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11.有一个多项式$a^{10} - a^{9}b + a^{8}b^{2} - a^{7}b^{3} + ···$，按照这样的规律写下去，你知道第7项是什么吗？最后一项呢？这是一个几次几项式？有什么规律？
答案
11. 解:可以看出,从左到右a的指数逐次减1,b的指数逐次加1,所以第7项是$a^{4}b^{6}$,最后一项是$b^{10}$,这是一个关于a,b的十次十一项式,它的第n项是$(-1)^{n+1}a^{11-n}b^{n-1}$。
解析
【分析】
解决本题首先要学会拆解多项式每一项的构成：分别从符号、a的指数、b的指数三个维度，对比前几项和对应项数的关系，归纳出通用规律；再根据规律计算第7项、最后一项；最后结合多项式次数、项数的定义判断多项式的类型即可。
【解析】
我们先列出前几项和对应项数的关系：
第1项：$a^{10}b^0$，符号为正，a的指数为10，b的指数为0
第2项：$-a^9b^1$，符号为负，a的指数为9，b的指数为1
第3项：$a^8b^2$，符号为正，a的指数为8，b的指数为2
……
由此可总结规律：
1. 符号规律：奇数项为正，偶数项为负，对应$(-1)^{n+1}$（n为项数）
2. a的指数规律：从10开始逐次减1，第n项a的指数为$10-(n-1)=11-n$
3. b的指数规律：从0开始逐次加1，第n项b的指数为$n-1$
接下来求解各问题：
① 求第7项：把n=7代入上述规律，符号为$(-1)^{7+1}=1$，a的指数为$11-7=4$，b的指数为$7-1=6$，因此第7项为$a^4b^6$。
② 求最后一项：当a的指数降到0时为最后一项，即$11-n=0$，得n=11，代入得$(-1)^{11+1}a^0b^{10}=b^{10}$。
③ 判断多项式类型：该多项式最高次为10次（每一项的次数都是a的指数加b的指数，均为10），总共有11项，因此是关于a、b的十次十一项式。
④ 通用规律：综合上述分析，第n项为$(-1)^{n+1}a^{11-n}b^{n-1}$（n为正整数，$1≤ n≤11$）。
【答案】
第7项是$a^{4}b^{6}$，最后一项是$b^{10}$，这是一个关于a,b的十次十一项式，它的第n项是$(-1)^{n+1}a^{11-n}b^{n-1}$。
【知识点】
多项式的项与次数；代数式规律探究
【点评】
本题需要学生通过观察归纳出多项式各项的变化规律，同时要准确掌握多项式次数、项数的判断方法，是整式章节中考查规律探究能力的典型题型，能很好地锻炼学生的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要学会拆解多项式每一项的构成：分别从符号、a的指数、b的指数三个维度，对比前几项和对应项数的关系，归纳出通用规律；再根据规律计算第7项、最后一项；最后结合多项式次数、项数的定义判断多项式的类型即可。
【解析】
我们先列出前几项和对应项数的关系：
第1项：$a^{10}b^0$，符号为正，a的指数为10，b的指数为0
第2项：$-a^9b^1$，符号为负，a的指数为9，b的指数为1
第3项：$a^8b^2$，符号为正，a的指数为8，b的指数为2
……
由此可总结规律：
1. 符号规律：奇数项为正，偶数项为负，对应$(-1)^{n+1}$（n为项数）
2. a的指数规律：从10开始逐次减1，第n项a的指数为$10-(n-1)=11-n$
3. b的指数规律：从0开始逐次加1，第n项b的指数为$n-1$
接下来求解各问题：
① 求第7项：把n=7代入上述规律，符号为$(-1)^{7+1}=1$，a的指数为$11-7=4$，b的指数为$7-1=6$，因此第7项为$a^4b^6$。
② 求最后一项：当a的指数降到0时为最后一项，即$11-n=0$，得n=11，代入得$(-1)^{11+1}a^0b^{10}=b^{10}$。
③ 判断多项式类型：该多项式最高次为10次（每一项的次数都是a的指数加b的指数，均为10），总共有11项，因此是关于a、b的十次十一项式。
