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一、单选题
1. 对于下面两个自左向右的变形,说法正确的是(
甲:$6x^2y=2x · 3xy$;乙:$a+1=a(1+\dfrac{1}{a})$.
A.甲、乙均为因式分解
B.甲、乙均不是因式分解
C.甲是因式分解,乙是整式乘法
D.甲是整式乘法,乙是因式分解
1. 对于下面两个自左向右的变形,说法正确的是(
B
)甲:$6x^2y=2x · 3xy$;乙:$a+1=a(1+\dfrac{1}{a})$.
A.甲、乙均为因式分解
B.甲、乙均不是因式分解
C.甲是因式分解,乙是整式乘法
D.甲是整式乘法,乙是因式分解
答案
1.B
解析
【分析】
解题的核心是紧扣因式分解的定义，首先明确因式分解的两个判定标准：①变形的对象必须是多项式；②变形的结果必须是几个整式的乘积的形式，两个条件同时满足才属于因式分解。接下来分别分析两个变形：首先判断甲，左边的$6x^2y$是单项式，不是多项式，不符合因式分解的对象要求；再判断乙，右边的式子含有$\frac{1}{a}$，属于分式，不是整式，不符合结果为整式乘积的要求，因此两个变形都不是因式分解，对应正确选项。
【解析】
因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，需同时满足两个要求：①分解对象为多项式；②分解结果是整式的乘积。
1. 分析甲变形：左边$6x^2y$是单项式，不属于多项式，不满足因式分解的对象要求，因此甲不是因式分解。
2. 分析乙变形：右边$a(1+\frac{1}{a})$中$\frac{1}{a}$是分式，不属于整式，且当$a=0$时该式无意义，不满足因式分解的结果要求，因此乙也不是因式分解。
综上，甲、乙均不是因式分解。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义；整式的识别
【点评】
本题是因式分解定义的基础考查题，解题的关键是牢记因式分解的两个核心判定条件，避免忽略“分解对象是多项式”“结果为整式乘积”的要求，凭直觉判断出错。
【难度系数】
0.7
解题的核心是紧扣因式分解的定义，首先明确因式分解的两个判定标准：①变形的对象必须是多项式；②变形的结果必须是几个整式的乘积的形式，两个条件同时满足才属于因式分解。接下来分别分析两个变形：首先判断甲，左边的$6x^2y$是单项式，不是多项式，不符合因式分解的对象要求；再判断乙，右边的式子含有$\frac{1}{a}$，属于分式，不是整式，不符合结果为整式乘积的要求，因此两个变形都不是因式分解，对应正确选项。
【解析】
因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，需同时满足两个要求：①分解对象为多项式；②分解结果是整式的乘积。
1. 分析甲变形：左边$6x^2y$是单项式，不属于多项式，不满足因式分解的对象要求，因此甲不是因式分解。
2. 分析乙变形：右边$a(1+\frac{1}{a})$中$\frac{1}{a}$是分式，不属于整式，且当$a=0$时该式无意义，不满足因式分解的结果要求，因此乙也不是因式分解。
综上，甲、乙均不是因式分解。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义；整式的识别
【点评】
本题是因式分解定义的基础考查题，解题的关键是牢记因式分解的两个核心判定条件，避免忽略“分解对象是多项式”“结果为整式乘积”的要求，凭直觉判断出错。
【难度系数】
0.7
2. 将多项式$4xy^2z - 8x^2y^2z - 6xyz^2$分解因式时，应提取的公因式是（
A.$xyz^2$
B.$8xy$
C.$2xyz$
D.$24x^2y^2z^2$
C
）A.$xyz^2$
B.$8xy$
C.$2xyz$
D.$24x^2y^2z^2$
答案
2.C
解析
【分析】
要确定多项式分解因式时提取的公因式，需按照找公因式的固定步骤思考：第一步先找各项系数绝对值的最大公约数，作为公因式的系数；第二步找出所有项都共同含有的字母；第三步对每个共同字母取它在各项里的最低次幂，最后把系数和各字母的幂相乘就得到公因式。
【解析】
首先分析多项式$4xy^2z - 8x^2y^2z - 6xyz^2$的三项：
1. 系数部分：三项系数的绝对值分别为4、8、6，它们的最大公约数是2；
2. 相同字母部分：三项都含有的字母是x、y、z；
3. 字母的最低次幂：x的次数分别为1、2、1，最低次是1次；y的次数分别为2、2、1，最低次是1次；z的次数分别为1、1、2，最低次是1次。
综上，公因式为$2× x× y× z=2xyz$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 公因式的确定
2. 提公因式法分解因式
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的基础知识点，核心是掌握公因式的确定规则，属于基础题型，熟练掌握找公因式的三步法就能快速解题。
