6. 如图，I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为$S_1$，△ACI的面积记为$S_2$，△BCI的面积记为$S_3$，则$S_1+S_2$与$S_3$的大小关系是（）

A.$S_1+S_2=S_3$
B.$S_1+S_2＜S_3$
C.$S_1+S_2＞S_3$
D.无法确定

C

过点I分别作ID⊥AB于D，IE⊥AC于E，IF⊥BC于F。由角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此ID=IE=IF，设该距离为r。可得$S_1=\frac{1}{2}· AB· r$，$S_2=\frac{1}{2}· AC· r$，$S_3=\frac{1}{2}· BC· r$，因此$S_1+S_2=\frac{1}{2}r·(AB+AC)$。根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，即$AB+AC＞BC$，两边同乘正数$\frac{1}{2}r$，可得$\frac{1}{2}r·(AB+AC)＞\frac{1}{2}r· BC$，即$S_1+S_2＞S_3$。

7. 如图，P是∠AOC平分线上的一点，PD⊥OA，垂足为D，且PD=$\sqrt{2}$，M是射线OC上一动点，则PM的最小值为。
G E O

$\boldsymbol{\sqrt{2}}$

解：过点P作PE⊥OC于点E。
∵P是∠AOC平分线上的一点，PD⊥OA，PE⊥OC，
∴由角平分线的性质可得：PE = PD = √2。
∵M是射线OC上的动点，根据垂线段最短，PM的最小值为点P到OC的垂线段的长度，
∴PM的最小值为√2。
最终

8. 如图，$△ ABC$的内角$∠ ABC$和外角$∠ ACD$的平分线交于点$O$。$BO$交$AC$于点$F$，过点$O$作$OG// BC$交$BA$延长线于点$E$，交$CA$延长线于点$G$，连接$AO$，有以下结论：①$CG-BE=GE$；②$FG=FO$；③$S_{△ BCO}: S_{△ ABO}=BC: AB$；④若$∠ ACO=α$，则$∠ AOB=90°-α$。其中正确的结论有（填序号）。

证明：
① ∵ BO平分∠ABC，∴ ∠ABO=∠OBC
∵ OG//BC，∴ ∠EOB=∠OBC，∴ ∠ABO=∠EOB，∴ BE=EO
∵ CO平分∠ACD，∴ ∠ACO=∠OCD
∵ OG//BC，∴ ∠GOC=∠OCD，∴ ∠GOC=∠ACO，∴ CG=GO
∵ GO = GE + EO，∴ CG = GE + BE，即 $CG-BE=GE$，故①正确。
② 由已知条件无法推出∠GFO=∠GOF，因此FG与FO不一定相等，故②错误。
③ 过点O分别作$OH⊥ AB$于H，$OM⊥ BC$于M，$ON⊥ AC$于N。
∵ BO平分∠ABC，∴ $OH=OM$
∵ CO平分∠ACD，∴ $ON=OM$，∴ $OH=OM$
∴ $S_{△ BCO} = \frac{1}{2} · BC · OM$，$S_{△ ABO} = \frac{1}{2} · AB · OH$
∴ $S_{△ BCO}: S_{△ ABO} = BC: AB$，故③正确。
④ ∵ O是∠ABC平分线与∠ACD平分线的交点，∴ AO平分△ABC中∠BAC的外角，
∴ $∠ OAC = \frac{1}{2}(180° - ∠ BAC)$
∴ $∠ OAB = ∠ BAC + ∠ OAC = 90° + \frac{1}{2}∠ BAC$
∵ $∠ ABO = \frac{1}{2}∠ ABC$，
∴ $∠ AOB = 180° - ∠ OAB - ∠ ABO$
$= 180° - (90° + \frac{1}{2}∠ BAC) - \frac{1}{2}∠ ABC$
$= 90° - \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ABC)$
∵ $∠ ACO=α$，CO平分∠ACD，∴ $∠ ACD=2α$
又∵ $∠ ACD = ∠ ABC + ∠ BAC$，
∴ $∠ BAC + ∠ ABC = 2α$，
代入得$∠ AOB = 90° - α$，故④正确。
综上，正确结论为 $\boldsymbol{①③④}$。

9. 如图，在$△ ABC$中，$AB＞AC$，$AD$是$∠ BAC$的平分线，$AM$是$BC$边上的中线，用反证法说明点$M$与点$D$不重合。

证明：
假设点M与点D重合。
延长AM（即AD）至点E，使ME=AM，连接BE。
∵ AM是BC边上的中线，点M与点D重合，
∴ BM=CM。
在△BEM和△CAM中，
$\{\begin{array}{l}ME=MA \\∠BME=∠CMA \\BM=CM\end{array} $
∴ △BEM ≌ △CAM（SAS），
∴ BE=AC，∠E=∠CAM。
∵ AD是∠BAC的平分线，点M与点D重合，
∴ ∠BAM=∠CAM，
∴ ∠E=∠BAM，
∴ AB=BE，
∴ AB=AC。
这与已知条件AB＞AC矛盾，
∴ 假设不成立，即点M与点D不重合。

10.已知:如图,在△ABC中,∠ABC的平分线交AC于点D,E是边AB上一点,连接DE。已知∠A=60°,∠C=40°,∠BDE=40°。求证:DE//BC。

证明：
在△ABC中，
∵ ∠A=60°，∠C=40°，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴ ∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-60°-40°=80°。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×80° = 40°。
又∵ ∠BDE=40°，
∴ ∠BDE = ∠DBC。
∴ DE//BC（内错角相等，两直线平行）。

11. 如图，两条交叉马路OM，ON中间区域建有A，B两个温室花房。现要在两条马路OM，ON之间的空场上建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路OM，ON的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等。如图，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）。

解：
点P是∠MON的角平分线与线段AB的垂直平分线在∠MON内部的交点，保留尺规作角平分线、线段垂直平分线的全部圆弧作图痕迹，标注交点为P，点P即为所求。