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10.当$a=\frac{1}{3},b=9$时,下列代数式的值为24的是(
A.$(3a+2)(b-1)$
B.$(2a+1)(b+10)$
C.$(2a+3)(b-1)$
D.$(a+2)(b+11)$
A
)。A.$(3a+2)(b-1)$
B.$(2a+1)(b+10)$
C.$(2a+3)(b-1)$
D.$(a+2)(b+11)$
答案
10.A
解析
【分析】
本题考查代数式求值，解题思路为代入求值法：已知a、b的具体取值，只需将$a=\frac{1}{3}$、$b=9$分别代入四个选项的代数式中，按照有理数运算顺序计算出结果，再将结果与24对比，选出结果为24的选项即可。计算时注意先算括号内的运算，再算乘法。
【解析】
已知$a=\frac{1}{3}$，$b=9$，分别代入各选项计算：
A选项：$(3a+2)(b-1)=(3×\frac{1}{3}+2)×(9-1)=(1+2)×8=3×8=24$，符合要求；
B选项：$(2a+1)(b+10)=(2×\frac{1}{3}+1)×(9+10)=\frac{5}{3}×19=\frac{95}{3}≠24$，不符合；
C选项：$(2a+3)(b-1)=(2×\frac{1}{3}+3)×(9-1)=\frac{11}{3}×8=\frac{88}{3}≠24$，不符合；
D选项：$(a+2)(b+11)=(\frac{1}{3}+2)×(9+11)=\frac{7}{3}×20=\frac{140}{3}≠24$，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心是掌握代入求值的方法，计算时注意遵循有理数运算顺序，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.85
本题考查代数式求值，解题思路为代入求值法：已知a、b的具体取值，只需将$a=\frac{1}{3}$、$b=9$分别代入四个选项的代数式中，按照有理数运算顺序计算出结果，再将结果与24对比，选出结果为24的选项即可。计算时注意先算括号内的运算，再算乘法。
【解析】
已知$a=\frac{1}{3}$，$b=9$，分别代入各选项计算：
A选项：$(3a+2)(b-1)=(3×\frac{1}{3}+2)×(9-1)=(1+2)×8=3×8=24$，符合要求；
B选项：$(2a+1)(b+10)=(2×\frac{1}{3}+1)×(9+10)=\frac{5}{3}×19=\frac{95}{3}≠24$，不符合；
C选项：$(2a+3)(b-1)=(2×\frac{1}{3}+3)×(9-1)=\frac{11}{3}×8=\frac{88}{3}≠24$，不符合；
D选项：$(a+2)(b+11)=(\frac{1}{3}+2)×(9+11)=\frac{7}{3}×20=\frac{140}{3}≠24$，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心是掌握代入求值的方法，计算时注意遵循有理数运算顺序，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.85
11.当$x=1$时，代数式$ax^{5}+bx^{3}$的值是5，则当$x=-1$时，代数式$ax^{5}+bx^{3}+1$的值是
$-4$
。答案
11.$-4$
解析
【分析】
解题时先将x=1代入已知代数式，求出a+b的整体值，再利用奇数次幂的符号性质，将x=-1代入目标代数式，把a+b的值整体代入计算即可，不需要单独求解a、b的具体数值，能简化计算过程。
【解析】
解：当x=1时，代入代数式$ax^5+bx^3$得：
$a×1^5 + b×1^3 = a + b = 5$
当x=-1时，代入代数式$ax^5+bx^3$得：
$a×(-1)^5 + b×(-1)^3 = -a -b = -(a + b)$
把$a+b=5$整体代入上式，得$-(a+b)=-5$
则$ax^5+bx^3 +1 = -5 + 1 = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
代数式求值，整体代入法，奇数次幂的符号性质
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，核心是运用整体代入的思想，利用互为相反数的两个数的奇数次幂仍互为相反数的特点建立已知和未知的联系，避免了无需求解单个字母参数的复杂运算。
【难度系数】
0.7
解题时先将x=1代入已知代数式，求出a+b的整体值，再利用奇数次幂的符号性质，将x=-1代入目标代数式，把a+b的值整体代入计算即可，不需要单独求解a、b的具体数值，能简化计算过程。
【解析】
解：当x=1时，代入代数式$ax^5+bx^3$得：
$a×1^5 + b×1^3 = a + b = 5$
当x=-1时，代入代数式$ax^5+bx^3$得：
$a×(-1)^5 + b×(-1)^3 = -a -b = -(a + b)$
把$a+b=5$整体代入上式，得$-(a+b)=-5$
