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5. 我国南宋数学家杨辉精研数学，著有《详解九章算法》，对数的运算进行了深入研究与总结. 类比其中的思想方法，可以解决很多数与式的计算问题. 现已知a，b为实数，且$a+b=3$，$ab=1$，计算可得$a^2+b^2=7$，$a^3+b^3=18$，$a^4+b^4=47$，…，由此求得$a^5+b^5=$
$123$
.答案
5.123
解析
【分析】
本题可通过整式乘法推导高次幂和与低次幂和的关系求解。首先利用多项式乘法展开$(a+b)(a^n+b^n)$，可得到$a^{n+1}+b^{n+1}$、$ab$和$a^{n-1}+b^{n-1}$的等量关系，已知$a+b$、$ab$的值，以及题干给出的$a^3+b^3$、$a^4+b^4$的结果，代入关系式即可求出$a^5+b^5$的值。
【解析】
根据多项式乘法法则可得：
$(a+b)(a^4 + b^4) = a· a^4 + a· b^4 + b· a^4 + b· b^4$
整理得：$(a+b)(a^4 + b^4) = (a^5 + b^5) + ab(a^3 + b^3)$
移项可得：$a^5 + b^5 = (a+b)(a^4 + b^4) - ab(a^3 + b^3)$
将已知条件$a+b=3$，$ab=1$，$a^3+b^3=18$，$a^4+b^4=47$代入上式：
$a^5 + b^5 = 3×47 - 1×18 = 141 - 18 = 123$
【答案】
123
【知识点】
1.整式乘法运算 2.代数式求值 3.规律探究
【点评】
本题结合我国古代数学研究成果设题，既渗透了数学文化，又考查了整式乘法的灵活运用能力，解题关键是推导得到高次幂和与低次幂和的递推关系，不需要复杂计算即可得出结果。
【难度系数】
0.7
本题可通过整式乘法推导高次幂和与低次幂和的关系求解。首先利用多项式乘法展开$(a+b)(a^n+b^n)$，可得到$a^{n+1}+b^{n+1}$、$ab$和$a^{n-1}+b^{n-1}$的等量关系，已知$a+b$、$ab$的值，以及题干给出的$a^3+b^3$、$a^4+b^4$的结果，代入关系式即可求出$a^5+b^5$的值。
【解析】
根据多项式乘法法则可得：
$(a+b)(a^4 + b^4) = a· a^4 + a· b^4 + b· a^4 + b· b^4$
整理得：$(a+b)(a^4 + b^4) = (a^5 + b^5) + ab(a^3 + b^3)$
移项可得：$a^5 + b^5 = (a+b)(a^4 + b^4) - ab(a^3 + b^3)$
将已知条件$a+b=3$，$ab=1$，$a^3+b^3=18$，$a^4+b^4=47$代入上式：
$a^5 + b^5 = 3×47 - 1×18 = 141 - 18 = 123$
【答案】
123
【知识点】
1.整式乘法运算 2.代数式求值 3.规律探究
【点评】
本题结合我国古代数学研究成果设题，既渗透了数学文化，又考查了整式乘法的灵活运用能力，解题关键是推导得到高次幂和与低次幂和的递推关系，不需要复杂计算即可得出结果。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 已知下列单项式:①$4m^2$;②$9b^2a$;③$6a^2b$;④$4n^2$;⑤$-4n^2$;⑥$-12ab$;⑦$-8mn$;⑧$a^3$.
请选取三个组成一个能够先用提公因式法,再用公式法分解因式的多项式,并将这个多项式分解因式.(写两个不同的式子)
1. 已知下列单项式:①$4m^2$;②$9b^2a$;③$6a^2b$;④$4n^2$;⑤$-4n^2$;⑥$-12ab$;⑦$-8mn$;⑧$a^3$.
