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三、解答题
1. 计算：
(1) $\dfrac{x^2 -1}{x} · \dfrac{x}{x^2 +2x +1}$.
(2) $\dfrac{x^2 -2x +1}{x^2 -1} + \dfrac{2}{x+1}$.
1. 计算：
(1) $\dfrac{x^2 -1}{x} · \dfrac{x}{x^2 +2x +1}$.
(2) $\dfrac{x^2 -2x +1}{x^2 -1} + \dfrac{2}{x+1}$.
答案
解：
(1) 原式$=\frac{(x+1)(x-1)}{x} · \frac{x}{(x+1)^2}$
$=\frac{x-1}{x+1}$
(2) 原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} + \frac{2}{x+1}$
$=\frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{x+1}$
$=\frac{x-1+2}{x+1}$
$=\frac{x+1}{x+1}$
$=1$
(1) 原式$=\frac{(x+1)(x-1)}{x} · \frac{x}{(x+1)^2}$
$=\frac{x-1}{x+1}$
(2) 原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} + \frac{2}{x+1}$
$=\frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{x+1}$
$=\frac{x-1+2}{x+1}$
$=\frac{x+1}{x+1}$
$=1$
解析
【分析】
(1) 本题是分式乘法运算，解题时先对分子分母中的多项式因式分解：$x^2-1$符合平方差公式，分解为$(x+1)(x-1)$；$x^2+2x+1$符合完全平方公式，分解为$(x+1)^2$，再约去分子分母的公因式，即可得到最简结果。
(2) 本题是分式加法运算，先对第一个分式的分子、分母因式分解：分子$x^2-2x+1$是完全平方式，分解为$(x-1)^2$，分母$x^2-1$是平方差形式，分解为$(x+1)(x-1)$，约分后两个分式为同分母分式，按照同分母分式加法法则（分母不变，分子相加）计算，最后化简即可。
【解析】
(1) 原式$=\frac{(x+1)(x-1)}{x} · \frac{x}{(x+1)^2}$
$=\frac{x-1}{x+1}$
(2) 原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} + \frac{2}{x+1}$
$=\frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{x+1}$
$=\frac{x-1+2}{x+1}$
$=\frac{x+1}{x+1}$
$=1$
【答案】
(1) $\dfrac{x-1}{x+1}$；(2) $1$
【知识点】
因式分解，分式乘法运算，分式加减运算
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是先对多项式正确因式分解，再根据分式运算法则计算，最终结果要化为最简分式或整式，计算时注意公因式的判断，避免约分错误。
【难度系数】
0.8
(1) 本题是分式乘法运算，解题时先对分子分母中的多项式因式分解：$x^2-1$符合平方差公式，分解为$(x+1)(x-1)$；$x^2+2x+1$符合完全平方公式，分解为$(x+1)^2$，再约去分子分母的公因式，即可得到最简结果。
(2) 本题是分式加法运算，先对第一个分式的分子、分母因式分解：分子$x^2-2x+1$是完全平方式，分解为$(x-1)^2$，分母$x^2-1$是平方差形式，分解为$(x+1)(x-1)$，约分后两个分式为同分母分式，按照同分母分式加法法则（分母不变，分子相加）计算，最后化简即可。
【解析】
(1) 原式$=\frac{(x+1)(x-1)}{x} · \frac{x}{(x+1)^2}$
$=\frac{x-1}{x+1}$
(2) 原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} + \frac{2}{x+1}$
$=\frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{x+1}$
$=\frac{x-1+2}{x+1}$
$=\frac{x+1}{x+1}$
$=1$
【答案】
(1) $\dfrac{x-1}{x+1}$；(2) $1$
【知识点】
因式分解，分式乘法运算，分式加减运算
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是先对多项式正确因式分解，再根据分式运算法则计算，最终结果要化为最简分式或整式，计算时注意公因式的判断，避免约分错误。
【难度系数】
0.8
2. 先化简,再求值:$(1+\dfrac{1}{a+1})÷\dfrac{a+2}{a^2-1}$,请从1,-1,2,-2四个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值.