则$ax^5+bx^3 +1 = -5 + 1 = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
代数式求值，整体代入法，奇数次幂的符号性质
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，核心是运用整体代入的思想，利用互为相反数的两个数的奇数次幂仍互为相反数的特点建立已知和未知的联系，避免了无需求解单个字母参数的复杂运算。
【难度系数】
0.7
12.已知$m + 4m^3 = 6$，则$3m + 12m^3 - (m + 4m^3)^2$的值为
$-18$
。答案
12.$-18$
解析
【分析】
本题不需要求出m的具体值，可利用整体代入思想求解。首先观察所求代数式的结构，发现3m+12m³可提取公因式3变形为3(m+4m³)，而(m+4m³)正好是已知条件给出的数值，因此只需将已知的m+4m³=6整体代入变形后的代数式，即可计算出结果。
【解析】
解：已知$m + 4m^3 = 6$，
先对所求代数式变形：
$3m + 12m^3 - (m + 4m^3)^2 = 3(m + 4m^3) - (m + 4m^3)^2$
将$m + 4m^3 = 6$代入上式：
原式$= 3×6 - 6^2$
$= 18 - 36$
$= -18$
【答案】
$-18$
【知识点】
代数式求值；整体代入法；提公因式
【点评】
本题是代数式求值的基础常考题型，核心解题思路是通过观察找到所求式子与已知条件的关联，将已知式子作为整体代入计算，无需解高次方程，能够有效考察学生的观察能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.7
本题不需要求出m的具体值，可利用整体代入思想求解。首先观察所求代数式的结构，发现3m+12m³可提取公因式3变形为3(m+4m³)，而(m+4m³)正好是已知条件给出的数值，因此只需将已知的m+4m³=6整体代入变形后的代数式，即可计算出结果。
【解析】
解：已知$m + 4m^3 = 6$，
先对所求代数式变形：
$3m + 12m^3 - (m + 4m^3)^2 = 3(m + 4m^3) - (m + 4m^3)^2$
将$m + 4m^3 = 6$代入上式：
原式$= 3×6 - 6^2$
$= 18 - 36$
$= -18$
【答案】
$-18$
【知识点】
代数式求值；整体代入法；提公因式
【点评】
本题是代数式求值的基础常考题型，核心解题思路是通过观察找到所求式子与已知条件的关联，将已知式子作为整体代入计算，无需解高次方程，能够有效考察学生的观察能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.7
13.【数学应用】某卖场销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元。“十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案。
方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款。
现某客户要到该卖场购买微波炉10台，电磁炉$ x(x＞10) $台。
(1)若该客户按方案一购买，需付款
(2)若$ x=30 $，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算。
(3)当$ x=30 $时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算需付款多少元。
方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款。
现某客户要到该卖场购买微波炉10台，电磁炉$ x(x＞10) $台。
(1)若该客户按方案一购买，需付款
$200x+6\ 000$
元；若该客户按方案二购买，需付款$180x+7\ 200$
元(用含$ x $的代数式表示)。(2)若$ x=30 $，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算。
(3)当$ x=30 $时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算需付款多少元。
答案
13.解:(1)$200x+6\ 000$ $180x+7\ 200$
(2)当$x=30$时，
方案一:$200×30+6\ 000=12\ 000$(元)；
方案二:$180×30+7\ 200=12\ 600$(元)。
所以按方案一购买较为合算。
(3)先按方案一购买10台微波炉送10台电磁炉,再按方案二购买20台电磁炉,共需付款$10×800+200×(30-10)×90\%=11\ 600$(元)。
(2)当$x=30$时，
方案一:$200×30+6\ 000=12\ 000$(元)；
方案二:$180×30+7\ 200=12\ 600$(元)。
所以按方案一购买较为合算。
(3)先按方案一购买10台微波炉送10台电磁炉,再按方案二购买20台电磁炉,共需付款$10×800+200×(30-10)×90\%=11\ 600$(元)。
