$-\frac{2}{5}xy$的次数：$1+1=2$，属于二次项；
4. 项$-4$是常数项，次数为0。
二次项为$-\frac{2}{5}xy$，它的系数是数字部分$-\frac{2}{5}$。
【答案】
$-\frac{2}{5}$
【知识点】
多项式的项、单项式的次数、单项式的系数
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是掌握多项式相关的基础定义，易错点是拆分多项式的项时容易遗漏项前面的负号，导致最终系数符号判断错误。
【难度系数】
0.7

6.单项式$-\dfrac{3π xy^2 z}{5}$的系数是，次数是。

6. $-\frac{3π}{5}$；4

【分析】
解题时首先回忆单项式系数和次数的定义：①单项式的系数是指单项式中的数字因数，注意π是常数，属于数字部分，不属于字母；②单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，省略指数的字母的指数为1，不要漏算。解题时先拆分单项式的数字部分和字母部分，先求系数，再累加所有字母的指数求次数即可。
【解析】
1. 求系数：
单项式$-\dfrac{3π xy^2 z}{5}$的数字因数为$-\dfrac{3π}{5}$（π是常数，属于数字部分），因此该单项式的系数是$-\dfrac{3π}{5}$。
2. 求次数：
该单项式中的字母为x、y、z，其中x的指数为1，y的指数为2，z的指数为1，所有字母的指数和为$1+2+1=4$，因此该单项式的次数是4。
【答案】
$-\dfrac{3π}{5}$；4
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易误将π当作字母计算次数，或是漏算指数为1的字母的指数，准确掌握单项式相关概念是解题的核心。
【难度系数】
0.8

7.多项式$-3x^2 + 2x - 1$是单项式，，的和，次数是。

7. $-3x^{2}$；$2x$；$-1$；2

【分析】
解题时先回忆多项式的核心概念：①多项式是多个单项式的和，拆分多项式的项时要将每个项前的符号和字母部分看作整体，不能遗漏符号；②多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，只需对比所有项的次数取最大值即可。首先拆分给出的多项式，注意“-1”是带负号的常数项，再计算各单项的次数，找到最高次即可。
【解析】
1. 拆分多项式的项：
多项式的本质是单项式的和，因此$-3x^2 + 2x - 1$可以改写为$(-3x^2) + 2x + (-1)$，所以组成它的单项式分别是$-3x^2$、$2x$、$-1$。
2. 计算多项式的次数：
分别计算三个单项式的次数：$-3x^2$的次数是2，$2x$的次数是1，常数项$-1$的次数是0，其中最高次数为2，因此该多项式的次数是2。
【答案】
$-3x^{2}$；$2x$；$-1$；2
【知识点】
多项式的定义；多项式的项；多项式的次数
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查多项式的相关定义，解题的易错点是拆分多项式项时容易漏掉项前面的负号，掌握“项要带符号、次数看最高”的原则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8

8. 对于多项式 $3x^2 - \frac{3}{4}x^4y -1.3 + 2xy^2$，分别解答下列问题：
(1)写出它是几项式；
(2)写出它的各项；
(3)写出它的最高次项；
(4)写出它的最高次项的次数；
(5)写出它的次数；
(6)写出它的五次项的系数。

8.(1) 四项式
(2) 各项为$3x^{2},-\frac{3}{4}x^{4}y,-1.3,2xy^{2}$
(3) 最高次项是$-\frac{3}{4}x^{4}y$
(4) 最高次项的次数是5
(5) 多项式的次数是5
(6) 五次项的系数是$-\frac{3}{4}$