【难度系数】
0.9
要确定多项式分解因式时提取的公因式，需按照找公因式的固定步骤思考：第一步先找各项系数绝对值的最大公约数，作为公因式的系数；第二步找出所有项都共同含有的字母；第三步对每个共同字母取它在各项里的最低次幂，最后把系数和各字母的幂相乘就得到公因式。
【解析】
首先分析多项式$4xy^2z - 8x^2y^2z - 6xyz^2$的三项：
1. 系数部分：三项系数的绝对值分别为4、8、6，它们的最大公约数是2；
2. 相同字母部分：三项都含有的字母是x、y、z；
3. 字母的最低次幂：x的次数分别为1、2、1，最低次是1次；y的次数分别为2、2、1，最低次是1次；z的次数分别为1、1、2，最低次是1次。
综上，公因式为$2× x× y× z=2xyz$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 公因式的确定
2. 提公因式法分解因式
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的基础知识点，核心是掌握公因式的确定规则，属于基础题型，熟练掌握找公因式的三步法就能快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 如图,甲、乙两位同学将$-x^2+x$因式分解,下列判断正确的是(
A.甲、乙的结果都正确
B.甲、乙的结果都不正确
C.只有甲的结果正确
D.只有乙的结果正确
A
)A.甲、乙的结果都正确
B.甲、乙的结果都不正确
C.只有甲的结果正确
D.只有乙的结果正确
答案
3.A
解析
【分析】
要判断甲乙两位同学的因式分解结果是否正确，需依据因式分解是恒等变形的特点，既可以直接对原式用提公因式法分解，看是否能得到两人的结果，也可以将两人的结果展开，验证是否和原式相等。
【解析】
我们分别对两位同学的结果进行验证，同时对原式分解：
1. 验证甲的结果：将$-x(x-1)$展开，得$-x· x + (-x)×(-1) = -x^2 +x$，和原式完全相等，故甲的结果正确。
2. 验证乙的结果：将$x(1-x)$展开，得$x×1 - x· x = x -x^2 = -x^2 +x$，和原式完全相等，故乙的结果正确。
也可以直接分解原式：
若提取公因式$-x$，可得原式$=-x(x-1)$，和甲的结果一致；若提取公因式$x$，可得原式$=x(1-x)$，和乙的结果一致。因此两人的结果都正确。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解，因式分解的恒等性
【点评】
本题是因式分解的基础题，需注意提公因式时可以根据需要选择提取正公因式或者负公因式，两种形式均是正确的，只要变形前后式子的值保持不变即可。
【难度系数】
0.85
要判断甲乙两位同学的因式分解结果是否正确，需依据因式分解是恒等变形的特点，既可以直接对原式用提公因式法分解，看是否能得到两人的结果，也可以将两人的结果展开，验证是否和原式相等。
【解析】
我们分别对两位同学的结果进行验证，同时对原式分解：
1. 验证甲的结果：将$-x(x-1)$展开，得$-x· x + (-x)×(-1) = -x^2 +x$，和原式完全相等，故甲的结果正确。
2. 验证乙的结果：将$x(1-x)$展开，得$x×1 - x· x = x -x^2 = -x^2 +x$，和原式完全相等，故乙的结果正确。
也可以直接分解原式：
若提取公因式$-x$，可得原式$=-x(x-1)$，和甲的结果一致；若提取公因式$x$，可得原式$=x(1-x)$，和乙的结果一致。因此两人的结果都正确。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解，因式分解的恒等性
【点评】
本题是因式分解的基础题，需注意提公因式时可以根据需要选择提取正公因式或者负公因式，两种形式均是正确的，只要变形前后式子的值保持不变即可。
【难度系数】
0.85
4. 若$x^2+(k-2)x+9$能用完全平方公式分解因式，则$k$的值为(
A.6
B.-4或8
C.-6或6
D.0
B
)A.6
B.-4或8
C.-6或6
D.0
答案
4.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确能用完全平方公式分解因式的多项式是完全平方式，完全平方式有两种形式：$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$。观察给定的多项式$x^2+(k-2)x+9$，其中$x^2$对应完全平方式里的$a^2$，$9=3^2$对应$b^2$，因此中间项$(k-2)x$应该对应$\pm2ab$，也就是$\pm 2× x×3$，由此可得中间项系数的等量关系，解方程就能求出$k$的值，注意要考虑两种完全平方式的情况，不要漏解。
【解析】
解：
∵$x^2+(k-2)x+9$能用完全平方公式分解因式，
∴该多项式是完全平方式。
对比完全平方式$a^2\pm2ab+b^2$，可得$a=x$，$b=3$，因此中间项系数满足：