解析
【分析】
（1）针对两种优惠方案分别梳理费用构成：方案一的规则是买1台微波炉送1台电磁炉，购买10台微波炉可获赠10台电磁炉，因此只需支付10台微波炉的费用，再额外支付超出赠送数量的$(x-10)$台电磁炉的费用，列式化简即可得到方案一的付款金额；方案二的规则是所有商品按定价的90%付款，先计算10台微波炉和$x$台电磁炉的总定价，再乘90%化简即可得到方案二的付款金额。
（2）将$x=30$分别代入（1）中得到的两个代数式，计算出两种方案的实际付款额，比较金额大小即可判断哪种方案更合算。
（3）可以组合两种优惠方案，优先使用优惠力度更大的规则：先用方案一购买10台微波炉拿到赠送的10台电磁炉，剩余需要的电磁炉按方案二的折扣购买，计算总费用即可得到更省钱的方案。
【解析】
(1) 方案一费用：
$10×800 + 200(x-10) = 8000 + 200x - 2000 = 200x + 6000$（元）
方案二费用：
$(10×800 + 200x)×90\% = (8000 + 200x)×0.9 = 180x + 7200$（元）
(2) 当$x=30$时：
方案一付款：$200×30 + 6000 = 12000$（元）
方案二付款：$180×30 + 7200 = 12600$（元）
$\because 12000＜12600$
$\therefore$ 按方案一购买较为合算。
(3) 组合方案：先按方案一购买10台微波炉，赠送10台电磁炉，剩余需要的$30-10=20$台电磁炉按方案二购买：
总付款：$10×800 + 20×200×90\% = 8000 + 3600 = 11600$（元）
【答案】
(1)$200x+6\ 000$；$180x+7\ 200$
(2)按方案一购买较为合算
(3)先按方案一购买10台微波炉送10台电磁炉，再按方案二购买20台电磁炉，需付款11600元
【知识点】
列代数式；代数式求值；最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的促销优惠场景，考查代数式的实际应用，解题核心是准确理解不同优惠规则的费用计算逻辑，选择最优方案时可灵活组合多种优惠方式，进一步降低总支出。
【难度系数】
0.7
（1）针对两种优惠方案分别梳理费用构成：方案一的规则是买1台微波炉送1台电磁炉，购买10台微波炉可获赠10台电磁炉，因此只需支付10台微波炉的费用，再额外支付超出赠送数量的$(x-10)$台电磁炉的费用，列式化简即可得到方案一的付款金额；方案二的规则是所有商品按定价的90%付款，先计算10台微波炉和$x$台电磁炉的总定价，再乘90%化简即可得到方案二的付款金额。
（2）将$x=30$分别代入（1）中得到的两个代数式，计算出两种方案的实际付款额，比较金额大小即可判断哪种方案更合算。
（3）可以组合两种优惠方案，优先使用优惠力度更大的规则：先用方案一购买10台微波炉拿到赠送的10台电磁炉，剩余需要的电磁炉按方案二的折扣购买，计算总费用即可得到更省钱的方案。
【解析】
(1) 方案一费用：
$10×800 + 200(x-10) = 8000 + 200x - 2000 = 200x + 6000$（元）
方案二费用：
$(10×800 + 200x)×90\% = (8000 + 200x)×0.9 = 180x + 7200$（元）
(2) 当$x=30$时：
方案一付款：$200×30 + 6000 = 12000$（元）
方案二付款：$180×30 + 7200 = 12600$（元）
$\because 12000＜12600$
$\therefore$ 按方案一购买较为合算。
(3) 组合方案：先按方案一购买10台微波炉，赠送10台电磁炉，剩余需要的$30-10=20$台电磁炉按方案二购买：
总付款：$10×800 + 20×200×90\% = 8000 + 3600 = 11600$（元）
【答案】
(1)$200x+6\ 000$；$180x+7\ 200$
(2)按方案一购买较为合算
(3)先按方案一购买10台微波炉送10台电磁炉，再按方案二购买20台电磁炉，需付款11600元
【知识点】
列代数式；代数式求值；最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的促销优惠场景，考查代数式的实际应用，解题核心是准确理解不同优惠规则的费用计算逻辑，选择最优方案时可灵活组合多种优惠方式，进一步降低总支出。
【难度系数】
0.7
14.【综合与实践】（1）当$a$，$b$取不同数值时，计算$a^2 - b^2$及$(a+b)(a-b)$的值，并将计算结果填入下表。
（2）根据上表的计算，对于$a$，$b$各取任意一个数值，计算$a^2 - b^2$及$(a+b) · (a-b)$的值时，蕴含了一个规律，请你写出这个规律。
（3）用你发现的规律计算：$60.06^2 - 39.94^2$。
（2）根据上表的计算，对于$a$，$b$各取任意一个数值，计算$a^2 - b^2$及$(a+b) · (a-b)$的值时，蕴含了一个规律，请你写出这个规律。
（3）用你发现的规律计算：$60.06^2 - 39.94^2$。
答案
14.解:(1)第一行:5 24 $-21$