请选取三个组成一个能够先用提公因式法,再用公式法分解因式的多项式,并将这个多项式分解因式.(写两个不同的式子)
答案
解：
示例1：选取单项式①④⑦，组成多项式$4m^2 -8mn +4n^2$
$\begin{aligned}4m^2 -8mn +4n^2&=4(m^2 -2mn +n^2)\\&=4(m-n)^2\end{aligned}$
示例2：选取单项式②③⑧，组成多项式$a^3 +6a^2b +9ab^2$
$\begin{aligned}a^3 +6a^2b +9ab^2&=a(a^2 +6ab +9b^2)\\&=a(a+3b)^2\end{aligned}$
（答案不唯一，符合要求即可）
示例1：选取单项式①④⑦，组成多项式$4m^2 -8mn +4n^2$
$\begin{aligned}4m^2 -8mn +4n^2&=4(m^2 -2mn +n^2)\\&=4(m-n)^2\end{aligned}$
示例2：选取单项式②③⑧，组成多项式$a^3 +6a^2b +9ab^2$
$\begin{aligned}a^3 +6a^2b +9ab^2&=a(a^2 +6ab +9b^2)\\&=a(a+3b)^2\end{aligned}$
（答案不唯一，符合要求即可）
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确题目要求：需选取3个单项式，组成的多项式要满足“先提公因式，再用公式法分解”的规则。由于要选3个单项式，优先考虑构造提公因式后符合完全平方公式的三项式，步骤为：1. 先观察给出的单项式，筛选出存在公共因式的三个单项式；2. 验证提取公因式后的剩余部分，判断是否符合完全平方公式“首平方、尾平方，积的2倍在中央”的结构，即两个平方项符号相同，中间项是两个平方项底数乘积的2倍，符合要求即可组成目标多项式进行分解。
【解析】
以下为两种符合要求的情况：
示例1：选取单项式①$4m^2$、④$4n^2$、⑦$-8mn$，组成多项式$4m^2 -8mn +4n^2$
分解过程：
$\begin{aligned}4m^2 -8mn +4n^2&=4(m^2 -2mn +n^2) \quad \mathrm{提取公因式4}\\&=4(m-n)^2 \quad \mathrm{利用完全平方公式分解}\end{aligned}$
示例2：选取单项式②$9b^2a$、③$6a^2b$、⑧$a^3$，组成多项式$a^3 +6a^2b +9ab^2$
分解过程：
$\begin{aligned}a^3 +6a^2b +9ab^2&=a(a^2 +6ab +9b^2) \quad \mathrm{提取公因式a}\\&=a(a+3b)^2 \quad \mathrm{利用完全平方公式分解}\end{aligned}$
（答案不唯一，符合要求即可）
【答案】
示例1：选取①④⑦，$4m^2 -8mn +4n^2=4(m-n)^2$
示例2：选取②③⑧，$a^3 +6a^2b +9ab^2=a(a+3b)^2$
（答案不唯一，符合要求即可）
【知识点】
提公因式法因式分解、公式法因式分解、完全平方公式
【点评】
本题属于开放性试题，考查因式分解的基本步骤和完全平方公式的结构特征，需要灵活运用所学知识构造符合要求的多项式，能有效检验对因式分解方法的综合掌握能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先明确题目要求：需选取3个单项式，组成的多项式要满足“先提公因式，再用公式法分解”的规则。由于要选3个单项式，优先考虑构造提公因式后符合完全平方公式的三项式，步骤为：1. 先观察给出的单项式，筛选出存在公共因式的三个单项式；2. 验证提取公因式后的剩余部分，判断是否符合完全平方公式“首平方、尾平方，积的2倍在中央”的结构，即两个平方项符号相同，中间项是两个平方项底数乘积的2倍，符合要求即可组成目标多项式进行分解。
【解析】
以下为两种符合要求的情况：
示例1：选取单项式①$4m^2$、④$4n^2$、⑦$-8mn$，组成多项式$4m^2 -8mn +4n^2$
分解过程：
$\begin{aligned}4m^2 -8mn +4n^2&=4(m^2 -2mn +n^2) \quad \mathrm{提取公因式4}\\&=4(m-n)^2 \quad \mathrm{利用完全平方公式分解}\end{aligned}$
示例2：选取单项式②$9b^2a$、③$6a^2b$、⑧$a^3$，组成多项式$a^3 +6a^2b +9ab^2$
分解过程：
$\begin{aligned}a^3 +6a^2b +9ab^2&=a(a^2 +6ab +9b^2) \quad \mathrm{提取公因式a}\\&=a(a+3b)^2 \quad \mathrm{利用完全平方公式分解}\end{aligned}$
（答案不唯一，符合要求即可）
【答案】
示例1：选取①④⑦，$4m^2 -8mn +4n^2=4(m-n)^2$
示例2：选取②③⑧，$a^3 +6a^2b +9ab^2=a(a+3b)^2$
（答案不唯一，符合要求即可）
【知识点】
提公因式法因式分解、公式法因式分解、完全平方公式
【点评】
本题属于开放性试题，考查因式分解的基本步骤和完全平方公式的结构特征，需要灵活运用所学知识构造符合要求的多项式，能有效检验对因式分解方法的综合掌握能力。
【难度系数】
0.7
2. 观察下列一组算式：$5^2 - 3^2 = 8×2$；$9^2 -7^2 =8×4$；$15^2 -3^2=8×27$；$11^2 -5^2=8×12$；$15^2 -7^2=8×22$；…
(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式.