$k-2=\pm2×1×3=\pm6$
当$k-2=6$时，解得$k=8$；
当$k-2=-6$时，解得$k=-4$。
综上，$k$的值为-4或8，故选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，因式分解
【点评】
本题核心考查完全平方公式的应用，易错点是容易只考虑和的平方这一种情况，忽略差的平方的情况导致漏解，解题时要牢记完全平方式有两种结构，全面分析问题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确能用完全平方公式分解因式的多项式是完全平方式，完全平方式有两种形式：$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$。观察给定的多项式$x^2+(k-2)x+9$，其中$x^2$对应完全平方式里的$a^2$，$9=3^2$对应$b^2$，因此中间项$(k-2)x$应该对应$\pm2ab$，也就是$\pm 2× x×3$，由此可得中间项系数的等量关系，解方程就能求出$k$的值，注意要考虑两种完全平方式的情况，不要漏解。
【解析】
解：
∵$x^2+(k-2)x+9$能用完全平方公式分解因式，
∴该多项式是完全平方式。
对比完全平方式$a^2\pm2ab+b^2$，可得$a=x$，$b=3$，因此中间项系数满足：
$k-2=\pm2×1×3=\pm6$
当$k-2=6$时，解得$k=8$；
当$k-2=-6$时，解得$k=-4$。
综上，$k$的值为-4或8，故选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，因式分解
【点评】
本题核心考查完全平方公式的应用，易错点是容易只考虑和的平方这一种情况，忽略差的平方的情况导致漏解，解题时要牢记完全平方式有两种结构，全面分析问题。
【难度系数】
0.7
5. 若 $2025^{2025} - 2025^{2023} = 2026 × 2025^n × 2024$，则 $n$ 的值是（
A.2026
B.2025
C.2024
D.2023
D
）A.2026
B.2025
C.2024
D.2023
答案
5.D
解析
【分析】
解题时先观察等式左边的结构，是两个同底数幂相减，首先考虑用提公因式法因式分解，提取次数较低的公因式$2025^{2023}$，再对剩余部分用平方差公式分解，最后将变形后的左边和等式右边对比，即可求出$n$的值。
【解析】
第一步：对等式左边提取公因式$2025^{2023}$：
$\begin{aligned}2025^{2025} - 2025^{2023}&=2025^{2023}× 2025^2 - 2025^{2023}×1\\&=2025^{2023}×(2025^2 - 1)\end{aligned}$
第二步：利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$分解$2025^2 -1$：
$2025^2 -1=(2025-1)(2025+1)=2024×2026$
第三步：将分解结果代入左边，得到：
$2025^{2025} - 2025^{2023}=2025^{2023}×2024×2026$
第四步：和等式右边$2026×2025^n×2024$对比，各项对应相等，因此$n=2023$。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的运算、提公因式法因式分解、平方差公式
【点评】
本题是幂运算与因式分解的综合基础题，解题核心是熟练掌握提公因式的方法和平方差公式的应用，通过对等号左边的合理变形即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先观察等式左边的结构，是两个同底数幂相减，首先考虑用提公因式法因式分解，提取次数较低的公因式$2025^{2023}$，再对剩余部分用平方差公式分解，最后将变形后的左边和等式右边对比，即可求出$n$的值。
【解析】
第一步：对等式左边提取公因式$2025^{2023}$：
$\begin{aligned}2025^{2025} - 2025^{2023}&=2025^{2023}× 2025^2 - 2025^{2023}×1\\&=2025^{2023}×(2025^2 - 1)\end{aligned}$
第二步：利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$分解$2025^2 -1$：
$2025^2 -1=(2025-1)(2025+1)=2024×2026$
第三步：将分解结果代入左边，得到：
$2025^{2025} - 2025^{2023}=2025^{2023}×2024×2026$
第四步：和等式右边$2026×2025^n×2024$对比，各项对应相等，因此$n=2023$。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的运算、提公因式法因式分解、平方差公式