第二行:5 24 $-21$
(2)由(1)的计算发现规律:$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
(3)$60.06^2 - 39.94^2=(60.06+39.94)×(60.06-39.94)=100×20.12=2\ 012$。
第二行:5 24 $-21$
(2)由(1)的计算发现规律:$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
(3)$60.06^2 - 39.94^2=(60.06+39.94)×(60.06-39.94)=100×20.12=2\ 012$。
解析
【分析】
（1）表格填空只需将每组对应的a、b数值分别代入$a^2-b^2$和$(a+b)(a-b)$两个代数式，按照有理数运算规则计算即可，代入时注意负数的运算符号，避免符号错误。
（2）观察表格中每组a、b对应的两个代数式的计算结果，发现数值完全相等，由此归纳得出普遍适用的规律。
（3）计算$60.06^2 - 39.94^2$时，直接套用第（2）问发现的规律，将其转化为两数和乘两数差的形式，凑整后计算比直接算平方更简便。
【解析】
（1）分别代入三组数值计算：
①当$a=3,b=2$时：
$a^2-b^2=3^2-2^2=9-4=5$，
$(a+b)(a-b)=(3+2)×(3-2)=5×1=5$；
②当$a=-5,b=1$时：
$a^2-b^2=(-5)^2-1^2=25-1=24$，
$(a+b)(a-b)=(-5+1)×(-5-1)=(-4)×(-6)=24$；
③当$a=-2,b=-5$时：
$a^2-b^2=(-2)^2-(-5)^2=4-25=-21$，
$(a+b)(a-b)=(-2-5)×(-2+5)=(-7)×3=-21$；
因此表格第一行依次填5、24、$-21$，第二行依次填5、24、$-21$。
（2）对比每组计算结果可知，无论a、b取何值，两个代数式的值都相等，规律为：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
（3）利用上述规律计算：
$60.06^2 - 39.94^2$
$=(60.06+39.94)×(60.06-39.94)$
$=100×20.12$
$=2012$
【答案】
(1)第一行：$\boxed{5}$，$\boxed{24}$，$\boxed{-21}$；第二行：$\boxed{5}$，$\boxed{24}$，$\boxed{-21}$
(2)$\boxed{a^2 - b^2=(a+b)(a-b)}$
(3)$\boxed{2012}$
【知识点】
代数式求值；平方差公式；有理数运算
【点评】
本题从具体数值计算出发，引导学生经历从特殊到一般的探究过程，自主归纳出平方差公式，再利用公式进行简便运算，既考查了代数式的基础计算能力，也让学生体会到代数公式简化运算的实用价值。
【难度系数】
0.8
（1）表格填空只需将每组对应的a、b数值分别代入$a^2-b^2$和$(a+b)(a-b)$两个代数式，按照有理数运算规则计算即可，代入时注意负数的运算符号，避免符号错误。
（2）观察表格中每组a、b对应的两个代数式的计算结果，发现数值完全相等，由此归纳得出普遍适用的规律。
（3）计算$60.06^2 - 39.94^2$时，直接套用第（2）问发现的规律，将其转化为两数和乘两数差的形式，凑整后计算比直接算平方更简便。
【解析】
（1）分别代入三组数值计算：
①当$a=3,b=2$时：
$a^2-b^2=3^2-2^2=9-4=5$，
$(a+b)(a-b)=(3+2)×(3-2)=5×1=5$；
②当$a=-5,b=1$时：
$a^2-b^2=(-5)^2-1^2=25-1=24$，
$(a+b)(a-b)=(-5+1)×(-5-1)=(-4)×(-6)=24$；
③当$a=-2,b=-5$时：
$a^2-b^2=(-2)^2-(-5)^2=4-25=-21$，
$(a+b)(a-b)=(-2-5)×(-2+5)=(-7)×3=-21$；
因此表格第一行依次填5、24、$-21$，第二行依次填5、24、$-21$。
（2）对比每组计算结果可知，无论a、b取何值，两个代数式的值都相等，规律为：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
（3）利用上述规律计算：
$60.06^2 - 39.94^2$
$=(60.06+39.94)×(60.06-39.94)$
$=100×20.12$
$=2012$
【答案】
(1)第一行：$\boxed{5}$，$\boxed{24}$，$\boxed{-21}$；第二行：$\boxed{5}$，$\boxed{24}$，$\boxed{-21}$
(2)$\boxed{a^2 - b^2=(a+b)(a-b)}$
(3)$\boxed{2012}$
【知识点】
代数式求值；平方差公式；有理数运算
【点评】
本题从具体数值计算出发，引导学生经历从特殊到一般的探究过程，自主归纳出平方差公式，再利用公式进行简便运算，既考查了代数式的基础计算能力，也让学生体会到代数公式简化运算的实用价值。
【难度系数】
0.8