答案
原式=$a-1$. 当$a=2$时，原式=$1$.（注意：$a$只能取2）
解析
【分析】
解决这道题可分三步思考：第一步先化简分式，先对括号内的分式通分计算，再将除法运算转化为乘法运算，对多项式因式分解后约分即可得到最简结果；第二步要确定a的合法取值，根据分式有意义的条件“分母不为0、除数不为0”，排除不符合要求的数值，选出可用的a；第三步将合法的a代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算括号内的加法：
$1+\dfrac{1}{a+1} = \dfrac{a+1}{a+1} + \dfrac{1}{a+1} = \dfrac{a+1+1}{a+1} = \dfrac{a+2}{a+1}$
2. 将除法转化为乘法，同时对$a^2-1$用平方差公式因式分解：
原式$= \dfrac{a+2}{a+1} ÷ \dfrac{a+2}{a^2-1} = \dfrac{a+2}{a+1} × \dfrac{a^2-1}{a+2} = \dfrac{a+2}{a+1} × \dfrac{(a-1)(a+1)}{a+2}$
3. 约分得到最简式：
约去分子分母的公因式$a+2$和$a+1$，得原式$=a-1$
4. 确定a的取值：
要使分式有意义，需满足：
$\begin{cases} a+1 ≠ 0 \\ a^2-1 ≠ 0 \\ a+2 ≠ 0 \end{cases}$，解得$a ≠ -1, a ≠ 1, a ≠ -2$
因此从1,-1,2,-2中只能选择$a=2$
5. 代入求值：
当$a=2$时，原式$=2-1=1$
【答案】
原式化简结果为$a-1$，当$a=2$时，原式的值为$1$
【知识点】
分式化简求值，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式运算的常规题型，核心考查分式的混合运算规则，易错点是容易忽略分式有意义的限制条件，误选1、-1、-2代入计算，解题时要先确定未知数的合法取值范围，再代入求值。
【难度系数】
0.7
解决这道题可分三步思考：第一步先化简分式，先对括号内的分式通分计算，再将除法运算转化为乘法运算，对多项式因式分解后约分即可得到最简结果；第二步要确定a的合法取值，根据分式有意义的条件“分母不为0、除数不为0”，排除不符合要求的数值，选出可用的a；第三步将合法的a代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算括号内的加法：
$1+\dfrac{1}{a+1} = \dfrac{a+1}{a+1} + \dfrac{1}{a+1} = \dfrac{a+1+1}{a+1} = \dfrac{a+2}{a+1}$
2. 将除法转化为乘法，同时对$a^2-1$用平方差公式因式分解：
原式$= \dfrac{a+2}{a+1} ÷ \dfrac{a+2}{a^2-1} = \dfrac{a+2}{a+1} × \dfrac{a^2-1}{a+2} = \dfrac{a+2}{a+1} × \dfrac{(a-1)(a+1)}{a+2}$
3. 约分得到最简式：
约去分子分母的公因式$a+2$和$a+1$，得原式$=a-1$
4. 确定a的取值：
要使分式有意义，需满足：
$\begin{cases} a+1 ≠ 0 \\ a^2-1 ≠ 0 \\ a+2 ≠ 0 \end{cases}$，解得$a ≠ -1, a ≠ 1, a ≠ -2$
因此从1,-1,2,-2中只能选择$a=2$
5. 代入求值：
当$a=2$时，原式$=2-1=1$
【答案】
原式化简结果为$a-1$，当$a=2$时，原式的值为$1$
【知识点】
分式化简求值，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式运算的常规题型，核心考查分式的混合运算规则，易错点是容易忽略分式有意义的限制条件，误选1、-1、-2代入计算，解题时要先确定未知数的合法取值范围，再代入求值。
【难度系数】
0.7
3.化简$(\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x-1})·\frac{x^2 -1}{x}$，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
(1)甲同学解法的依据是，乙同学解法的依据是.(填序号)
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③分配律；④乘法交换律.
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程.
(1)甲同学解法的依据是，乙同学解法的依据是.(填序号)
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③分配律；④乘法交换律.
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程.