【点评】
本题是幂运算与因式分解的综合基础题，解题核心是熟练掌握提公因式的方法和平方差公式的应用，通过对等号左边的合理变形即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 已知$a,b,c$为$△ ABC$的三边长，且满足$a^2c^2 - b^2c^2 = a^4 - b^4$，则$△ ABC$的形状是（
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
C
）A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
答案
6.C
解析
【分析】
要判断三角形的形状，需从给出的边长等式入手，首先通过移项、因式分解对等式进行变形，注意不能直接在等式两边除以可能为0的整式，因此分解后分情况讨论因式为0的情况，即可对应得到三角形的形状。
【解析】
对已知等式移项得：
$a^2c^2 - b^2c^2 - a^4 + b^4 = 0$
提取公因式、利用平方差公式分解因式：
$c^2(a^2 - b^2) - (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = 0$
再次提取公因式$(a^2 - b^2)$得：
$(a^2 - b^2)(c^2 - a^2 - b^2) = 0$
继续用平方差公式分解$a^2 - b^2$：
$(a - b)(a + b)(c^2 - a^2 - b^2) = 0$
∵a、b为三角形的边长，
∴$a + b ＞ 0$，
∴有两种情况：
① $a - b = 0$，即$a = b$，此时△ABC为等腰三角形；
② $c^2 - a^2 - b^2 = 0$，即$c^2 = a^2 + b^2$，根据勾股定理逆定理，此时△ABC为直角三角形。
因此△ABC是等腰三角形或直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
因式分解，平方差公式，勾股定理逆定理
【点评】
本题的易错点是直接在等式两边除以$(a^2 - b^2)$，忽略$a = b$的情况从而漏解，解题时要注意等式变形时除数不能为0，需分情况讨论所有可能的情况。
【难度系数】
0.7
要判断三角形的形状，需从给出的边长等式入手，首先通过移项、因式分解对等式进行变形，注意不能直接在等式两边除以可能为0的整式，因此分解后分情况讨论因式为0的情况，即可对应得到三角形的形状。
【解析】
对已知等式移项得：
$a^2c^2 - b^2c^2 - a^4 + b^4 = 0$
提取公因式、利用平方差公式分解因式：
$c^2(a^2 - b^2) - (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = 0$
再次提取公因式$(a^2 - b^2)$得：
$(a^2 - b^2)(c^2 - a^2 - b^2) = 0$
继续用平方差公式分解$a^2 - b^2$：
$(a - b)(a + b)(c^2 - a^2 - b^2) = 0$
∵a、b为三角形的边长，
∴$a + b ＞ 0$，
∴有两种情况：
① $a - b = 0$，即$a = b$，此时△ABC为等腰三角形；
② $c^2 - a^2 - b^2 = 0$，即$c^2 = a^2 + b^2$，根据勾股定理逆定理，此时△ABC为直角三角形。
因此△ABC是等腰三角形或直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
因式分解，平方差公式，勾股定理逆定理
【点评】
本题的易错点是直接在等式两边除以$(a^2 - b^2)$，忽略$a = b$的情况从而漏解，解题时要注意等式变形时除数不能为0，需分情况讨论所有可能的情况。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 因式分解：$x^2 -6x +9 =$
1. 因式分解：$x^2 -6x +9 =$
$(x-3)^2$
.答案
1.$(x-3)^2$
解析
【分析】
要对多项式进行因式分解，首先观察多项式的结构：该式是三项式，首项为$x^2$（可看作$x$的平方），末项为$9$（可看作$3$的平方），中间项$-6x$恰好是$-2$与$x$、$3$的乘积，完全符合完全平方差公式的结构特征，因此可以套用完全平方差公式完成因式分解。
【解析】
我们知道完全平方差公式为：$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
在多项式$x^2 -6x +9$中，$a=x$，$b=3$，代入公式可得：
$x^2 -6x +9 = x^2 - 2· x· 3 + 3^2 = (x-3)^2$
【答案】
$(x-3)^2$
【知识点】
因式分解；完全平方公式
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的识别与应用，熟练掌握常见乘法公式的形式是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.9