【分析】
解决这类多项式概念题，首先要明确相关核心定义：①多项式中的每个单项式叫做多项式的项，有几个单项式就是几项式，注意项要包含前面的正负号；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和，常数项的次数为0；③多项式的次数是多项式里次数最高的项的次数；④单项式的系数是单项式中的数字因数，同样要带符号。解题时先拆分出多项式的所有项，再分别计算每个项的次数，对应回答问题即可。
【解析】
先拆分多项式$3x^2 - \frac{3}{4}x^4y -1.3 + 2xy^2$，得到组成它的所有单项式：$3x^2$、$-\frac{3}{4}x^4y$、$-1.3$、$2xy^2$，再分别计算各单项式的次数：
$3x^2$的次数是2
$-\frac{3}{4}x^4y$的次数是$4+1=5$
$-1.3$是常数项，次数为0
$2xy^2$的次数是$1+2=3$
据此逐一回答问题：
(1) 该多项式共由4个单项式组成，所以是四项式；
(2) 各项就是拆分得到的4个单项式：$3x^{2},-\frac{3}{4}x^{4}y,-1.3,2xy^{2}$；
(3) 次数最高的项是$-\frac{3}{4}x^4y$，即最高次项为$-\frac{3}{4}x^{4}y$；
(4) 最高次项$-\frac{3}{4}x^4y$的次数是5；
(5) 多项式的次数等于最高次项的次数，即5；
(6) 五次项是$-\frac{3}{4}x^4y$，它的数字因数为$-\frac{3}{4}$，即五次项的系数是$-\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) 四项式
(2) 各项为$3x^{2},-\frac{3}{4}x^{4}y,-1.3,2xy^{2}$
(3) 最高次项是$-\frac{3}{4}x^{4}y$
(4) 最高次项的次数是5
(5) 多项式的次数是5
(6) 五次项的系数是$-\frac{3}{4}$
【知识点】
多项式的项与项数，多项式的次数，单项式的系数与次数
【点评】
本题属于基础概念题，解题的易错点是确定多项式的项、项的系数时容易遗漏前面的负号，计算单项式次数时容易漏加某个字母的指数，掌握基础定义即可避免错误。
【难度系数】
0.8

9.若单项式$2x^{3}y^{4}$与$-7x^{2}y^{n}$的次数相同，则n是（）。

A.3
B.4
C.5
D.6

9. C

【分析】
解题首先要明确单项式次数的定义：单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和。我们可以先计算出已知单项式$2x^{3}y^{4}$的次数，再根据两个单项式次数相等的条件，建立关于n的等式，最后求解n的值即可。
【解析】
第一步：计算单项式$2x^{3}y^{4}$的次数：
该单项式中x的指数是3，y的指数是4，因此次数为$3+4=7$。
第二步：根据次数相同列等式：
单项式$-7x^{2}y^{n}$的次数为$2+n$，已知两个单项式次数相同，因此可得等式：
$2+n=7$
第三步：求解n：
移项得$n=7-2=5$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
单项式的次数、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对单项式次数定义的理解，易错点是容易误把系数的数值计入次数计算，只要牢记次数仅和字母的指数有关，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8

10.若多项式$a(a-1)x^3 + (a-1)x +1$是关于$x$的一次多项式，则$a$的值为（）。

A.0
B.1
C.0或1
D.不能确定

10. A

【分析】
要解决这道题，首先要明确一次多项式的定义：关于x的一次多项式，指的是多项式中最高次项的次数为1，且必须含有一次项。解题思路分为两步：第一步，因为原式中存在三次项，要让多项式最高次为1次，必须令三次项的系数等于0，先求出a的可能取值；第二步，验证求出的a值是否满足一次项系数不为0，若一次项系数为0，就不存在一次项，不符合一次多项式的要求，要舍去对应的a值。
【解析】
根据一次多项式的定义可得：
1. 三次项系数为0，即 $a(a-1)=0$，解得 $a=0$ 或 $a=1$；
2. 验证一次项系数：
当 $a=0$ 时，一次项系数为 $a-1=0-1=-1≠0$，此时原式为 $-x+1$，是关于x的一次多项式，符合要求；
当 $a=1$ 时，一次项系数为 $a-1=1-1=0$，此时原式为 $1$，是常数多项式，不符合一次多项式的要求，舍去。
综上，a的值为0。
【答案】
A
【知识点】
多项式的次数；多项式的定义
【点评】
本题易错点是忽略一次项系数不能为0的限制条件，直接选择C选项，解题时求出参数的可能值后要注意代入验证是否符合多项式次数的要求。
【难度系数】
0.6