④ 通用规律：综合上述分析，第n项为$(-1)^{n+1}a^{11-n}b^{n-1}$（n为正整数，$1≤ n≤11$）。
【答案】
第7项是$a^{4}b^{6}$，最后一项是$b^{10}$，这是一个关于a,b的十次十一项式，它的第n项是$(-1)^{n+1}a^{11-n}b^{n-1}$。
【知识点】
多项式的项与次数；代数式规律探究
【点评】
本题需要学生通过观察归纳出多项式各项的变化规律，同时要准确掌握多项式次数、项数的判断方法，是整式章节中考查规律探究能力的典型题型，能很好地锻炼学生的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.7
12.若代数式$(x^2 + ax - 2y + 7)-(bx^2 - 2x + 9y - 1)$的值与字母$x$的取值无关，求$a$，$b$的值。
答案
12. $a=-2,b=1$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确：若代数式的值与字母x的取值无关，意味着合并同类项后，所有含x的项的系数都为0（如果含x的项系数不为0，x的取值变化会导致整个代数式的值变化，不符合“与x取值无关”的要求）。解题步骤为：先对原式去括号、合并同类项，将式子整理为按x的降幂排列的形式，再令x²项、x项的系数分别为0，列方程求解即可得到a、b的值。
【解析】
先化简给定的代数式：
$\begin{aligned}&(x^2 + ax - 2y + 7)-(bx^2 - 2x + 9y - 1)\\=&x^2 + ax - 2y + 7 - bx^2 + 2x - 9y + 1\\=&(1 - b)x^2 + (a + 2)x - 11y + 8\end{aligned}$
因为代数式的值与字母x的取值无关，所以含x的各次项的系数均为0，可得：
1. $x^2$项的系数：$1 - b = 0$，解得$b = 1$
2. $x$项的系数：$a + 2 = 0$，解得$a = -2$
【答案】
$a=-2,b=1$
【知识点】
整式的加减运算；合并同类项；代数式与字母取值无关的条件
【点评】
本题是整式章节的典型常考题，核心是理解“代数式的值与某字母无关”的本质是该字母的所有同次项系数为0，解题时要注意去括号时的符号变化，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确：若代数式的值与字母x的取值无关，意味着合并同类项后，所有含x的项的系数都为0（如果含x的项系数不为0，x的取值变化会导致整个代数式的值变化，不符合“与x取值无关”的要求）。解题步骤为：先对原式去括号、合并同类项，将式子整理为按x的降幂排列的形式，再令x²项、x项的系数分别为0，列方程求解即可得到a、b的值。
【解析】
先化简给定的代数式：
$\begin{aligned}&(x^2 + ax - 2y + 7)-(bx^2 - 2x + 9y - 1)\\=&x^2 + ax - 2y + 7 - bx^2 + 2x - 9y + 1\\=&(1 - b)x^2 + (a + 2)x - 11y + 8\end{aligned}$
因为代数式的值与字母x的取值无关，所以含x的各次项的系数均为0，可得：
1. $x^2$项的系数：$1 - b = 0$，解得$b = 1$
2. $x$项的系数：$a + 2 = 0$，解得$a = -2$
【答案】
$a=-2,b=1$
【知识点】
整式的加减运算；合并同类项；代数式与字母取值无关的条件
【点评】
本题是整式章节的典型常考题，核心是理解“代数式的值与某字母无关”的本质是该字母的所有同次项系数为0，解题时要注意去括号时的符号变化，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
13.【数学应用】如图，在边长为x的正方形硬纸片上剪去两个直径为x的半圆，所剩部分（图中阴影部分）的面积是多少？
答案