要对多项式进行因式分解，首先观察多项式的结构：该式是三项式，首项为$x^2$（可看作$x$的平方），末项为$9$（可看作$3$的平方），中间项$-6x$恰好是$-2$与$x$、$3$的乘积，完全符合完全平方差公式的结构特征，因此可以套用完全平方差公式完成因式分解。
【解析】
我们知道完全平方差公式为：$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
在多项式$x^2 -6x +9$中，$a=x$，$b=3$，代入公式可得：
$x^2 -6x +9 = x^2 - 2· x· 3 + 3^2 = (x-3)^2$
【答案】
$(x-3)^2$
【知识点】
因式分解；完全平方公式
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的识别与应用，熟练掌握常见乘法公式的形式是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.9
2. 多项式$4x^2+1$加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是
$4x$
（填一个即可）。答案
2.$4x$（答案不唯一）
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构：$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$，公式包含三项：两个数的平方项，以及两个数乘积的2倍的交叉项。我们先将已知的多项式$4x^2+1$中的两项对应到公式中的平方项：$4x^2$是$(2x)^2$，$1$是$1^2$，接下来只需要补充对应交叉项即可，交叉项可正可负，此外还有其他符合要求的单项式，任选其一填写即可。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$
将已知的$4x^2+1$中的两项看作平方项，即$a=2x$，$b=1$，
则缺少的交叉项为$\pm 2ab=\pm 2×2x×1=\pm4x$，
若添加单项式$4x$，可得：$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$，满足“成为一个多项式的平方”的要求。
（此外添加$-4x$、$4x^4$等也符合要求，任选其一即可）
【答案】
$4x$（答案不唯一）
【知识点】
完全平方公式；整式的运算
【点评】
本题是开放性基础题，核心是掌握完全平方公式的结构特征，解题时要注意完全平方公式分和的平方、差的平方两种形式，避免漏解，按要求写出任意一个符合条件的答案即可。
【难度系数】
0.7
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构：$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$，公式包含三项：两个数的平方项，以及两个数乘积的2倍的交叉项。我们先将已知的多项式$4x^2+1$中的两项对应到公式中的平方项：$4x^2$是$(2x)^2$，$1$是$1^2$，接下来只需要补充对应交叉项即可，交叉项可正可负，此外还有其他符合要求的单项式，任选其一填写即可。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$
将已知的$4x^2+1$中的两项看作平方项，即$a=2x$，$b=1$，
则缺少的交叉项为$\pm 2ab=\pm 2×2x×1=\pm4x$，
若添加单项式$4x$，可得：$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$，满足“成为一个多项式的平方”的要求。
（此外添加$-4x$、$4x^4$等也符合要求，任选其一即可）
【答案】
$4x$（答案不唯一）
【知识点】
完全平方公式；整式的运算
【点评】
本题是开放性基础题，核心是掌握完全平方公式的结构特征，解题时要注意完全平方公式分和的平方、差的平方两种形式，避免漏解，按要求写出任意一个符合条件的答案即可。
【难度系数】
0.7
3. 已知$2m - n = 3$，那么$4m^2 - n^2 -6n +7$的值为
$16$
。答案
3.16
解析
【分析】
本题已知$2m-n$的取值，要求含$m、n$的代数式的值，解题时可先利用平方差公式对原式前两项因式分解，再将已知条件整体代入，通过整式化简把原式转化为仅含$2m-n$的式子，最后代入数值计算即可，无需单独求解$m、n$的具体值，可大幅简化计算过程。
【解析】
第一步，利用平方差公式对原式前两项因式分解：
$4m^2 - n^2 -6n +7=(2m-n)(2m+n)-6n+7$
第二步，将已知条件$2m-n=3$代入上式：
$=3(2m+n)-6n+7$
第三步，展开并合并同类项：
$=6m+3n-6n+7=6m-3n+7$