(2)用文字描述上述规律.
(3)试说明这个规律的正确性.
(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式.
(2)用文字描述上述规律.
(3)试说明这个规律的正确性.
答案
解：
(1) 两个符合规律的算式如下：
$7^2 - 5^2 = 8×3$，$13^2 - 9^2 = 8×10$
(2) 规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数。
(3) 证明：设两个不同的奇数分别为$2m+1$和$2n+1$（$m,n$为整数，且$m≠ n$），
对两数的平方差用平方差公式展开分解：
$\begin{aligned}(2m+1)^2 - (2n+1)^2&=[(2m+1)-(2n+1)][(2m+1)+(2n+1)]\\&=(2m-2n)(2m+2n+2)\\&=4(m-n)(m+n+1)\end{aligned}$
因为$m,n$是整数：
若$m-n$为偶数，则$(m-n)(m+n+1)$是2的倍数；
若$m-n$为奇数，则$m+n$为奇数，$m+n+1$为偶数，此时$(m-n)(m+n+1)$仍为2的倍数。
因此$(m-n)(m+n+1)$一定是2的倍数，$4(m-n)(m+n+1)$必为8的倍数，即两个奇数的平方差一定可以写成8乘以某个整数的形式，上述规律成立。
(1) 两个符合规律的算式如下：
$7^2 - 5^2 = 8×3$，$13^2 - 9^2 = 8×10$
(2) 规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数。
(3) 证明：设两个不同的奇数分别为$2m+1$和$2n+1$（$m,n$为整数，且$m≠ n$），
对两数的平方差用平方差公式展开分解：
$\begin{aligned}(2m+1)^2 - (2n+1)^2&=[(2m+1)-(2n+1)][(2m+1)+(2n+1)]\\&=(2m-2n)(2m+2n+2)\\&=4(m-n)(m+n+1)\end{aligned}$
因为$m,n$是整数：
若$m-n$为偶数，则$(m-n)(m+n+1)$是2的倍数；
若$m-n$为奇数，则$m+n$为奇数，$m+n+1$为偶数，此时$(m-n)(m+n+1)$仍为2的倍数。
因此$(m-n)(m+n+1)$一定是2的倍数，$4(m-n)(m+n+1)$必为8的倍数，即两个奇数的平方差一定可以写成8乘以某个整数的形式，上述规律成立。
解析
【分析】
1. 第(1)问思路：先观察已知算式的共性，等号左侧均为两个奇数的平方差，右侧均为8与整数的乘积，只需选取两个题干未出现过的奇数，计算其平方差并验证为8的整数倍，即可写出符合要求的算式。
2. 第(2)问思路：提炼所有算式的共同特征，将“两个奇数的平方差”“8的倍数”两个核心要素用通顺的文字表述，即可得到规律。
3. 第(3)问思路：先以带整数参数的代数式表示任意两个不同的奇数，再用平方差公式展开两数的平方差并化简，最后通过分析整数的奇偶性，证明化简后的式子一定是8的倍数，即可验证规律成立。
【解析】
(1) 选取奇数7和5计算：$7^2 - 5^2 = 49-25=24=8×3$；再选取奇数13和9计算：$13^2 - 9^2=169-81=88=8×10$，两个算式均符合规律（答案不唯一）。
(2) 观察算式特征可总结规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数。
(3) 证明：设两个不同的奇数分别为$2m+1$和$2n+1$（$m,n$为整数，且$m≠n$），利用平方差公式展开平方差：
$\begin{aligned}(2m+1)^2 - (2n+1)^2&=[(2m+1)-(2n+1)][(2m+1)+(2n+1)]\\&=(2m-2n)(2m+2n+2)\\&=4(m-n)(m+n+1)\end{aligned}$