13. 阴影部分的面积是$x^{2}-\frac{π x^{2}}{4}$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，我们可以用“割补法”的思路：阴影面积等于整体正方形的面积减去空白部分的面积。观察空白部分，是两个直径为x的半圆，两个完全相同的半圆可以拼接成1个完整的圆，因此只需要先算出正方形的面积，再算出拼接后整圆的面积，二者作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：已知正方形的边长为x，
1. 计算正方形的面积：$S_{\mathrm{正方形}} = 边长×边长 = x^2$
2. 分析空白部分：两个直径为x的半圆可拼成1个整圆，圆的直径为x，因此半径$r=\frac{x}{2}$
3. 计算整圆的面积：$S_{\mathrm{圆}} = π r^2 = π×(\frac{x}{2})^2 = \frac{π x^2}{4}$
4. 阴影部分面积 = 正方形面积 - 圆的面积，即$S_{\mathrm{阴影}} = x^2 - \frac{π x^2}{4}$
【答案】
$x^{2}-\frac{π x^{2}}{4}$
【知识点】
列代数式；正方形面积计算；圆的面积计算
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的基础题，核心解题思路是将不规则图形的面积转化为多个规则图形面积的和差，本题中将两个半圆拼接为整圆可以简化计算过程，解题时要注意确认圆的半径长度，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
要求阴影部分的面积，我们可以用“割补法”的思路：阴影面积等于整体正方形的面积减去空白部分的面积。观察空白部分，是两个直径为x的半圆，两个完全相同的半圆可以拼接成1个完整的圆，因此只需要先算出正方形的面积，再算出拼接后整圆的面积，二者作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：已知正方形的边长为x，
1. 计算正方形的面积：$S_{\mathrm{正方形}} = 边长×边长 = x^2$
2. 分析空白部分：两个直径为x的半圆可拼成1个整圆，圆的直径为x，因此半径$r=\frac{x}{2}$
3. 计算整圆的面积：$S_{\mathrm{圆}} = π r^2 = π×(\frac{x}{2})^2 = \frac{π x^2}{4}$
4. 阴影部分面积 = 正方形面积 - 圆的面积，即$S_{\mathrm{阴影}} = x^2 - \frac{π x^2}{4}$
【答案】
$x^{2}-\frac{π x^{2}}{4}$
【知识点】
列代数式；正方形面积计算；圆的面积计算
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的基础题，核心解题思路是将不规则图形的面积转化为多个规则图形面积的和差，本题中将两个半圆拼接为整圆可以简化计算过程，解题时要注意确认圆的半径长度，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
14.【综合与实践】阅读下列材料，完成相应的任务：
对称式
一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫作对称式。
例如，代数式$abc$中任意两个字母交换位置，可得到代数式$bac$，$acb$，$cba$，因为$abc = bac = acb = cba$，所以$abc$是对称式；而代数式$a - b$中字母$a$，$b$交换位置，得到代数式$b - a$，因为$a - b$与$b - a$可能不相等，所以$a - b$不是对称式。
任务一：下列四个代数式，是对称式的是
①$a + b + c$；②$a^2 + b^2$；③$a^2b$；④$\frac{a}{b}$。
任务二：写出一个只含有字母$x$，$y$的单项式，使该单项式是对称式，且次数为6次。
对称式
一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫作对称式。
