12. 如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合（如图2）。
（1）在图1中画出折痕所在的直线DE。直线DE分别与AB，AC相交于点D，E，连接CD。（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，证明：△BDC是等腰三角形。

(1) 作图：分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，该直线交AB于点D，交AC于点E，连接CD，保留尺规作图痕迹，直线DE即为所求折痕。
(2) 证明：
由折叠的性质可知，DE垂直平分线段AC，
∴ $AD = CD$，
∴ $∠ A = ∠ ACD$。
∵ $∠ ACB = 90°$，
∴ $∠ A + ∠ B = 90°$，$∠ ACD + ∠ BCD = 90°$，
∴ $∠ B = ∠ BCD$，
∴ $BD = CD$，
∴ $△ BDC$是等腰三角形。

13. 如图，AD为$△ ABC$的角平分线，$DE⊥ AB$于点$E$，$DF⊥ AC$于点$F$，连接$EF$交$AD$于点$G$。
(1)求证：$AD$垂直平分$EF$。
(2)若$∠ BAC=60°$，猜测$DG$与$AG$间有何数量关系，并说明理由。

(1) 证明：
∵ AD为△ABC的角平分线，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
∴ $DE=DF$，$∠ AED=∠ AFD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$和$\mathrm{Rt}△ AFD$中：
$\begin{cases}AD=AD \\DE=DF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AED ≌ \mathrm{Rt}△ AFD\ (\mathrm{HL})$，
∴ $AE=AF$。
又∵ AD平分$∠ BAC$，
∴ AD垂直平分EF（等腰三角形三线合一）。
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(2) 解：
猜测$AG=3DG$（或$DG=\frac{1}{3}AG$），理由如下：
∵ $∠ BAC=60°$，AD平分$∠ BAC$，
∴ $∠ EAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$。
∵ $DE⊥ AB$，$∠ AED=90°$，
∴ $DE=\frac{1}{2}AD$，$∠ ADE=90°-30°=60°$。
由(1)知$AD⊥ EF$，即$∠ DGE=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ DEG$中，$∠ DEG=90°-∠ ADE=30°$，
∴ $DG=\frac{1}{2}DE$，
代入$DE=\frac{1}{2}AD$得：$DG=\frac{1}{4}AD$，即$AD=4DG$。
又∵ $AD=AG+DG$，
∴ $AG=AD-DG=4DG-DG=3DG$。

14. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°$。
(1)利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法):
①作$∠ B$的平分线$BD$,交$AC$于点$D$；
②过点$D$作$DE⊥ AB$,垂足为点$E$。
(2)试猜想线段$DE$与$CD$之间的数量关系,并说明理由。

解：(1) 按尺规作图要求完成作图，保留对应作图痕迹，作出∠B的平分线BD交AC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，标注对应字母即可。
(2) 猜想：$DE = CD$，理由如下：
∵ $BD$ 平分 $∠ ABC$，$∠ C=90°$，即 $DC⊥ BC$，
又∵ $DE⊥ AB$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ $DE = CD$。