分析乘积的奇偶性：
若$m-n$为偶数，则$(m-n)(m+n+1)$是2的倍数；
若$m-n$为奇数，由$m+n=(m-n)+2n$，2n为偶数，奇数加偶数为奇数，可得$m+n$为奇数，$m+n+1$为偶数，此时$(m-n)(m+n+1)$仍是2的倍数。
因此$(m-n)(m+n+1)$一定是2的倍数，$4(m-n)(m+n+1)$必为8的倍数，即两个奇数的平方差是8的倍数，规律成立。
【答案】
(1) $7^2 - 5^2 = 8×3$，$13^2 - 9^2 = 8×10$（答案不唯一）
(2) 任意两个奇数的平方差是8的倍数。
(3) 证明如上，规律成立。
【知识点】
1. 平方差公式
2. 奇数的性质
3. 整式化简
【点评】
本题属于规律探究类题型，兼顾了对观察归纳能力和代数运算能力的考察，需要学生在掌握平方差公式、整数奇偶性的基础上，完成从特殊到一般的规律推导和验证。
【难度系数】
0.65
1. 第(1)问思路：先观察已知算式的共性，等号左侧均为两个奇数的平方差，右侧均为8与整数的乘积，只需选取两个题干未出现过的奇数，计算其平方差并验证为8的整数倍，即可写出符合要求的算式。
2. 第(2)问思路：提炼所有算式的共同特征，将“两个奇数的平方差”“8的倍数”两个核心要素用通顺的文字表述，即可得到规律。
3. 第(3)问思路：先以带整数参数的代数式表示任意两个不同的奇数，再用平方差公式展开两数的平方差并化简，最后通过分析整数的奇偶性，证明化简后的式子一定是8的倍数，即可验证规律成立。
【解析】
(1) 选取奇数7和5计算：$7^2 - 5^2 = 49-25=24=8×3$；再选取奇数13和9计算：$13^2 - 9^2=169-81=88=8×10$，两个算式均符合规律（答案不唯一）。
(2) 观察算式特征可总结规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数。
(3) 证明：设两个不同的奇数分别为$2m+1$和$2n+1$（$m,n$为整数，且$m≠n$），利用平方差公式展开平方差：
$\begin{aligned}(2m+1)^2 - (2n+1)^2&=[(2m+1)-(2n+1)][(2m+1)+(2n+1)]\\&=(2m-2n)(2m+2n+2)\\&=4(m-n)(m+n+1)\end{aligned}$
分析乘积的奇偶性：
若$m-n$为偶数，则$(m-n)(m+n+1)$是2的倍数；
若$m-n$为奇数，由$m+n=(m-n)+2n$，2n为偶数，奇数加偶数为奇数，可得$m+n$为奇数，$m+n+1$为偶数，此时$(m-n)(m+n+1)$仍是2的倍数。
因此$(m-n)(m+n+1)$一定是2的倍数，$4(m-n)(m+n+1)$必为8的倍数，即两个奇数的平方差是8的倍数，规律成立。
【答案】
(1) $7^2 - 5^2 = 8×3$，$13^2 - 9^2 = 8×10$（答案不唯一）
(2) 任意两个奇数的平方差是8的倍数。
(3) 证明如上，规律成立。
【知识点】
1. 平方差公式
2. 奇数的性质
3. 整式化简
【点评】
本题属于规律探究类题型，兼顾了对观察归纳能力和代数运算能力的考察，需要学生在掌握平方差公式、整数奇偶性的基础上，完成从特殊到一般的规律推导和验证。
【难度系数】
0.65
3. 在对某二次三项式进行因式分解时,甲同学因看错了一次项系数而将其分解为$2(x-1)(x-9)$,乙同学因看错了常数项而将其分解为$2(x-2)(x-4)$.
(1)求出正确的一次项系数和常数项.
(2)写出原多项式,并将此二次三项式分解因式.
(1)求出正确的一次项系数和常数项.
(2)写出原多项式,并将此二次三项式分解因式.