答案
(1)
甲同学解法的依据是$\boldsymbol{②}$，乙同学解法的依据是$\boldsymbol{③}$。
(2) 选择乙同学的解法，完整解答过程如下：
解：原式$=\frac{x}{x+1}·\frac{x^2-1}{x}+\frac{x}{x-1}·\frac{x^2-1}{x}$
$=\frac{x}{x+1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}+\frac{x}{x-1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=(x-1)+(x+1)$
$=2x$
甲同学解法的依据是$\boldsymbol{②}$，乙同学解法的依据是$\boldsymbol{③}$。
(2) 选择乙同学的解法，完整解答过程如下：
解：原式$=\frac{x}{x+1}·\frac{x^2-1}{x}+\frac{x}{x-1}·\frac{x^2-1}{x}$
$=\frac{x}{x+1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}+\frac{x}{x-1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=(x-1)+(x+1)$
$=2x$
解析
【分析】
(1) 第一问结合两名同学的运算过程判断依据：甲同学对括号内的分式进行通分，通分的依据是分式的基本性质；乙同学把括号外的乘式分别与括号内的两个分式相乘再求和，依据是乘法分配律。
(2) 第二问选择乙同学的解法更简便，先利用分配律展开原式，再将$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，之后逐项约分，最后合并同类项即可得到化简结果，能有效减少通分的计算量。
【解析】
(1) 甲同学将两个异分母分式化为同分母分式，利用了分式的分子、分母同乘同一个不为0的整式，分式的值不变，对应依据为②分式的基本性质；乙同学的运算符合$a(b+c)=ab+ac$的形式，对应依据为③分配律。
(2) 选择乙同学的解法，完整解答如下：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x}{x+1}·\frac{x^2-1}{x}+\frac{x}{x-1}·\frac{x^2-1}{x}\\&=\frac{x}{x+1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}+\frac{x}{x-1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}\\&=(x-1)+(x+1)\\&=2x\end{aligned}$
若选择甲同学的解法，过程如下：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[\frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)}+\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}]·\frac{x^2-1}{x}\\&=\frac{x^2-x+x^2+x}{(x+1)(x-1)}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}\\&=\frac{2x^2}{(x+1)(x-1)}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}\\&=2x\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{②}$；$\boldsymbol{③}$
(2) 化简结果为$\boldsymbol{2x}$
【知识点】
分式的基本性质，乘法分配律，分式化简
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题时可根据式子的结构灵活选择运算方法，合理运用运算律能够简化运算步骤，运算过程中要注意约分、通分的规范性，避免出错。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问结合两名同学的运算过程判断依据：甲同学对括号内的分式进行通分，通分的依据是分式的基本性质；乙同学把括号外的乘式分别与括号内的两个分式相乘再求和，依据是乘法分配律。
(2) 第二问选择乙同学的解法更简便，先利用分配律展开原式，再将$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，之后逐项约分，最后合并同类项即可得到化简结果，能有效减少通分的计算量。
【解析】
(1) 甲同学将两个异分母分式化为同分母分式，利用了分式的分子、分母同乘同一个不为0的整式，分式的值不变，对应依据为②分式的基本性质；乙同学的运算符合$a(b+c)=ab+ac$的形式，对应依据为③分配律。
(2) 选择乙同学的解法，完整解答如下：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x}{x+1}·\frac{x^2-1}{x}+\frac{x}{x-1}·\frac{x^2-1}{x}\\&=\frac{x}{x+1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}+\frac{x}{x-1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}\\&=(x-1)+(x+1)\\&=2x\end{aligned}$
若选择甲同学的解法，过程如下：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[\frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)}+\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}]·\frac{x^2-1}{x}\\&=\frac{x^2-x+x^2+x}{(x+1)(x-1)}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}\\&=\frac{2x^2}{(x+1)(x-1)}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}\\&=2x\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{②}$；$\boldsymbol{③}$
(2) 化简结果为$\boldsymbol{2x}$
【知识点】
分式的基本性质，乘法分配律，分式化简
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题时可根据式子的结构灵活选择运算方法，合理运用运算律能够简化运算步骤，运算过程中要注意约分、通分的规范性，避免出错。
【难度系数】
0.8