第四步，提取公因式3，构造出$2m-n$的结构：
$=3(2m-n)+7$
第五步，再次代入$2m-n=3$计算：
$=3×3 +7=9+7=16$
【答案】
16
【知识点】
平方差公式，代数式化简求值，整式运算
【点评】
本题核心是灵活运用因式分解对所求代数式变形，通过整体代入已知条件的方式简化计算，避免了分别求解$m、n$的复杂运算，考查了代数式变形能力和整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
本题已知$2m-n$的取值，要求含$m、n$的代数式的值，解题时可先利用平方差公式对原式前两项因式分解，再将已知条件整体代入，通过整式化简把原式转化为仅含$2m-n$的式子，最后代入数值计算即可，无需单独求解$m、n$的具体值，可大幅简化计算过程。
【解析】
第一步，利用平方差公式对原式前两项因式分解：
$4m^2 - n^2 -6n +7=(2m-n)(2m+n)-6n+7$
第二步，将已知条件$2m-n=3$代入上式：
$=3(2m+n)-6n+7$
第三步，展开并合并同类项：
$=6m+3n-6n+7=6m-3n+7$
第四步，提取公因式3，构造出$2m-n$的结构：
$=3(2m-n)+7$
第五步，再次代入$2m-n=3$计算：
$=3×3 +7=9+7=16$
【答案】
16
【知识点】
平方差公式，代数式化简求值，整式运算
【点评】
本题核心是灵活运用因式分解对所求代数式变形，通过整体代入已知条件的方式简化计算，避免了分别求解$m、n$的复杂运算，考查了代数式变形能力和整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
4. 已知甲、乙、丙均为含$x$的整式，且其一次项的系数皆为正整数. 若甲与乙相乘的积为$x^2 -4$，乙与丙相乘的积为$x^2 -2x$，则甲与丙相乘的积为
$x^2+2x$
.答案
4.$x^2+2x$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：第一步，先将已知的两个乘积（甲×乙和乙×丙的结果）进行因式分解，因为两个乘积都含有因式乙，分解后找到两个式子的公共整式，就能确定乙；第二步，用对应的乘积除以乙，分别求出甲和丙；第三步，将甲和丙相乘，计算得到最终结果，整个过程用到的都是我们已学的因式分解和整式乘除相关知识。
【解析】
1. 对已知的两个乘积因式分解：
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$x^2-4=(x+2)(x-2)$；
用提公因式法，可得$x^2-2x=x(x-2)$。
2. 确定整式乙：
已知甲、乙、丙均为含$x$的整式，且一次项系数为正整数，甲×乙的结果是$(x+2)(x-2)$，乙×丙的结果是$x(x-2)$，两个式子的公共因式为$x-2$，因此$乙=x-2$。
3. 分别求出甲和丙：
$甲=(x^2-4)÷ 乙=(x^2-4)÷(x-2)=x+2$；
$丙=(x^2-2x)÷ 乙=(x^2-2x)÷(x-2)=x$。
4. 计算甲与丙的乘积：
$甲×丙=(x+2)· x=x^2+2x$。
【答案】
$x^2+2x$
【知识点】
因式分解、平方差公式、整式乘除运算
【点评】
本题是整式运算的基础应用类题目，解题核心是通过因式分解找到三个整式中的公共项乙，进而求出其余两个整式再计算乘积，只要熟练掌握因式分解的常用方法和整式乘除规则，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：第一步，先将已知的两个乘积（甲×乙和乙×丙的结果）进行因式分解，因为两个乘积都含有因式乙，分解后找到两个式子的公共整式，就能确定乙；第二步，用对应的乘积除以乙，分别求出甲和丙；第三步，将甲和丙相乘，计算得到最终结果，整个过程用到的都是我们已学的因式分解和整式乘除相关知识。
【解析】
1. 对已知的两个乘积因式分解：
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$x^2-4=(x+2)(x-2)$；
用提公因式法，可得$x^2-2x=x(x-2)$。
2. 确定整式乙：
已知甲、乙、丙均为含$x$的整式，且一次项系数为正整数，甲×乙的结果是$(x+2)(x-2)$，乙×丙的结果是$x(x-2)$，两个式子的公共因式为$x-2$，因此$乙=x-2$。
3. 分别求出甲和丙：
$甲=(x^2-4)÷ 乙=(x^2-4)÷(x-2)=x+2$；
$丙=(x^2-2x)÷ 乙=(x^2-2x)÷(x-2)=x$。
4. 计算甲与丙的乘积：
$甲×丙=(x+2)· x=x^2+2x$。
【答案】
$x^2+2x$
【知识点】
因式分解、平方差公式、整式乘除运算
【点评】
本题是整式运算的基础应用类题目，解题核心是通过因式分解找到三个整式中的公共项乙，进而求出其余两个整式再计算乘积，只要熟练掌握因式分解的常用方法和整式乘除规则，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