答案
解：
(1) 展开甲同学分解的式子：
$2(x-1)(x-9)=2(x^2-10x+9)=2x^2-20x+18$
∵甲同学仅看错一次项系数，
∴原二次三项式的二次项系数为2，常数项为18。
展开乙同学分解的式子：
$2(x-2)(x-4)=2(x^2-6x+8)=2x^2-12x+16$
∵乙同学仅看错常数项，
∴原二次三项式的二次项系数为2，一次项系数为-12。
即正确的一次项系数为$-12$，常数项为$18$。
(2) 原二次三项式为$2x^2-12x+18$，
因式分解：
$2x^2-12x+18=2(x^2-6x+9)=2(x-3)^2$
(1) 展开甲同学分解的式子：
$2(x-1)(x-9)=2(x^2-10x+9)=2x^2-20x+18$
∵甲同学仅看错一次项系数，
∴原二次三项式的二次项系数为2，常数项为18。
展开乙同学分解的式子：
$2(x-2)(x-4)=2(x^2-6x+8)=2x^2-12x+16$
∵乙同学仅看错常数项，
∴原二次三项式的二次项系数为2，一次项系数为-12。
即正确的一次项系数为$-12$，常数项为$18$。
(2) 原二次三项式为$2x^2-12x+18$，
因式分解：
$2x^2-12x+18=2(x^2-6x+9)=2(x-3)^2$
解析
【分析】
因式分解与整式乘法是互逆运算，甲同学仅看错一次项系数，说明他的分解结果展开后二次项系数、常数项均正确；乙同学仅看错常数项，说明他的分解结果展开后二次项系数、一次项系数均正确。因此先分别展开两人的分解式，提取对应正确的系数，即可得到原多项式的各项系数，再对原多项式因式分解即可。
【解析】
(1) 展开甲同学分解的式子：
$2(x-1)(x-9)=2(x^2-10x+9)=2x^2-20x+18$
∵甲同学仅看错一次项系数，
∴原二次三项式的二次项系数为2，常数项为18。
展开乙同学分解的式子：
$2(x-2)(x-4)=2(x^2-6x+8)=2x^2-12x+16$
∵乙同学仅看错常数项，
∴原二次三项式的二次项系数为2，一次项系数为-12。
即正确的一次项系数为$-12$，常数项为$18$。
(2) 原二次三项式为$2x^2-12x+18$，
因式分解：
$2x^2-12x+18=2(x^2-6x+9)=2(x-3)^2$
【答案】
(1) 一次项系数为$\boldsymbol{-12}$，常数项为$\boldsymbol{18}$；
(2) 原多项式为$\boldsymbol{2x^2-12x+18}$，因式分解结果为$\boldsymbol{2(x-3)^2}$。
【知识点】
整式乘法运算，因式分解，完全平方公式
【点评】
本题核心考查因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是明确看错某一项时仅该项错误，其余项系数均正确，能够锻炼学生的逆推思维和运算能力。
【难度系数】
0.7
因式分解与整式乘法是互逆运算，甲同学仅看错一次项系数，说明他的分解结果展开后二次项系数、常数项均正确；乙同学仅看错常数项，说明他的分解结果展开后二次项系数、一次项系数均正确。因此先分别展开两人的分解式，提取对应正确的系数，即可得到原多项式的各项系数，再对原多项式因式分解即可。
【解析】
(1) 展开甲同学分解的式子：
$2(x-1)(x-9)=2(x^2-10x+9)=2x^2-20x+18$
∵甲同学仅看错一次项系数，
∴原二次三项式的二次项系数为2，常数项为18。
展开乙同学分解的式子：
$2(x-2)(x-4)=2(x^2-6x+8)=2x^2-12x+16$
∵乙同学仅看错常数项，
∴原二次三项式的二次项系数为2，一次项系数为-12。
即正确的一次项系数为$-12$，常数项为$18$。
(2) 原二次三项式为$2x^2-12x+18$，
因式分解：
$2x^2-12x+18=2(x^2-6x+9)=2(x-3)^2$
【答案】
(1) 一次项系数为$\boldsymbol{-12}$，常数项为$\boldsymbol{18}$；
(2) 原多项式为$\boldsymbol{2x^2-12x+18}$，因式分解结果为$\boldsymbol{2(x-3)^2}$。
【知识点】
整式乘法运算，因式分解，完全平方公式
【点评】
本题核心考查因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是明确看错某一项时仅该项错误，其余项系数均正确，能够锻炼学生的逆推思维和运算能力。
【难度系数】
0.7