例如，代数式$abc$中任意两个字母交换位置，可得到代数式$bac$，$acb$，$cba$，因为$abc = bac = acb = cba$，所以$abc$是对称式；而代数式$a - b$中字母$a$，$b$交换位置，得到代数式$b - a$，因为$a - b$与$b - a$可能不相等，所以$a - b$不是对称式。
任务一：下列四个代数式，是对称式的是
①②
（填序号）。①$a + b + c$；②$a^2 + b^2$；③$a^2b$；④$\frac{a}{b}$。
任务二：写出一个只含有字母$x$，$y$的单项式，使该单项式是对称式，且次数为6次。
答案
14. 任务一：①②；任务二：$x^{3}y^{3}$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题前首先要明确对称式的定义：代数式中任意交换两个字母的位置，代数式的值不变即为对称式。
任务一的解题思路：依次对四个代数式按照对称式的定义进行验证，交换对应字母后判断是否和原式相等即可。
任务二的解题思路：需要同时满足三个要求：①只含字母x、y的单项式；②是对称式（交换x和y后式子不变，因此x和y的指数必须相等）；③次数为6次（单项式次数是所有字母指数和，因此x、y的指数和为6），结合三个要求推导即可。
【解析】
任务一：
根据对称式定义逐一判断：
①交换a、b、c中任意两个字母，例如交换a和b，得$b+a+c$，和原式$a+b+c$相等，因此是对称式；
②交换a和b，得$b^2+a^2$，和原式$a^2+b^2$相等，因此是对称式；
③交换a和b，得$b^2a$，与原式$a^2b$不一定相等（如$a=1$，$b=2$时，原式$=1^2×2=2$，交换后$=2^2×1=4$，二者不等），因此不是对称式；
④交换a和b，得$\frac{b}{a}$，与原式$\frac{a}{b}$不一定相等，因此不是对称式。
综上，任务一选①②。
任务二：
要求该单项式为对称式，即交换x和y后单项式不变，因此x的指数等于y的指数；
又因为单项式次数为6次，即x的指数+y的指数=6，因此x、y的指数均为$6÷2=3$；
所以满足要求的单项式可以是$x^3y^3$（添加非零常数系数也可，答案不唯一）。
【答案】
任务一：①②；任务二：$x^{3}y^{3}$(答案不唯一)
【知识点】
1. 对称式的定义
2. 单项式的次数
【点评】
本题属于新定义题型，核心是准确理解题干给出的对称式的概念，再结合单项式的相关性质求解，主要考查阅读理解能力和知识迁移运用的能力。
【难度系数】
0.8
解题前首先要明确对称式的定义：代数式中任意交换两个字母的位置，代数式的值不变即为对称式。
任务一的解题思路：依次对四个代数式按照对称式的定义进行验证，交换对应字母后判断是否和原式相等即可。
任务二的解题思路：需要同时满足三个要求：①只含字母x、y的单项式；②是对称式（交换x和y后式子不变，因此x和y的指数必须相等）；③次数为6次（单项式次数是所有字母指数和，因此x、y的指数和为6），结合三个要求推导即可。
【解析】
任务一：
根据对称式定义逐一判断：
①交换a、b、c中任意两个字母，例如交换a和b，得$b+a+c$，和原式$a+b+c$相等，因此是对称式；
②交换a和b，得$b^2+a^2$，和原式$a^2+b^2$相等，因此是对称式；
③交换a和b，得$b^2a$，与原式$a^2b$不一定相等（如$a=1$，$b=2$时，原式$=1^2×2=2$，交换后$=2^2×1=4$，二者不等），因此不是对称式；
④交换a和b，得$\frac{b}{a}$，与原式$\frac{a}{b}$不一定相等，因此不是对称式。
综上，任务一选①②。
任务二：
要求该单项式为对称式，即交换x和y后单项式不变，因此x的指数等于y的指数；
又因为单项式次数为6次，即x的指数+y的指数=6，因此x、y的指数均为$6÷2=3$；
所以满足要求的单项式可以是$x^3y^3$（添加非零常数系数也可，答案不唯一）。
【答案】
任务一：①②；任务二：$x^{3}y^{3}$(答案不唯一)
【知识点】
1. 对称式的定义
2. 单项式的次数
【点评】
本题属于新定义题型，核心是准确理解题干给出的对称式的概念，再结合单项式的相关性质求解，主要考查阅读理解能力和知识迁移运用的能力。
【难度系数】
0.8
